§ 2. Арифметическая прогрессия
ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Арифметическая прогрессия
Последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, постоянным
для этой последовательности, называется арифметической прогрессией.
В арифметической прогрессии разность между последующим и предыдущим
членами постоянна для всей прогресии. Она называется разностью
прогрессии и обозначается буквой d. Общий вид арифметической
прогрессии:
«1, Hi + d, ut -\-2dy …
Например, последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, …
344 Арифметическая прогрессия. План работы кабинета математики.
— арифметическая прогрессия. Здесь каждый член, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с единицей, т. е. здесь d — 1. Последовательность
нечетных положительных чисел
1, 3, 5, …
— арифметическая прогрессия. Здесь d — 2. Последовательность нечетных
отрицательных чисел
— 1, — 3, — 5, — 7, …
— арифметическая прогрессия. Здесь d = — 2.
Если d^> О, члены прогрессии образуют возрастающую последовательность,
и прогрессия называется возрастающей. Например, арифметическая
прогрессия
— 5 , — 1 , 3, 7, 11
— возрастающая. Разность этой прогрессии равна 4.
Если d<^ 0, члены прогрессии образуют убывающую последовательность,
и прогрессия называется убивающей. Например, арифметическая
прогрессия
15, 12, 9, б
— убывающая. Разность этой прогрессии равна — 3.
Если d — 0, все члены прогрессии равны между собой. Такие прогрессии
не представляют интереса.
Как и всякая последовательность, арифметическая прогрессия может
быть конечной или бесконечной.
Те о р ема 1 .Общий член ип арифметической прогрессии, разность
которой d, определяется формулой
«Л == И, -4- of (я — 1), (1)
т. е. любой член арифметической прогрессии равен первому члену,
сложенному с произведением разности на число предшествующих
членов.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство проводится методом математической
индукции. Для первого члена утверждение справедливо,
так как при п— 1 формула (1) дает их = их. Допустим, что утверждение
справедливо для k-xo члена, где k — некоторое натуральное
число, т. е.
uk = lh + d (k — 1). (2)
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего
{k —|— 1)-го члена, т. е.
Действительно,
«А+1 = И* + А
345 Арифметическая прогрессия. План работы кабинета математики.
Отсюда на основании равенства (2)
= tti —|— d (k — 1) ~j— d = Ui —j~ dk.
Теорема доказана.
Теорема 2. В конечной арифметической прогрессии сумма
членов, равноотстоящих от крайних членов, равна сумме крайних
членов.
До к а з а т е л ь с т в о . Дана арифметическая прогрессия
Щ, ип_ь иПУ (3)
разность которой d. Прежде всего заметим, что k-ft член, считая с конца,
есть ил_*+1. Требуется доказать, что
Имеем
uk = Ui + d ( k— 1). (4)
Напишем члены прогрессии (3) в обратном порядке
ип, ип_1, иь н,. (5)
В прогрессии (5) разность равна — dy и потому
«я-ft+l = «я + (— <0 (А — 1 )• (6)
Складывая почленно равенства (4) и (6), получим
w* + « я -fc+l — «1 + d ( k — 1) + « я + (— d ) ( k — 1) = «1 4 — «я-
Те о р ема 3. Сул/лга членов конечной арифметической прогрессии
равна произведению полусуммы крайних членов на число
членов, т. е.
С _ (« 1 +2 «я)Я
До к а з а т е л ь с т в о . Имеем
= • • • ‘~\’Un — l Jr Um
Sn = un — \ ~ un — l — Ь • • • +
Складывая почленно оба равенства, получаем
2Sn = (ul- \ — … — f — — j — н2) -f-(нп -f- щ).
В каждой из п скобок имеем либо сумму крайних членов, либо
сумму членов, равноотстоящих от крайних. А потому на основании
предыдущей теоремы
2S„ = и„) п,
отсюда
о _ ( И 1 + «я)Я
346 Арифметическая прогрессия. План работы кабинета математики.
Следствие. Сумма членов конечной арифметической прогрессии
может быть вычислена по формуле
с __ I2ut + d (n— 1)]п о*— 2
До к а з а т е л ь с т в о . По доказанному
О __(«1 + И/г)л
О*— 2 *
но ип = их-\-(1(п— 1), поэтому
о _ [ t f i + t t i + r f ( / i — l ) ] r t _ [2и, + *(л — 1)1я
п 2 2 е
Пример. Определить сумму первых п членов натурального ряда
Решение. Здесь щ — ип = п, а потому
1 + 2 + … + я = ^ ± 1 ). (7)
Формулу (7) можно получить другим способом, который применяется для
нахождения суммы квадратов, кубов и вообще любых степеней первых п
чисел натурального ряда.
В равенстве (а + 1)2 = я2 + 2а + 1 положим а последовательно равным
1, 2, . . . , п. Получим п равенств:
2 2 = 1 * 4 — 2 . 1 4 1 ,
32 = 22 + 2 • 2 + 1,
§ 2 ] АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 3 4 7
л2 = (л— I)2 4 2 (« — 1) 4 1»
(л + l)2 = л2 4 2л 4 1.
Сложим эти л равенств почленно. Получим
(2* + з2 + . . . + л 2) + (л + 1)2=1 + (22 + 32 + … 4 — л * ) 4 2 $ 1 4 л ,
где Si означает сумму п первых чисел натурального ряда. После взаимного
уничтожения в левой и правой части равенства одинаковых сумм 23 *4 З2 4- • • • + п*
получим
(п + 1)» = 2S, + (п + 1); Si = я (п 2+ 1 ) .
Пр име р . Найти сумму квадратов S2 = l 2 4 2 2 + … + л2.
Р еше н и е . В равенстве {(а + I)3 = а? 4* Зл2 + Зл + 1 положим а последовательно
равным 1, 2, . . . , л. Получим л равенств:
2*= I8 4- 3 — 12 + 3 . 14-1,
33 = 28 + 3 . 22 + 3 . 2 + 1,
л3 = (л— I)8 + 3 (л— I)2 + 3 (л — 1) + 1,
(л + 1)8 = л8 + Зл2 + Зл 4 1 .
347 Арифметическая прогрессия. План работы кабинета математики.
Сложим эти п равенств почленно. Получим
(2» + з*+ … + п 8) + (л + 1)» = 1* + (2* + 3 »+ … 4 . п*) 4. 3S3 + 3St + *.
После взаимного уничтожения в левой и правой части равенства одинаковых
сумм 28 4- З8 + … 4 -л8 получим
(n4-l)8 = 3S34-3Si4-(«+l).
Заменим St ее значением по формуле (7)
3S, — (* + 1>» — (й + 1 ) ,
3S, = (И + I) [(я +1)* — 1 а — 1] = п (я + 1 ) (« + 4 ) •
Окончательно
n ( n + l ) ( 2 n + l )
3 4 8 ПОСЛЕДОВ А Т Е Л ЬНОСТЙ ЧИСЕЛ [ г л . V
6
Упражнения
1. Показать, что
S, = l» + 2*+ … +д» = р (п+ J .
348 Арифметическая прогрессия. План работы кабинета математики.
Околоadmin
Comments