§ 7. Арифметические операции над последовательностями

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Арифметические операции над последовательностями

Даны две последовательности
• • • > • • • (О
И
• • • > м * (2)
Составим суммы
• i = » i + ®i; да4= в * + ® 4; ®>п= и я -{-г>я;..*
Совокупность чис^л
wb W b …9 wm… (3)
есть последовательность. Действительно, если известен номер я, то
известны и ип и vn> а тогда известна и их сумма wn.
Оп р е д е л ен и е . Суммой двух или нескольких последовательностей
называется такая последовательность, каждый член которой
является суммой соответствующих членов слагаемых последовательностей.
Приме р . Сложить последовательности
1 i . JL А К?
о 1 1 1 1
’ 3 * 4 * 5 * 6 ’ • ‘ ‘ ’
об. щие члены которых — 2п j- и п— 1t .
Решение. Суммой является последовательность
. 5 8_ И 14
’ 3 * 4 * 5 * 6 ’ ’ ’ ’ ’
общий член которой равен сумме общих членов слагаемых последовательностей
2п . п—1 Зп—1
0О твет. 1,, ^5, -8j , И , 1j4 . . .
Равенство {ия}-{-{г»я} = {«„-{-*>„} выражает определение суммы
двух последовательностей. Точно так же равенства
Ы — К} = К — К} • Ы = {«v».};

360 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

выражают определения разности, произведения и частного двух
последовательностей. Разумеется, что частное имеет смысл только
тогда, когда vn отлично от нуля при всех п. Например,
м + ш + н н ‘ ~ а <
Очевидно, что общий член суммы двух или нескольких последовательностей
равен сумме их общих членов, общий член разности
двух последовательностей равен разности их общих членов и т. д.
Для вывода теорем этого параграфа потребуется следующая
теорема: >
Абсолютная величина суммы двух слагаемых не превосходит
суммы абсолютных величин слагаемых, т. е.
la + * | < l « | + | H (4)
До к а з а т е л ь с т в о . Если а и Ь одного знака или хоть одно
из них равно нулю, то
l«+*l — M + IH
Если а и Ъ разных знаков, то
1 « + * 1 < М + 1 Н
Методом математической индукции можно доказать, что теорема
справедлива для любого числа слагаемых.
Т е о р ема 1. Сумма двух последовательностей, сходящихся
к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
lim ссд — 0, lim фп = 0.
Возьмем на числовой оси отрезок с центром в 0 произвольной
длины 2е. Существует такой номер Nt, что все точки ад, номера
которых больше Nt, лежат внутри построенного отрезка, т. е.
K I O (5)
Точно так же существует такой номер N% такой, что все точки
номера которых больше jv* лежат внутри того же отрезка, т. е.
IP* К*. (б)
Возьмем N етоль большим, чтобы оно было больше и Nt и Л/*
Тогда при n ^> N будут одновременно выполняться неравенства (5)
и (6). Значит, при n ^> N выполняется неравенство
КЖР*1<2ь

361 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

НО
1ал+Ря1 ^ 1 ая| + 1Ря!>
значит,
|а я + ря |< 2 е .
Так как 2s может быть сколь угодно малым, последнее неравенство
означает, что
Пт(ая +(Эя) = 0.
Методом математической индукции можно доказать, что теорема
справедлива для любого числа слагаемых.
Те о р ема 2. :, Если последовательность {ип\ имеет пределом
число а, то последовательность {ип-{-Ь} имеет пределом число
а -\-Ь, т. е. если
lim ип — а,
то
lim (ип -f- b) = а -|- b.
До к а з а т е л ь с т в о * Прибавление к каждому члену последовательности
{ня} числа Ь означает смещение всей последовательности
на длину Ь вправо, если 6 ]> 0 , и на длину \Ь\ влево, если, £<^0.
При этом и предел а смещается на направленный отрезок Ъ и занимает
положение а -\-Ь. >
Т е о р ем а 3. Д ля того чтобы последовательность {ия} имела
пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы последовательность
{ип — а) сходилась к нулю, т. е. для того чтобы
\т и п= а ,
необходимо и достаточно, чтобы
li т(и^ — а) = 0.
Не о б х о д имо с т ь . Пусть Нтия = а. Тогда
1ш1(ия — а) — а —а = 0.
До с т а т о ч н о с т ь . Пусть Нт(ая — а) = 0. Тогда
1Ш ип = lim \{itn—a) -f- а] = 0 + а = а.
Сл е д с т вие . Если последовательность {ип\ имеет пределом
число а, то общий член ее ип можно представить в виде суммы \
» » = • « + « » ‘
причем lim ая = 0.
Для доказательства достаточно в равенстве ип— {йл — а )-\-а
положить йд,—а = ая,
гг 1* Л + 1 Пр име р , lim— = ,1 ; Л+1 = 1, -j, — 1 I..n n -1 = 0~.

362 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

Те о р ема 4. Предел суммы двух сходящихся последовательностей
равен сумме и х пределов, т. ё. если
И шип — а и lim vn — b,
то
\m (u n + vn) = a + b.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства достаточно показа ib,
что,
lim [{ип + vn) — (а + Ь)] = 0.
Положим
= а + <*«; Vn — b + Vn*
тогда lim % = lim = 0. Имеем (теорема 1 ):
Нт [(ив 4 — v n) — {а + Ъ)] == lim (ал — f j3rt) = 0.
Методом математической индукции можно доказать, что теорема
справедлива для любого числа слагаемых.
П р и м е р. Пусть {ип} — последовательность десятичных .приближенных
значений V 2 с недостатком с точностью до (0,1 ) \ т. е, это
последовательность
1,4; 1,41; 1,414;…
Пусть {г>д} — последовательность десятичных приближенных значений
с недостатком с , точностью до. (0,1)», т. е. {г>л} — последовательность
‘ 1,7; 1,73; 1,732;…
Тогда последовательности {йй-)-т>й},’ т. е. последовательность
3,1; 3,14; 3,146;…
имеет пределом |/^ 2 —f — 3 .
Те о р ема 5. Произведение последовательности, сходящейся
к нулю, и ограниченной последовательности есть последовательность,
сходящаяся к нулю•
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть {ап} — последовательность, сходящаяся
к нулю, а {ип} — ограниченная последовательность. Требуется доказать, что
последовательность {апип} сходится к нулю. f
Так как по условию последовательность {иа} ограничена, существует
такое положительное число А, что при всех п
Ш < А О)
Пусть & — произвольное положительное число. Возьмем на числовой оси отрезокч
2е ~
с центром в 0 длины Существует такой номер N, что все точки ап, номера
которых больше N , лежат внутри этого отрезка

363 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин
сомножителей. Значит,
На основании неравенств (7) и (8) заключаем, Что при п > N справедливо
неравенство
Так как е может быть сколько угодно малым, последнее неравенство означает,
что lim <хпип = 0.
Сл е д с т в и е 1. Произведение последовательности, сходящейся
к нулю, на постоянную последовательность есть последовательность,
сходящаяся к нулю.
Для доказательства достаточно указать на то, что постоянная
последовательность ограничена.
Сл е д с т в и е 2. Произведение двух последовательностей, сходящихся
к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Для доказательства достаточно указать на то, что последовательность,
сходящаяся к нулю, как и всякая сходящаяся последовательность,
ограничена.
Пример. Последовательность сходится к нулю, последо-
последовательности имеется бесконечное количество членов, равных
пределу последовательности.
Те о р ема 6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей
равен произведению и х пределов, т. е. если
\m (u nv ^ — ab.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства достаточно показать, что
lim (unvn — ab) — 0.
M /i i = K \ • Ш-
М йК®.
вательность ограничена, значит, последовательность
| сходится к нулю. При нечетных п члены последовательности
равны нулю, и, таким образом, среди членов
то
Положим
тогда
limап = 0; НтРЛ = 0.
Имеем
unvn — ab = (а + e„) (b + ^ ~ оЬ = <%п + Ч + «А-
На основании теоремы о пределе суммы последовательностей
lim {unva — ab) = lim a$n lira ban 4- lim <x^n.

364 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

Каждое слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю. Поэтому
lim (unvn — ab) = 0.
Методом математической индукции можно доказать, что теорема справедлива
для любого числа сомножителей.
Пример. Пусть {нд} — последовательность десятичных приближенных
значений У~2 с недостатком с точностью до (0,1 )я, т. е.
последовательность
1,4; 1,41; 1,414;…
Пусть {фд} — последовательность десятичных приближенных значений
|/1Г с недостатком с точностью до (0,1)я, т. е. последовательность
^ ,
1,7; 1,73; 1,732;…
Тогда последовательность {unv n\, т. е. последовательность
2,38; 2,4393; 2,449048;…
имеет пределом своим ] /2 * 1^3 = У~6.
Пример. Последовательность {йд}2 (см. предыдущий пример),
т. е. последовательность
1,96; 1,9881, 1,999396;…
имеет пределом своим (1/2 )2= 2.
Т е о р ем а 7. Предел частного двух сходящихся послеЬоват
тельностей равен частному и х пределов, если только предел делителя
отличен от нуля, т. е. еслик .
lim ип = а, lim v n = b, Ьф 0,
то
lt*im -и£п- =2—и-t vn b
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства достаточно показать, что
Положим
ап = а + ап; vn = b + ?a,
тогда 7
lim ал = lim Рд = 0.
Имеем
«Л « _ a + gЯ « ■ 6ап — _ Ъ*п — а$п __ ,, „о \ I
Ь ~ <* + М К ( я ^ ton’
Последовательность {Ьоп} на основании теоремы 6 имеет пределом Ь8.
Возьмем на числовой оси отрезок с центром в Ь2 и длиной Ь2 (рис. 80).
Существует такой номер Nt что все точки bvm номера которых больше Nt
лежат внутри построенного отрезка.
Таким образом, при n > N
b2 *
-о- < к ,

365 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

и, следовательно,
bvn Ь*‘
Последнее неравенство означает* что последовательность ограничена.
о ^ I 2 Ь р г т
Рис. 80.
Кроме того, последовательность {Ьап — а$п} сходится к нулю, а потому последовательность
сходится к нулю, т. е,
£ — т Н * ч — « — Ш

366 Арифметические операции над последовательностями. Кабинет Математики.

Околоadmin