дома » Алгебра в школе » Цель исследования уравнений

Цель исследования уравнений

§ 5. Цель исследования уравнений

ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Цель исследования уравнений

Решение задач при помощи уравнений приводит иногда к результату,
который показывает, что данная задача„не имеет решений. Часто
такой вывод делается потому, что уравнение, составленное по условию
задачи, не имеет,решений. Иногда же оказывается, что уравнение
имеет решения, но решения эти не удовлетворяют условию
задачи.
Если в условии задачи некоторые из данных величин обозначены
буквами, т. е. ищется решение задачи в общем виде, уравнение, составленное
по условию задачи, имеет буквенные коэффициенты. Такое
уравнение при одних частных значениях букв имеет решение, при
других значениях букв оно решений не имеет. При одних значениях
букв решения удовлетворяют условию задачи и дают ответы на
вопрос задачи, при других значениях букв решения условию 8адачи
не удовлетворяют.
В силу этого при решении задач с буквенными данными требуется
провести исследование аадачи, т. е. выяснить:
1) при каких значениях букв уравнение или система уравнений
имеет решения, и если имеет, то сколько;
2) при каких значениях букв решения уравнения или системы
уравнений удовлетворяют условию задачи и при каких значениях
букв решения условию задачи не удрвлетворяют.
Ответ на первый из поставленных вопросов требует умения исследовать
уравнение или систему уравнений с буквенными коэффициентами,
независимо от того, что представляют собой величины,
обозначенные буквами.
Ответ на второй вопрос требует умения отобрать из всех решений
те, которые удовлетворяют условию задачи.

§ 6. Исследование уравнения первой степени
с одним неизвестным

Уравнение первой степени с одним неизвестным может быть преобразовано
к виду
а х — Ъ.
Теорема. Если коэффициент при неизвестном в уравнении
первой степени с одним неизвестным отличен от нуля, уравне-
ние имеет решение и притом единственное.
Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени
с одним неизвестным равен нулю, уравнение не имеет решений,
когда свободный член отличен от нуля, и имеет бесконечное
множество решений, когда свободный член равен нулю. В по*
следнем случае уравнению удовлетворяет любое число.

456 Цель исследования уравненийКабинет Математики.

До к а з а т е л ь с т в о . Если а ф 0, уравнение а х = b равносильно
уравнению = Это уравнение простейшее, ему удовлетворяет
число —Ь и только это число.
Если а = О, уравнение а х = Ь принимает вид 0х — Ъ. Это уравнение
не имеет решений, когда Ь отлично от нуля, так как произведение
нуля и любого числа равно нулю. Если же Ь = 0, это уравнение
принимает вид 0лс = 0. Такому уравнению удовлетворяет любое
значение х .
З а д а ч а . Два фонтана наполняют бассейн: первый, действуя один,
может наполнить бассейн в а часов; второй, будучи открыт один,
наполнит бассейн в Ъ часов. Кран, находящийся в дне бассейна, может
опорожнить бассейн в с часов. Во сколько часов бассейн, вначале
пустой, будет наполнен, если оба фонтана и кран будут открыты
одновременно?
Решение. Пусть бассейк наполняется в х часов. Первый фонтан,
наполняя весь бассейн в а часов, в один час наполняет у часть
бассейна, а в х часов — у частей его. Второй фонтан за х часов
наполняет ух частей бассейна. Кран за х часов выпустит воду в
объеме —х частей бассейна. Так как разность между прихо’ дом и расходом
воды за х часов равна емкости бассейна, имеем уравнение
л: , л : х_ 1
а * Ъ с ~ 9
откуда
G + W ) — •
Если у ~ Ь у — у ^ ^ , УРавнение имеет единственное решение
1 abc
Х ~ JLj_± L _ Ъс + са — аЬ’
а ‘ b с
Если у + у УРавнение решений не имеет.
По смыслу задачи, х должно быть положительным числом, и потому
задача имеет решение только тогда, когда
. ±_|_* ±>о. а 1 Ъ с ^
Нетрудно видеть, что неравенство у ~ Ь у с означает, что
количество воды, доставляемое в 1г час двумя фонтанами, меньше количества
воды, которую способен выпустить кран в течение часа.

457 Цель исследования уравненийКабинет Математики.

Равенство —-4-4-— — = 0 означает, а 1 о с что количество воды, достав-
ляемой двумя фонтанами в 1 час, равно количеству воды, выпускаемой
краном за то же время.
Ясно поэтому, что в случаях, когда “j + y — задача не
имеет решения.
Ответ. В -Ьг—с +г— са —— -аог часов; задача имеет ре-
шение только тогда, когда —1 нI -1г ——1- ^ А

458 Цель исследования уравненийКабинет Математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии