дома » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » Целые числа и многочлены

Целые числа и многочлены

§ 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Целые числа и многочлены
Главная страница ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Основу книги составляют задачи, предлагавшиеся на Всесоюзных заочных
математических олимпиадах и конкурсах Всесоюзной
заочной математической школы для учащихся 7—10 классов.

Скачать или посмотреть эту книгу онлайн в формате PDF можете на странице
Учебники Скачать.

Ниже можете просто ознакомится с текстовым содержанием книги. Но здесь формулы отображаются не корректно. Если книга вам понравиться, можете скачать её бесплатно по ссылке выше.

2-1. Ученику прислали задание, состоящее из 20
задач. За каждую верно решенную задачу ему ставят
8 баллов, за каждую неверно решенную — минус 5 баллов,
за задачу, которую он не брался решать, — 0
баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько
задач он брался решать?
2-2. Можно ли разменять 25 руб. на рублевые,
трехрублевые и пятирублевые купюры так, чтобы получить
всего 10 купюр?
2-3. На миллиметровой бумаге нарисован прямоугольник
272 X 204 мм (его стороны идут по линиям
сетки). Проведем его диагональ и отметим все узлы
сетки, которые на ней лежат. На сколько частей узлы
делят диагональ?
2-4. а) От прямоугольника 324X 141 мм отрезают
несколько квадратов со стороной в 141 мм, пока не
останется прямоугольник, у которого длина одной стороны
меньше 141 мм. От полученного прямоугольника
отрезают квадраты, стороны которых равны по
длине его меньшей стороне, до тех пор, пока это возможно,
и т. д. Какова длина стороны последнего
квадрата?
б) Найдите какие-нибудь два числа а и ծ, чтобы
при таком разрезании прямоугольника аХ.Ь получились
квадраты шести разных размеров.
2-5. Три автомата печатают на карточках пары
целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую
карточку, выдает новую карточку; прочитав карточку
с парой (т ; п ), первый автомат выдает карточку
( т — п\п), второй — карточку (m + n ;n ), третий —
карточку (п \ т ). Пусть первоначально имеется карточка
с парой чисел (19; 86). Можно ли, используя
автоматы в любом порядке, получить из нее карточку;
а ) (31; 13); б) (12; 21)?
2-6. Один мастер делает на длинной ленте пометки
синим карандашом от ее начала через каждые 36 см.
Другой мастер делает пометки красным карандашом
от начала через каждые 25 см. Может ли синяя по-,
метка оказаться на расстоянии 1 см от какой-нибудь
красной?
2-7. Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить
угол в 19° на 19 равных частей?

14

2-8. Окружность разделена 20 точками на 20 равных
частей. Сколько можно построить различных
замкнутых ломаных из 20 равных звеньев с вершинами
в этих точках? (Две ломаные, получающиеся
друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.)
2-9. Верно ли, что из 100 произвольных целых чисел
всегда можно выбрать:
а) 15; б) 16
таких, у которых разность любых двух делится на 7?
2-10. Докажите, что если сумма квадратов двух
целых чисел делится на 3, то и каждое из них делится
на 3.
2-11. Докажите, что существует бесконечно много
натуральных чисел, не представимых в виде суммы
кубов трех неотрицательных, целых чисел.
2-12. В классе 28 учеников, которые сидят по двое
на 14 партах. В начале каждого месяца учитель рассаживает
их так, чтобы за каждой партой сидели
двое, никогда до этого рядом не сидевшие. Какое наибольшее
число месяцев учитель сможет это делать?
2-13. Найдите какие-нибудь три последовательных
натуральных числа, каждое из которых делится на
квадрат целого числа, большего единицы.
2-14. Можно ли расставить все 12 чисел 1, 2, . . .
12 по окружности так, чтобы для любых трех чисел
а, Ь, с, стоящих подряд, число Ь2— ас делилось
на 13?
2-15. Верно ли, что при любом натуральном п
число п3 + 5п — 1 простое?
2-16. Докажите, что при любом целом п число
п5 — 5п3 + 4п делится на 120.
2-17. Существует ли многочлен р(х) с целыми
коэффициентами такой, что:
а) р(0) = 19, р(1) = 85, р ( 2 ) = 1985;
б) Р (1) = 19, р (19) = 85?
2-18. Разложите многочлен:
а ) д:8 + х4+ 1 на три множителя,
б) х5 + х + 1 на два множителя
с целыми коэффициентами.
2-19. При каком значении а многочлены х4 -f-
[+ ах2 + 1 и х3 + ах + 1 имеют общий корень?
2-20. Рассмотрим множество М натуральных чисел,
представимых в виде х2 -f- 5у2, где х и у — некоторые
целые числа.
15

а ) Докажите, что произведение двух чисел из М
также принадлежит М.
б) Назовем базисным число из М, большее 1, которое
не делится ни на одно из чисел из М, кроме
себя и 1. Существуют ли числа из М, которые можно
двумя разными способами представить в виде произведения
базисных?
в) Докажите, что базисных чисел бесконечно
много.
2-21. Нетрудно указать тройку квадратов целых
чисел, образующих арифметическую прогрессию: 1,25,
49. Найдите еще три такие тройки (из квадратов чисел,
не имеющих общего делителя).
2-22. а) Найдите 7 решений в целых числах уравнения
У1 = 6 (лН* — х).
б) Найдите еще 4 его решения в рациональных
числах.

16

#Математика #математические_олимпиады

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

,

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика