Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы

Если A и B — подмножества группы G, то подгруппа {[a, b] \ a Е A, b Е B) называется взаимным коммутантом
A и B и обозначается через [A, B]. При n ^ 3 для подмножеств A1 , … , An С G полагают [A1 , . . . , An] =
■ ■ ■ , An-1 ], An].
Если A и B — произвольные группы, то через G = A х B обозначают множество {(a, b) \ a Е A, b Е B}, с операцией
(a, b)(a1 ,b1 ) = (aa1 , bb1 ). Группу G называют (внешним) прямым произведением групп A и B. Это понятие легко
распространяется на произвольное конечное число сомножителей. Подгруппа H из G = G1 х . . . х Gn, проекция
которой на любой множитель Gi совпадает с Gi, называется подпрямым произведением групп G1 , … , Gn.
Если A и B — подгруппы группы G такие, что G = AB, A П B = е и A < G, B < G, то группу G называют (внутренним)
прямым произведением подгрупп A и B. Внешнее прямое произведение A х B является также внутренним
произведением подгрупп A х е и е х B. Из контекста обычно бывает ясно, какое прямое произведение подразумевается.
Поэтому в обоих случаях употребляется обозначение G = A х B. Если G = {G1 , . . . , Gn) и Gj П {Gi \ i = j) = е
для всех j, то говорят о внутреннем прямом произведении G = G1 х … х Gn для произвольного числа n нормальных
подгрупп Gi группы G. То же самое выражается следующим свойством: G — прямое произведение своих
нормальных подгрупп G1 , . . . , Gn, если каждый элемент g Е G допускает единственную запись в виде g = g1 … gn,
где gi Е Gi.
Пусть A — нормальная подгруппа группы G. Если G = AB для некоторой подгруппы B С G со свойством AnB = е,
то G называется полупрямым произведением A и B с нормальным множителем A. В этом случае пишут G = A X B
или G = B X A.
Если Ф = Aut G, то множество пар од, ф Е Ф, g Е G, умножаемых по правилу од • ф^1 = g1 , образует
группу Hol G, называемую голоморфом группы G. Отображения Ф — Hol G, G — Hol G по правилам ф — фе,
g — 1g вкладывают Ф и G в Hol G. После этого отождествления Hol G = Ф X G и всякий автоморфизм подгруппы
G в Hol G является сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы Hol G.
Пусть G — конечная группа порядка pnm, где p — простое число, взаимно простое с m. Подгруппу P С G порядка
\P\ = pn называют силовской р-подгруппой группы G. Силовские р-подгруппы всегда существуют. Множество всех
р-силовских подгрупп группы G обозначается через Sylp(G).
Подгруппа H конечной группы G называется холловой подгруппой в G, если \H\ и (G : H) взаимно просты.
Группа G называется группой Фробениуса, если G = N X H, N < G и H П H9 = е для всех g Е G \ H; N называется
ядром., а подгруппа H — дополнительным множителем группы G.
Задачи
6.1. Пусть G = {2m • 3n \ m, n Е Z} и • — обычное умножение. Тогда (G, •) — группа и (G, •) = Z х Z.
6.2. 1) Пусть G — группа и a, b Е G. Тогда a-nb-n(ab)n Е G’ для любого натурального n.
2) Конечная коммутативная элементарная р-группа изоморфна Zp х … х Zp для некоторого n.
6.3. Пусть G = {a,b), причем:
а) a2 = b2 = (ab) 4 = е, тогда (ab) 2 Е Z(G);
б) bab = a, тогда a2 Е Z(G).
6.4. Пусть H, B — подгруппы группы G. Тогда H9 будет подгруппой группы G для каждого g Е G, а Hg =
П g-1Hg является наибольшей нормальной подгруппой группы G, содержащейся в H. Кроме того, Bg П Hg =
geG
(B П H)g.
6.5. Если H и B — подгруппы группы G и H ^ B, то N(B \ H) = N(H) П N(B).
6 .6 . Пусть A, B — подгруппы группы G и g Е G. Тогда:
а) (A U B)9 = A9 U B9; б) (A П B) 9 = A9 П B9;
в) (A \ B)9 = A9 \ B9; г) (AB) 9 = A9B9;
д) (A-1 ) 9 = (A9)-1; е) {A)9 = {A9);
ж) Nb(A)9 = Nbs (A9); з) Cb(A) 9 = Cbs (A9);
и) если A С B, то (B9 : A9) = (B : A).
6.7. Пусть M — максимальная подгруппа группы G. Тогда для любой подгруппы A С G либо Z(A) С M, либо

39 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы.

6.9. Централизатор нормальной подгруппы сам является нормальной подгруппой.
6.10. Пусть G — конечная группа и a Е G. Тогда:
а) нормализатор N (a) является подгруппой в G, причем подгруппа {a) нормальна в N (a);
б) число элементов группы G, сопряженных с a, равно (G : N(a));
в) если H — подгруппа в G, то она нормальна в N(H);
г) число подгрупп группы G, сопряженных с H, равно (G : N(H));
д) число элементов (подгрупп) группы G, сопряженных с данным элементом (данной подгруппой), делит порядок
6.14. 1) [a, G] = [G, a] < G для любого элемента a группы G.
2) [a, b-1, c]b[b, c-1, a]c[c, a-1, b]a = е для любых a, b, c Е G.
6.15. Пусть A, B, C — подгруппы группы G.
1) Если [A, B] С Z(G), то [A, B’] = [A’, B] = е.
2) Если H — нормальная подгруппа в G, содержащая два из коммутантов [A, B, C], [B, C, A], [C, A, B], то и
третий лежит в H (лемма о трех коммутантах).
6.16. Пусть H — подгруппа группы G.
1) H С Z(G) тогда и только тогда, когда [H, G] = е.
2) H < G тогда и только тогда, когда [H, G] С H.
6.17. Пусть G — конечная группа такая, что (G : Z(G) ) 2 < \G’\. Тогда G’ имеет элементы, не являющиеся
коммутаторами.
6.18. Пусть G = {X) и N < G. Тогда если коммутатор любых двух элементов из X лежит в N, то G’ С N.
6.19. Пусть N < G и [N, G’] = е. Тогда Cn (g) <! G для любого g Е G.
6.20. Пусть G = A X B и A1 — подгруппа в группе A. Тогда если B централизует A1 , то [A, B] С Ca (A1 ).
6.21. Пусть G = A X B. Тогда G’ = (A П G’) X (B П G’) и B П G’ = B’.
6.22. Конечная группа, у которой нормализаторы некоторых двух ее силовских подгрупп имеют взаимно простые
порядки, совпадает со своим коммутантом.
6.23. 1) Каждый элемент группы A5 есть коммутатор.
6.24. Любая подгруппа, содержащая коммутант группы, нормальна. Факторгруппа G/G’ коммутативна, и G’ содержится
в каждой нормальной подгруппе K, такой, что G/K коммутативна. В частности, максимальный порядок
коммутативной факторгруппы группы G равен индексу (G : G’).
6.25. 1) Коммутант группы состоит из всевозможных конечных произведений коммутаторов элементов группы.
2) Если f: A — B — гомоморфизм групп, то f (A’) С B’, причем f (A’) = B’, если f — эпиморфизм.
3) Если H < G, то H’ < G.
6.26. Установите биективное соответствие между гомоморфизмами группы в коммутативные группы и гомоморфизмами
ее факторгруппы по коммутанту.
6.27. Пусть коммутатор [a, b] перестановочен с элементом a. Тогда:

40 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы. 

а) [an, b] = [a, b]n для любого целого n;
б) если o(a) < то, то o([a, b]) < то, причем o([a, b]) делит о (a).
6.28. 1) Если G = G’, то \Z(G/Z(G))\ = 1.
2) Если a Е G и {a) < G, то G’ С Co(a).
3) Если G — конечная группа и {gG) = G для всех g Е G, то G’ = G.
6.29. Пусть в конечной группе порядок коммутанта равен двум. Тогда:
а) коммутант лежит в центре группы;
б) кроме элементов из коммутанта группа обладает и другими элементами четного порядка;
в) индекс коммутанта — четное число.
6.30. Пусть G — множество всех верхних унитреугольных матриц порядка 3 с элементами из поля Fp. Докажите,
что G — группа порядка р3 относительно умножения, найдите ее центр и exp(G). Если p = 2, то какой группе (см.
6.48 2)) она изоморфна?
6.31. Найдите Z(GL(n, R)) и Z(O(2, R)).
6.32. В группе GL(2, R) найдите централизаторы матриц:
1 0 \ ( 2 0 \ ( 1 2 \ ( 1 1
0 -1 / ^ 0 2 / ^ 3 4 / ^ 0 1
6.33. Наряду с централизатором в группе G рассматривают еще косой централизатор D (a) = {х Е G \ xa = a-1 x}.
Докажите, что:
а) D (a) — группа тогда и только тогда, когда a2 = е и D (a) = C (a);
б) множество E (a) = C (a) U D (a) всегда является группой.
6.34. Какие из трех матриц сопряжены между собой в группе GL(2,C):
^ 1 1 м = ( / 0 и- ( 2 1
6.35. 1) Если H и K — сопряженные подгруппы конечной группы и K С H, то K = H.
2) Подгруппы H = | ( ^ q П ) | п Е , K = | ( ^ 0 2 1 П ) | n Е сопряжены в группе GL(2, R) и K С H.
3) Если G — подпрямое произведение конечных групп, то G является локально нормальной группой.
6.36. 1) Силовская р-подгруппа группы G единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в G.
2) Эпиморфный образ силовской р-подгруппы конечной группы является силовской р-подгруппой.
3) Силовская р-подгруппа прямого произведения конечных групп A и B изоморфна прямому произведению силовских
р-подгрупп сомножителей A и B.
4) Z(A х B) = Z(A) х Z(B).
5) Если P — силовская р-подгруппа конечной группы G, H — нормальная подгруппа в G, то P П H является
силовской р-подгруппы группы H.
6 ) Коммутант прямого произведения изоморфен прямому произведению коммутантов сомножителей.
7) Если K — поле, то коммутант группы GL(n, K) содержится в SL(n, K).
8 ) Конечная группа является р-группой тогда и только тогда, когда ее порядок равен рп для некоторого натурального
числа n.
6.37. 1) Если \G\ = pq, где р,q — простые числа, причем р > q, то силовская р-подгруппы группы G нормальна в
G.
2) Все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны.
3) Любая группа порядка 15, 35, 185, 255 коммутативна.
4) Не существует простых групп порядка 36, 80, 56, 196, 200.
5) Каждая группа порядка pq2 , где р,q — различные простые числа, имеет нормальную силовскую подгруппу.

41 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы

6 ) Если р,q — простые числа, р < q и q — 1 не делится на р, то любая группа порядка pq коммутативна, если же
q — 1 делится на р, то имеется некоммутативная группа порядка pq.
6.38. Сколько различных силовских 2-подгрупп и силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе порядка 20?
6.39. 1) Группа внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по ее центру.
2) Факторгруппа некоммутативной группы по ее центру не может быть циклической.
3) Центр некоммутативной группы не может быть максимальной подгруппой.
4) Центр группы порядка pn, где р — простое число, содержит более одного элемента.
5) Во всякой неединичной конечной р-группе коммутант отличен от самой группы.
6 ) Группа порядка р2 , где р — простое число, коммутативна, и есть либо циклическая группа, либо прямое произведение
двух циклических групп порядка р.
7) В некоммутативной группе порядка р3 центр совпадает с коммутантом и имеет порядок р, а все собственные
подгруппы коммутативны.
8 ) При р = 2 некоммутативная группа порядка р3 с exp(G) = р2 представима в виде G = {a) X {b), где о (a) = р2 ,
o(b) = р и ab = a1+p (ср. с 6 .6 6 ).
6.40. Пусть H — нормальная подгруппа в конечной р-группе G. Тогда H П Z(G) = е. В частности, если порядок
H прост, то H С Z(G).
6.41. Если P — силовская р-подгруппа конечной группы G, и H — подгруппа в G, содержащая нормализатор
N(P), то N(H) = H.
6.42. Найдите число классов сопряженности и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы G
порядка р3 , где р — простое число.
6.43. Пересечение любых двух различных максимальных коммутативных подгрупп содержится в центре группы.
6.44. Пусть в конечной группе G для каждого простого числа р, делящего порядок группы, существует лишь
единственная силовская р-подгруппа. Тогда элементы из различных силовских р-подгрупп переставимы между
собой; кроме того, Z(G) = е.
6.45. Если группа G имеет только одну инволюцию t, то t Е Z(G).
6.46. 1) Группа Dn симметрий правильного n-угольника (см. 3.44) изоморфна группе {a, b \ an = b2 = (ab)2 = е).
Группа, изоморфная группе Dn для некоторого n, называется конечной группой диэдра.
2) \Dn\ = 2n. Если m> 1, то
при n = 2 m, D’n = {a2 ), (Dn : D’n) = 4, Z(Dn) = {am), r = m +3,
2 2 m m
е am a am — 1 b ab
при n = 2 m + 1 , D’n = {a), (Dn : D’n) = 2 , Z(Dn) = е, r = m + 2 ,
2 2 2 n
е a am — 1 am b
Здесь r — число классов сопряженности; в нижних строках таблиц стоят представители сопряженных классов, в
верхних строках — мощности этих классов.
Нетривиальные гомоморфные образы группы Dn исчерпываются группами Z2 и Dk, где к \ n и к = 1,n.
3) Dn изоморфнамультипликативнойгруппематрицвида ^ ^ ^ | к Е ZnJ-, которая изоморфнагруппе D(Zn)
(определение см. 4.42).
4) Группа D(Z) (и всякая ей изоморфная) называется бесконечной диэдральной группой, D(Z) изоморфна мультипликативной
группе матриц вида ^ ^ Q | к Е ZJ- и имеет представление {a, b \ b2 = е, ba = a-1 b);
Z(D(Z)) = е, D(Z)’ = Z и (D(Z) : D(Z)’) = 4.
5) Группа G порождается двумя инволюциями (соответственно, двумя сопряженными инволюциями) в точности
тогда, когда G = D(Zn) или G = D(Z) (соответственно, G = D(Zn) для некоторого нечетного n).
6.47. 1) Q8 = {a, b \ a4 = е, b2 = a2, bab- 1 = a-1) = {a, b \ ab = b-1a, ba = a-1 b).
2) \Q8 \ = 8, {a2) = Z(Q8 ) = Q’g.
3) Хотя \ D4 \ = 8 , но D4 = Q8 . Сведения о сопряженных классах содержатся в таблице:

42 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы

4) Множество
Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы 43
р=н0 ? ) , ч — i —0,<— 1 QУ<-1 0
матриц над F3 составляет группу, изоморфную группе Q8 и являющуюся нормальной силовской 2-подгруппой в
SL(2, F3 ).
6.48. 1) Пусть G = {a, b), где a-1 ba = b-1 и b-1ab = a-1 . Тогда a4 = b4 = е и G изоморфна Z2 х Z2 или Q8 .
2) Опишите с точностью до изоморфизма все группы порядка: а) 4; б) 6 ; в) 8 ; г) 9; д) 10.
6.49. 1) Если N < G и N П G’ = е, то N С Z(G) и Z(G/N) = Z(G)/N.
2) Всякая минимальная нормальная подгруппа группы G содержится либо в G’, либо в Z(G).
6.50. Пусть H — холлова подгруппа группы G. Тогда:
1) условие H < G равносильно тому, что H — единственная подгруппа порядка \H\ в G;
2) G р-замкнута в том и только в том случае, когда G имеет нормальную силовскую р-подгруппу;
3) если H < K < G, то H < G;
4) если H < G и K — подгруппа в G, то:
а) \H\ делит \ K\ , если и только если H — подгруппа в K,
б) \K\ делит \ H\ , если и только если K — подгруппа в H.
6.51. Пусть H — подгруппа группы G.
1) Из P Е Sylp(G) не следует, что H П P Е Sylp(H).
2) Силовская подгруппа из G не может содержать две силовские подгруппы из H.
6.52. Пусть P Е Sylp(G) и n = (G : P). Если ни один отличный от 1 и n делитель числа n не сравним с 1 по модулю
р, то либо P < G, либо P максимальна в G.
6.53. Каждая группа порядка 22 ■ 52 , 23 ■ 52 , 23 ■ 7, 22 ■ 72 , 33 ■ 5, 54 ■ 7, 7 ■ 11 ■ 13 или 22 ■ 7 ■ 23 имеет нормальную
силовскую подгруппу.
6.54. Если в конечной группе G для любого делителя m порядка группы G уравнение хт = е имеет не больше m
решений, то группа G циклическая.
6.55. Число подгрупп порядка р в группе Sp равно (р — 2)!. В частности, (р — 2)! = 1 (modр).
6.56. Пусть P — подгруппа верхних унитреугольных матриц в GL(2, Fp).
1) Докажите, что P — силовская р-подгруппа в SL(2, Fp) и в GL(2, Fp).
2) Найдите нормализатор подгруппы P в SL(2, Fp) и в GL(2, Fp).
3) Найдите число различных силовских р-подгрупп в SL(2, Fp) и в GL(2, Fp).
6.57. Пусть q — степень простого числа р, Fq — поле из q элементов. Найдите порядок групп GL(n,Fq) и
SL(n, Fq). Докажите, что подгруппа верхних унитреугольных матриц является силовской р-подгруппой в GL(n, Fq)
и SL(n, Fq).
6.58. Пусть G = AB, где A и B — подгруппы группы G. Покажите, что:
а) существует силовская р-подгруппа P в A и силовская р-подгруппа Q в B такие, что PQ Е Sylp(G);
б) если A1 — нормальная р-подгруппа из A и B1 — нормальная р-подгруппа из B, то {A1, B1) — р-группа.
6.59. Пусть G = A х B, где A и B — подгруппы группы G. Тогда если P Е Sylp(G), то AP П BP = P.
6.60. Пусть G1 и G2 — конечные группы, G1 имеет n1 силовских р-подгрупп, G2 имеет n2 силовских р-подгрупп
(р фиксировано). Сколько силовских р-подгрупп имеет группа G1 х G2 ?
6.61. 1) Если N — пересечение всех максимальных подгрупп группы G, порядки которых делятся на р, то N
р-замкнута.
2) Каждая силовская подгруппа из подгруппы Фраттини $(G) нормальна в ней.
6.62. Пусть n ^ 2 и K — поле. Тогда:
а) GL(n, K) = SL(n, K) X F, где F ^ K*;
б) Z(GL(n, K)) = {ке \ к Е K*} = K*, где е — единичная матрица;

43 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы 

в) Z(SL(n, K)) = Z(GL(n, K)) П SL(n, K);
г) GL(n, K)’ = SL(n, K), если \K\ > 2 или n > 2;
д) SL(n, K)’ = SL(n, K), если \K\ > 3 или n> 2.
6.63. Пусть G = G1 х … х Gn — прямое произведение подгрупп Gi. Тогда если N < G и N’ = N, то N =
(N П G1 ) х … х (N П Gn).
6.64. Пусть G = N X H. Равносильны следующие условия:
а) G — группа Фробениуса с ядром N;
б) ни один неединичный элемент из N не перестановочен ни с одним неединичным элементом из H.
6.65. Опишите все конечные р-группы, имеющие только циклические максимальные подгруппы.
6 .6 6 . Следующие условия для конечной р-группы G равносильны:
а) G — некоммутативная группа, все собственные подгруппы которой коммутативны;
в) G = {a, b) для некоторых a, b Е G и \G’\ = р.
6.67. Пусть q — степень простого числа р, Fq — поле из q элементов. Определите строение централизаторов
следующих элементов в группе G = GL(2, Fq):
б) централизатор в G любого ее нецентрального элемента коммутативен.
6.69. Пусть G = GL(2, F), где F — поле.
1) Определите все инволюции в G (см. 4.40).
2) Подсчитайте число инволюций в G в случае, когда F = Fq.
6.70. Покажите, что Hol G = G х G, если группа G совершенна.
6.71. Следующие условия для группы G равносильны:
а) G — совершенная группа;
б) всякий раз, когда G — нормальная подгруппа группы A, выполняется A = G х Ca(G).
6.72. Группа G тогда и только тогда характеристически проста (т.е. G не имеет нетривиальных подгрупп H со
свойством Hf С H для каждого f Е Aut G), когда ее группа автоморфизмов является максимальной подгруппой
голоморфа группы G.
6.73. Пусть K — любое из колец Z, Zn, Q. Используя, что автоморфизмы аддитивной группы K+ исчерпываются
6.74. Пусть G = A X B, причем B действует на A точно (т.е. Cb(A) = е) и неприводимо (т.е. в A нет собственных
B-инвариантных подгрупп). Покажите, что если каждая подгруппа простого порядка из B нормальна в B, то G —
группа Фробениуса с ядром A.
6.75. В качестве одного из занимательных приложений кратко остановимся на знаменитой в свое время игре в
«15». Эту игру придумал в 70-х годах 19 века американский изобретатель головоломок Сэмюэль Лойд. Успеху
головоломки в некоторой степени способствовало напечатанное в газетах объявление о призе в 1 0 0 0 долларов за
решение следующей задачи:
в исходной позиции фишки располагаются по порядку номеров, за исключением двух последних, которые переставлены
местами друг с другом (рис. а); передвигая по одной фишке, но, не вынимая их из коробочки, нужно поменять

44 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы 

местами номера 15 и 14 так, чтобы все фишки стояли по порядку номеров, а правый нижний угол был свободен
(позиция S).
Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы 45
2 3 4
5 6 7 8
9 1 0 1 1 1 2
13 15 14
Рис. а — ловушка Лойда — позиция L
Ажиотаж вокруг игры в «15» начал стихать после того, как головоломкой занялись математики. Элементарная
теория групп раскрыла все секреты игры. Действительно, если мысленно заполнить пустое место фишкой 16, то
каждое положение игры ассоциируется с перестановкой из Siq. Например, рис. б
1 2 2 15
7 9 1 0 4
1 1 5 6 8
14 13 3
Рис. б — магический квадрат
соответствует перестановка
/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 \
^ 3 2 16 8 10 11 5 12 6 7 9 1 15 14 4 13 ):
во второй строке указан номер занимаемого фишкой г-го места.
Несложно доказать, что каким бы способом ни выбрать последовательность взаимных перестановок фишек, превращающих
одну заданную расстановку фишек в другую, четность числа перестановок в этой последовательности
всегда будет одной и той же. Поэтому правильное расположение достижимо тогда и только тогда, когда соответствующая
перестановка четная. В терминах теории групп все позиции в игре «15» разбиваются на две орбиты.
Одна орбита содержит правильную расстановку S, другая — ловушку Лойда L. Каждая орбита состоит из 16!/2
позиций. Определите, какой орбите принадлежит позиция на рис. б.
Практически ровно через сто лет Эрне Рубик предложил новую игру — кубик Рубика. В нашей стране журналы
«Квант» и «Наука и жизнь» опубликовали алгоритмы сборки кубика Рубика. В статье В. и С. Залгаллеров «Венгерский
шарнирный кубик» в «Кванте» 12 за 1980 год предложен алгоритм сборки кубика, целиком основанный на
коммутаторах.

45 Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы