Устройство четырехмерного куба

Устройство четырехмерного куба

Глава 2.

§ 2. Четырехмерное пространство

Главная страница Метод координат 9-ый класс.

Смотреть оригинал онлайн.

Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.

9. Устройство четырехмерного куба

Рассмотрим по порядку «кубы» р азличных
размерностей, т. е. отрезок, квадрат
и обычный куб.
Отрезок, определяемый соотношениями
является очень простой ф игурой.
Про него, пожалуй, можно лишь
сказать, что его граница состоит из двух
точек: 0 и 1. Остальные точки отрезка мы
будем называть внутренними.
Граница квадрата состоит из четырех
точек (вершин) и четырех отрезков. Т аким
образом, квадрат имеет на границе
элементы двух типов: точки и отрезки.
Граница трехмерного куба содержит элементы
трех типов: вершины — их 8, ребра
(отрезки) — их 12 и грани (квадраты) —
их 6.

60

рассмотреть аналитические определения
куба и квадрата.
Действительно (как Вы уже знаете
из упражнения 4 п. 10 гл. I), можно дать
такое определение:
Кубом называется множество точек
(х, у, г), удовлетворяю щих соотношениям:
0 < Ж 1, \
0 < у < 1 , 1 (*)
0 < z < l . |
Это «арифметическое» определение куба
не нуждается уже ни в каком чертеже.
О днако оно полностью соответствует геометрическому
определению куба ’).
Д л я квадрата тоже можно дать арифметическое
определение:
Квадратом назы вается множество точек
(х , у), удовлетворяю щ их соотношениям
(рис. 336):
1,
0 < у < 1 .
С равнивая эти два определения, легко
понять, что квадрат действительно я в л я ется,
как говорят, двумерным аналогом
куба. Мы будем называть иногда квадрат
«двумерным кубом».
Можно такж е рассмотреть аналог этих
фигур и в пространстве одного измерения
— на прямой. Мы получим множество
точек х прямой, удовлетворяющих соотношениям:
0==£л:=г£ 1.
’) К онечно, в пространстве есть и другие кубы.
Н апример, множество точек, определяемых соотношениями
— 1, — 1, — 1 < г < 1 ,
тож е является кубом. Этот куб очень хорош о
располож ен относительно координатных осей:
начало координат является его центром, координатные
оси и плоскости — осями и плоскостями
симметрии. Однако мы решили считать
основным куб, определяемый соотношениями (*).
Такой куб мы будем иногда называть единичным,
чтобы отличить его от других кубов.

61

Ясно, что таким «одномерным кубом»
I г является отрезок (рис. ЗЗв).
Мы надеемся, что теперь для Вас со-
Р и с. ЗЗв! вершенно естественно выглядит следующее
О п р е д е л е н и е . Четырехмерным к убом
называется множество точек (х , у , г, и),
удовлетворяю щ их соотношениям
1,
О < 0 < 1 ,
О 2 < 1,
0=^ и sg 1.
Не надо огорчаться, что мы не привели
пока рисунок четырехмерного
куба — мы это сделаем потом. (Не удивляйтесь,
что можно нарисовать четырехмерный
куб: ведь рисуем же мы трехмерный
куб на плоском листе бумаги.) Д л я этого
сначала надо разобраться, как этот куб
«устроен», какие элементы в нем можно
различать.

9. У стройство четырехмерного куба
Рассмотрим по порядку «кубы» р азличных
размерностей, т. с. отрезок, квадрат
и обычный куб.
Отрезок, определяемый соотношениями
0 = ^ х = ^ Г , является очень простой фигурой.
Про него, пожалуй, можно лишь
сказать, что его граница состоит из двух
точек: 0 и 1. Остальные точки отрезка мы
будем называть внутренними.
Граница квадрата состоит из четырех
точек (вершин) и четырех отрезков. Т аким
образом, квадрат имеет на границе
элементы двух типов: точки и отрезки.
Граница трехмерного куба содержит элементы
трех типов: вершины — их 8, ребра
(отрезки) — их 12 и грани (квадраты) —
их 6.

62

Эту таблицу можно переписать короче,
если условиться писать вместо названия
фигуры число п, равное ее размерности:
для отрезка п — 1, для квадрата п — 2,
для куба п — 3. Вместо названия элемента
границы тоже можно писать р азмерность
этого элемента: д ля грани /1= 2 ,
для ребра п = 1. При этом точку (вершину)
удобно считать элементом нулевой
размерности (/г=0). Тогда предыдущая
таблица примет такой вид:

Н аш а цель — заполнить четвертую
строку этой таблицы. Д л я этого мы еще
раз, но теперь уже ан али ти чески ’) просмотрим
границы отрезка, квадрата и куба
и по аналогии попробуем сообразить, как
устроена граница четырехмерного куба.
Граница отрезка 0 ^ л; sg 1 состоит из
двух точек: х = 0 и х — 1.
Г раница квадрата
содержит четыре вершины: х = 0 , у —0;
х = 0 , у — 1; х — 1, у = 0 и х ~ 1 , у — 1, т. е.
точки (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1).
То есть чисто арифметически.

63

Куб 0 х 1, О ^ г / s S l , O s g z sS 1
содержит восемь вершин. К аж дая из этих
вершин есть точка (х , у, г), в которой
х, у к z заменяю тся либо нулем, либо
единицей. Получаются следующие восемь
точек: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1),
( 1 , 0 , 0 ), ( 1, 0 , 1), ( 1, 1 , 0 ), ( 1 , 1, 1).
Вершинами четырехмерного куба:
0 s £ x s S 1,
0 1,
0< 2= = £ 1,
0s£«=sS 1
называю тся точки (х, у, г, и), у которых
х, у, г п и заменяю тся либо нулем,
либо единицей.
Т аких вершин 16, потому что можно
составить 16 различны х четверок из нулей
и единиц. В самом деле, возьмем тройки,
составленные из координат вершин трехмерного
куба (их 8), и к каждой такой
тройке припишем сначала 0, потом 1.
Таким образом, из каждой такой тройки
получится две четверки, всего четверок
будет 8 -2 = 1 6 . И так, вершины четырехмерного
куба мы сосчитали.
Подумаем теперь, что следует назы вать
ребром четырехмерного куба. Опять
воспользуемся аналогией. У квадрата ребра
(стороны) определяются следующими соотношениями
(см. рис. 336):
O s g x s g l , у = 0 (ребро АВ)\
х — 1, 0 sS у sS 1 (ребро ВС)\
O s ^ x s S l , г/= 1 (ребро CD);
х = 0, O s g y s g 1 (ребро DA).
К ак мы видим, для ребер квадрата х ар ак терно,
что у всех точек данного ребра
какая-нибудь из координат имеет определенное
числовое значение: 0 или 1,

64

а вторая координата принимает все зн ачения
между О I! 1.
Д алее рассмотрим ребра (трехмерного)
куба. Мы имеем (см. рис. 33а):
х = 0, у = 0, (ребро /1/1,);
О < ; 1, у = О, 2 = 1 (ребро A tB J ;
x — l, O s g t / s g l , 2 = 1 (ребро В.С,)
И т. д.
По аналогии дадим
О п р е д е л е н и е . Ребрами четырехмерного
куба называются множества точек,
для которых все координаты, кроме одной,
постоянны (равны либо 0, либо 1), а четвертая
принимает все возможные значения
от 0 до 1.
Примеры ребер:
1) х = 0, у = 0, 2 = 1 , 0 ^ и С 1;
2) 0 =sS х 1, у — 1, 2 = 0, и = 1;
3) X = 1, O a g y s s n , 2 = 0, И = 0
И т. д.
Попробуем посчитать, сколько ребер
у четырехмерного куба, т. е. сколько можно
написать таких строчек. Чтобы не
запутаться, будем считать их в определенном
порядке. П режде всего будем р азл и чать
четыре группы ребер: для первой
группы пусть переменной координатой
является х ( O s g x ^ l ) , а у, z и и принимают
постоянные значения 0 и 1 во
всех возможных комбинациях. Н о мы уже
знаем, что сущ ествует 8 различных троек
из нуля и единицы (вспомните, сколько
вершин у трехмерного куба). Поэтому
сущ ествует 8 ребер первой группы (для
которых переменной координатой является
х). Л егко понять, что и ребер второй
группы, для которых переменной является
не х, а у, тоже 8. Таким образом, ясно,
что всего у четырехмерного куба 4^8 =
= 32 ребра.
3 И . М . Г ельф ан д и д р .

65

Вот теперь легко выписать соотношения,
определяющие каждое из этих ребер,
не боясь пропустить какое-нибудь:

У трехмерного куба, кроме вершин
и ребер, имеются еще грани. На каждой
из граней две координаты меняются (приним
ая всевозможные значения от 0 до 1),
а одна координата постоянна (равна О
или 1). Например, грань A B B iA l (рис. 33а)
определяется соотношениями:
O s g x s S l , у = 0, 0 = ^ 2 ^ 1 .
По аналогии дадим такое
О п р е д е л е н и е . Двумерной гр а н ь ю ‘)
I четырехмерного куба называется множе-
! ство точек, для которых две какие-нибудь
‘ *) Необходимость уточнения названия грани (двумерная)
будет выяснена несколько позже

66

координаты могут принимать всевозможные
значения между 0 и 1, а две другие
постоянны (равны либо 0, либо 1).
Пример грани:
Х = 0, О е ^ г / ^ 1 , 2 = 1 , 0 < ы < 1.
Упражнение
Сосчитайте число гранен четырехмерного
куба. (Указание. Мы советуем сначала,
не прибегая к чертежу, а используя только
аналитические (арифметические) определения,
выписать все шесть строчек соотношений,
определяющих каж дую из
шести граней обычного трехмерного куба.
Ответ. У четырехмерного куба 24 двумерные
грани.)
Теперь мы можем заполнить четвертую
строку нашей таблицы:

Ясно, что эта таблица пока еще не
закончена: в ней не хватает правого нижнего
элемента. Дело в том, что вероятно
для четырехмерного куба нужно добавлять
еще один столбец. Действительно, у
отрезка был только один тип г р а н и ц ы —
вершины, у квадрата прибавились ребра,
у куба прибавились квадраты — двумерные
грани. Надо ож идать, что у четырехмерного
куба, кроме уже знакомых
элементов границы, появится еще новый
вид элементов, размерность которых будет
равна трем.

67

Попробуем дать
О п р е д е л е н и е . Трехмерной гранью
четырехмерного куба называется множество
точек, у которых три координаты принимают
всевозможные значения от 0 д о 1 ,
а одна постоянна (равна либо 0, либо 1).
Число трехмерных граней легко сосчитать.
Их восемь, так как для каждой
из четырех их координат есть два возможных
значения: 0 и 1, и мы имеем 2-4 = 8.
А теперь посмотрите на рис. 34. Там
нарисован четырехмерный куб. На рисунке
видны все 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерные
грани (они изображены п араллелограммами),
8 трехмерных граней (они
изображены параллелепипедами). На рисунке
хорошо видно, какая грань содержит
какое ребро, и т. д.
К ак получен этот рисунок? А подумайте,
как рисуют на плоском листе бумаги
обычный куб. И зображ ается так называемая
параллельная проекция трехмерного
куба на двумерную плоскость ’).
Чтобы получить наш рисунок, мы сначала
сделали пространственную модель, которая
является проекцией четырехмерного
куба на трехмерное пространство, а потом
нарисовали эту модель. Если у Вас умелые
руки, то и Вы можете сделать такую модель.
г) В курсе стереометрии Вы будете знакомиться
подробнее с параллельной проекцией. Чтобы
представить себе, что такое параллельная проекция
обычного куба на плоскость, поступите
так: сделайте куб из проволоки (каркас куба)
и посмотрите, какую тень он отбрасывает в
солнечный день на лист бумаги или стену.
Если Вы подходящим образом расположите
этот куб, то на тени получится тот рисунок,
который Вы обычно видите в книгах. Это и
есть параллельная проекция куба на плоскость.
Чтобы ее получить, надо через каж дую точку
куба провести прямую, параллельную одному
и тому ж е направлению (солнечные лучи параллельны
между собой), но не обязательно
перпендикулярно к плоскости. Тогда в пересечении
с плоскостью , на которую мы проектируем,
получится параллельная проекция фигуры.

68

Д ля этого можно, например, использовать
обыкновенные спички, скрепляя их пластилиновыми
ш ариками. (Сколько Вам понадобится
спичек? А сколько пластилиновых
шариков? А сколько спичек придется
втыкать в каждый ш арик?)
Н аглядное представление о четырехмерном
кубе можно получить и другим
способом. Представьте себе, что мы попросили
Вас прислать нам модель обычного
трехмерного куба. Конечно, Вы можете
воспользоваться «трехмерной» почтой. Но
трехмерные фигуры почта принимает в виде
посылок, а это сложно Поэтому лучше
сделать так: склеить куб из бумаги, потом
его опять расклеить и послать нам выкройку
или, как говорят математики, р азвертку
куба. Т ак ая развертка куба изображена
на рис. 35. Т ак как на рисунке проставлены
координаты вершин, то легко
понять, как надо склеить эту развертку,
чтобы получился сам куб.
Упражнения
1. Запиш ите соотношения, определяющие
каждую трехмерную грань четырехмерного
куба.
2. Можно сделать развертку четырехмерного
куба. Это будет некоторая трехмерная
ф игура. Очевидно, она будет состоять
из 8 кубиков. Если Вам удастся
сделать или представить себе эту развертку,
зарисуйте ее и на рисунке укажите
координаты каждой вершины

10. Задачи на куб

И так, мы немного разобрались в том,
как устроен четырехмерный куб. Попробуем
теперь представить себе его размеры.
Д лина каждого из ребер четырехмерного
куба, как и квадрата, как и обычного куба,
равна единице (под длиной ребра мы понимаем
расстояние между вершинами,

69

лежащими на этом ребре). Недаром мы
назвали наши «кубы» единичными.
1. Посчитайте расстояния между другими
вершинами куба, не лежащими на
одном ребре. (Д ля этого выберите одну
из вершин, лучше всего вершину (0, 0, 0, 0),
и считайте расстояния от этой вершины
до всех остальных. Ф ормула для вычисления
расстояния между точками у Вас
есть, координаты вершин Вы знаете, остается
произвести несложные вычисления.)
2. Решив задачу 1, Вы увидите, что
все вершины можно разбить на 4 группы.
Вершины первой группы находятся от
(0, 0, 0, 0) на расстоянии 1; вершины второй
группы — на расстоянии V 2; вершины
третьей — на р а с с т о я н и и ^ 3 и четвертой —
на расстоянии 1^4 — 2. Сколько у четырехмерного
куба вершин каждой группы?
3. Вершина (1, 1, 1, 1) удалена от
(0, 0, 0, 0) на самое большое расстояние,
равное 2. Эту вершину мы будем называть
противоположной вершине (0, 0, 0, 0), а отрезок,
их соединяющий,— главной диагональю
четырехмерного куба. Что называть
главной диагональю для кубов д р у гих
размерностей и чему равны длины
их главных диагоналей?
4. Теперь представьте себе, что трехмерный
куб сделан из проволоки и в вершине
(0, 0, 0) сидит муравей. Тогда из
одной вершины в другую муравью придется
ползти по ребрам. По скольким
ребрам ему придется проползти, чтобы
попасть в вершину (1, 1, 1) из вершины
(0, 0, 0)? По трем ребрам. Поэтому вершину
(1, 1, 1) мы будем называть вершиной
третьего порядка. Из вершины (0, 0, 0)
в вершину (0,1, 1) путь по ребрам состоит
из двух звеньев. Такую вершину будем
называть вершиной второго порядка.
В кубе есть еще вершины первого порядка
— это те, в которые муравей может
попасть, пройдя по одному ребру. Таких

70

вершин три: (О, О, 1), (О, 1, 0) и (1, 0, 0).
Вершин второго порядка у куба тоже три.
Запиш ите их координаты (задача 4а). Из
(0, 0, 0) в каждую из вершин второго порядка
существуют два пути, состоящих
из двух звеньев. Например, в вершину
(0, 1, 1) можно попасть через вершину
(0, 0, 1), а можно через вершину (0, 1,0).
Сколькими трехзвенными путями можно
попасть из вершины в противоположную
(задача 46)?
5. Возьмите четырехмерный куб с центром
в начале координат, т. е. множество
точек, удовлетворяющих соотношениям:
— 1 < л: < 1,
— 1 < £ < 1 ,
— 1 1 ,
— 1 U < 1.
Найдите расстояния от вершины (1, 1, 1, 1)
до всех остальных вершин этого куба.
К акие вершины будут вершинами первого
порядка относительно вершины
(1, 1, 1, 1) (т. е. в каки е вершины можно
попасть из вершины (1, 1, 1, 1), пройдя
по одному ребру)? К акие вершины будут
вершинами второго порядка? третьего? четвертого?
6. И последний вопрос, который может
служ ить для Вас контрольным вопросом
по четырехмерному кубу: Сколько существует
четырехзвенных путей, ведущих
из вершины (0, 0, 0, 0) четырехмерного куба
в противоположную вершину (1, 1, 1,1),
если идти по ребрам этого куба? Запишите
подробно маршруты для каждого пути,
у казы зая по порядку, через какие вершины
нужно проходить.

71

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Устройство четырехмерного куба