Четырехмерное пространство
Глава 2.
§ 2. Четырехмерное пространство
Главная страница Метод координат 9-ый класс.
Смотреть оригинал онлайн.
Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.
В заключение мы, как и обещали,
расскажем Вам немного о геометрии четырехмерного
пространства.
При построении геометрии на прямой,
на плоскости и в трехмерном пространстве
у нас есть две возможности: либо
излагать материал с помощью наглядных
представлений (этот способ характерен для
ш кольного курса, поэтому трудно себе
представить учебник геометрии без чертежей),
либо — и эту возможность дает
нам метод координат— излагать его чисто
аналитически, назвав, например, точкой
плоскости в курсе планиметрии пару чисел
(координаты этой точки), а точкой пространства
— тройку чисел.
При введении четырехмерного пространства
первая возможность у нас отсутствует.
Мы не можем непосредственно
пользоваться наглядными геометрическими
представлениями — ведь окруж аю щ ее нас
пространство имеет всего три измерения.
Однако вторая дорога для нас не закрыта.
В самом деле, мы определяем точку прямой
как число, точку плоскости как пару
чисел, точку трехмерного пространства как
тройку чисел. Поэтому совершенно естественно
построить геометрию четырехмерного
пространства, определив точку этого
воображаемого пространства как четверку
чисел. Под геометрическими фигурами
в таком пространстве нужно будет понимать
некоторые множества точек (как,
впрочем, и в случае обычной геометрии).
Перейдем теперь к точным определениям.
52
6. Координатные оси и плоскости
О п р е д е л е н и е . Точкой четырехмерного
пространства называется упорядоченная
‘) четверка чисел (х, у, г , и).
Что считать в пространстве четырех
измерений координатными осями и сколько
их?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся
на время к плоскости и трехмерному
пространству.
Н а плоскости (т. е. в пространстве двух
измерений) координатные оси — это множества
точек, у которых одна из координат
может иметь любое числовое значение,
а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс —
это множество точек вида (х, 0), где
х — любое число. Н апример, на оси абсцисс
леж ат точки (1, 0), ( — 3, 0),
^ 2^ — , 0^, а точка ^ , 2 ‘j не лежит на оси
абсцисс. Ось ординат плоскости— это множество
точек вида (0, у), где у — любое
число.
В трехмерном пространстве есть три
оси:
ось х — это множество точек вида
(х, 0, 0), где х — любое число;
ось у — множество точек вида (0, г/,0),
где у — любое число;
ось г — множество точек вида (0,0, г),
где z — любое число.
В четырехмерном пространстве, состоящем
из всех точек вида (х, у, z, и), где
х, у, г, и — любые числа, естественно считать
координатными осями такие множества
точек, у которых одна из координат
принимает любые числовые значения,
а остальные равны нулю. Тогда ясно, что
*) Мы говорим «упорядоченная», так как при разном
расположении одних и тех ж е чисел в четверке
получаются разные точки: например, точка
(1, — 2, 3, 8) отлична от точки (3, 1, 8, — 2).
53
координатные оси:
ось х — множество точек вида (х , 0, 0, 0),
где х — любое число;
ось у — множество точек вида (0, у, 0, 0),
где у — любое число;
ось z — множество точек вида (0, 0, z , 0),
где z — любое число, и
ось гг — множество точек вида (0, 0, 0, гг),
где и — любое число.
В трехмерном пространстве, кроме координатных
осей, имеются еще координатные
плоскости. Э то— плоскости, проходящие
через две какие-либо координатные
оси. Например, плоскость y z — это плоскость,
проходящ ая через ось у и ось г.
Всего в трехмерном пространстве есть
три координатные плоскости:
плоскость х у — множество точек вида
(х, у, 0), где х и у — любые числа;
плоскость y z — множество точек вида
(0, у, г), где у и г — любые числа;
плоскость xz — множество точек вида
(х, 0, г), где х и z — любые числа.
Естественно и в четырехмерном пространстве
назы вать координатными плоскостями
множества точек, у которых
какие-либо две из четырех координат принимают
любые числовые значения, а остальные
две равны нулю. Н апример, множество
точек вида (х, 0, г, 0) мы будем назы вать
координатной плоскостью xz четырехмерного
пространства. Сколько же всего
таких плоскостей?
Это нетрудно сообразить. Мы сейчас
просто выпишем их все:
плоскость х у — множество точек вида
(х, у, 0, 0),
плоскость x z — множество точек вида
(х, 0, Z, 0),
плоскость хи — множество точек вида
(х, 0, 0, гг),
плоскость y z — множество точек вида
(0, у, г, 0),
54
плоскость у и — множество точек вида
(О, у , 0 , и ) ,
плоскость z u — множество точек вида
(О, 0, г, и).
Д л я каждой из этих плоскостей переменные
координаты могут принимать лю бые
числовые значения, в том числе и нулевое.
Например, точка (5, 0, 0 ,0 ) заведомо
принадлежит плоскости ху и плоскости хи
(а еще какой?). Тогда легко видеть, что,
например, плоскость yz «проходит» через
ось у в том смысле, что каж дая точка этой
оси принадлежит этой плоскости. Д ействительно,
лю бая точка на оси у, т. е. точка
вида (0, у, 0, 0), принадлежит множеству
точек вида (0, у, г, 0), т. е. плоскости yz.
Вопрос. Какое множество образую т точки,
принадлеж ащ ие одновременно и плоскости
yz и плоскости xz?
Ответ. Это множество состоит из всех
точек вида (0, 0, г, 0), т. е. является просто
осью z.
И так, в четырехмерном пространстве
существуют множества точек, аналогичные
координатным плоскостям трехмерного
пространства. Их шесть. Каждое из них
состоит из точек, у которых, как и у точек
координатных плоскостей трехмерного пространства,
две какие-либо координаты могут
принимать любые числовые значения,
а остальные две равны нулю. К аж дая из
этих координатных плоскостей «проходит»
через две координатные оси: например,
плоскость yz проходит через ось у и ось г.
С другой стороны, через каждую ось проходят
три координатные плоскости. Т ак,
через ось х проходят плоскости ху, xz
и хи. Мы будем говорить, что ось х является
пересечением этих плоскостей. Все шесть
координатных плоскостей содержат одну
общую точку. Это точка (0,0, 0 ,0 ) — начало
координат.
Вопрос. К акое множество точек является
пересечением плоскостей ху и yz? ху и zu?
55
Мы видим, что картина получается
вполне аналогичная той, которая имеется
в трехмерном пространстве. Мы даж е сейчас
попытаемся сделать схематический рисунок,
который поможет создать некоторый
наглядный образ расположения координатных
плоскостей и осей четырехмерного
пространства. На рис. 31 плоскости
координат изображены параллелограм мами,
оси — прямыми: все точно так же, как
это было сделано на рис. 20 для трехмерного
пространства.
Однако в четырехмерном пространстве
есть еще множества точек, которые можно
называть координатными плоскостями.Этого,
кстати сказать, следовало ожидать:
на прямой имеется только начало координат;
на плоскости есть и начало координат,
и оси; в трехмерном пространстве,
кроме начала и осей, появляю тся еще
координатные плоскости. Естественно, что
в четырехмерном пространстве появляю тся
новые множества, которые мы будем назы вать
трехмерными координатными плоскостями.
Э т о —множества, состоящие из всех
точек, у которых какие-либо три из четырех
координат принимают всевозможные
числовые значения, а четвертая равна
56
нулю. Таково, например, множество точек
вида (х , 0, г, и), где х, г, и принимают
всевозможные значения. Это множество
мы будем называть трехмерной координатной
плоскостью xzu. Л егко понять, что
в четырехмерном пространстве существует
четыре координатные трехмерные плоскости
:
плоскость xyz — множество точек вида
(*, у, г, 0),
плоскость хуи —множество точек вида
(х, у , О, и),
плоскость x z u — множество точек вида
(X, 0, 2, и),
плоскость yzu — множество точек вида
(0, у, 2, и).
Можно такж е сказать, что каж дая из
трехмерных координатных плоскостей
«проходит» через начало координат и что
каж дая из этих плоскостей «проходит»
через три координатные оси (слово «проходит
» мы здесь употребляем в том смысле,
что начало координат и каж дая из точек
осей принадлежат плоскости). Например,
трехмерная плоскость хуи проходит через
оси х, у и и.
57
Аналогично можно сказать, что каж дая
из двумерных плоскостей является
пересечением двух трехмерных плоскостей.
Например, плоскость ху является
пересечением трехмерных плоскостей хуг
и хуи, т. е. состоит из всех точек, принадлежащих
одновременно и тому и д р у гому
множеству.
Посмотрите на рис. 32. Он отличается
от рис. 31 тем, что мы дорисовали
на нем трехмерную координатную плоскость
хуг. Она изображена параллелепипедом.
Видно, что эта плоскость содержит
оси х, у и г и плоскости ху, хг и уг.
7. Некоторые задачи
Попробуем теперь разобраться в том,
в каком смысле можно говорить о расстоянии
между точками четырехмерного
пространства.
В пп. 3 ,6 и 9 главы I этого выпуска
мы показали Вам, что метод координат
дает возможность определять расстояние
между точками, не опираясь на геометрические
представления. Действительно,
расстояние вычисляется для точек А (х,)
и В (х2) прямой по формуле
р (А, В) — \ х 1 х 21,
или _________
р {A, B) = V ( x l — x 2¥\
для точек А (х ,, y t) и В (х2, у г) плоскости
— по формуле
р (А, В) = У ( х 1 — х 2)г + (г/, — у 2У
и для точек А (х,, у „ г ,) и В (х2, г/2, г2)
трехмерного пространства по формуле
p ( A , B ) = V ( x 1 — х гу + ( у — у.У + ( г —z2)2.
Естественно и для четырехмерного
пространства определить расстояние ана-
58
логичным образом, а именно ввести следующее
О п р е д е л е н и е . Расстоянием между
двумя точками A {хл, y v z t , u t) и
В (х2, уг, гг, и.) четырехмерного пространства
называется число р (Л, В), вычисляемое
по формуле
Р( Л, Д) =
= / ( * * —**)* ф ( у — у 2)г+ ( г — г 2)2 + { и — и 2)2.
В частности, расстояние точки A (x,y,z.u )
от начала координат дается формулой
р (0, A) = V x ^ r i f + z 4 u2-
П ользуясь этим определением, можно
уже реш ать задачи из геометрии четырехмерного
пространства, совсем похожие на
те, которые Вы решаете по школьным
задачникам.
У пражнения
1. Д окаж ите, что треугольник с вершинами
А (4, 7, — 3, 5), В (3, 0, — 3, 1)
и С (— 1, 7, —3, 0) равнобедренный.
2. Имеются четыре точки четырехмерного
пространства: Л ( 1, 1, 1, 1),
В (— 1, — 1 , 1, 1), С (— 1, 1, 1, — 1) и
D ( 1 ,— 1, 1 ,— 1). Д окаж ите, что эти четыре
точки равноудалены друг от друга.
3. Пусть А , В и С — точки четырехмерного
пространства. Мы можем определить
угол A B C следующим образом.
П оскольку мы умеем вычислять расстояния
в четырехмерном пространстве, найдем
р (А, В), р ( В , С ) и р ( Л , С ) , т. е. «длины
сторон» треугольника ABC. Построим теперь
на обычной двумерной плоскости
треугольник А ‘ В ‘С ‘ такой, чтобы его
стороны А В , ВС и СА равнялись бы соответственно
р (Л, 5 ), р (В, С) и р (Л, С).
Тогда угол А ’В ‘ С этого треугольника
и будем называть углом A B C в четырехмерном
пространстве.
59
Д окаж ите, что треугольник с верш инами
А (4, 7, — 3, 5), В (3, 0, — 3, 1) и
С (1, 3, — 2, 0) — прямоугольный.
4. Возьмем точки А , В и С из упраж нения
1. Вычислите углы Л, В и С треугольника
A B C .
60
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Околоadmin
