дома » Алгебра в школе » Что же такое доказательство!

Что же такое доказательство!

Что же такое доказательство!

Главная Страница Зачем и как мы доказываем в математике.

Нажмите на ссылку, чтобы посмотреть оригинал в формате PDF —

stolyar-12-28

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Зачем и как мы доказываем в математике

Зачем и как мы доказываем в математике

А. Прежде всего хотелось бы выяснить, почему
не устраивает Вас часто встречающееся в школьных
учебниках разъяснение: «Доказательство —
рассуждение, с помощью которого истинность
одного (доказываемого) предложения устанавливается,
исходя из других предложений, истинность
которых ранее уже установлена (или принята без
доказательства)».
Не устраивает, во-первых, потому, что не
знаю, что такое рассуждение. Разъяснение, которое
сводит одно понятие (доказательство) к другому
(рассуждение), пожалуй, еще менее ясному,
чем первое, согласитесь, ничего не разъясняет.
А. Согласен. Ну, а во-вторых?
С. Во-вторых, не ясно, как это рассуждение
устанавливает истинность одного предложения,
исходя из других. И в-третьих, по-видимому, не
всякое рассуждение может служить доказательством.
Не зная точно, что такое доказательство,
вряд ли можно четко установить, когда рассуждение
является и когда не является доказательством.
А, Все Ваши вопросы оправданы и приходится
согласиться с данной Вами оценкой приведенного
выше «разъяснения» понятия доказательства.
Что же такое доказательство?
А- Мы будем постепенно приближаться к ответу
на этот вопрос, т. е. к переходу от нашего
интуитивного понятия содержательного доказательства
к точному понятию формального доказательства.
Для начала еще раз рассмотрим доказательство
того, что ծ + ( — а) является решением уравнения
х — \ ֊а = Ь. т. е. что
для любых а и ,ծ(ծ + ( — а))-\-а = Ь. (*)

14

С, Мы представили его в виде последовательности
равенств.
А. И так как равенство — частный случай предложения,
то можно сказать, что это доказательство
представлено в виде конечной последовательности
предложений:
1 • {Ь + (— а)) + а = b -f- ((— о) + а);
2. ծ -)- ((— а) а) = b (а (— а));
3. ծ (а + (— а)) = Ь -(- 0;
4. b + 0 = b.
Но можно ли это доказательство считать полным?
С. Я еще не знаю, что такое доказательство, а
Вы хотите, чтобы я уже определил, полное ли оно.
А. Это верное замечание. Однако исходя из
того интуитивного, неточного понятия доказательства,
которое у Вас имеется, нельзя ли оценить,
все ли проведено в нем?
С. Вообще говоря, это доказательство не совсем
согласуется с интуитивным представлением
о доказательстве как о рассуждении. Здесь и рассуждения-
то нет.
А. Рассуждение здесь есть, но оно явно не выражено.
Можно ли утверждать, что последовательность
предложений 1—4 является доказательством
именно предложения (*)?
С. Вы имеете в виду, что доказательство должно
оканчиваться доказываемым предложением,
чтобы можно было заключить «что и требовалось
доказать»?
А. Именно это я имею в виду. Нельзя ли дополнить
последовательность предложений 1—4 т а ким
образом, чтобы предложение (*) следовало
из предшествующих ему предложений?
С. По-видимому, это можно сделать так. Из 1
и 2 следует
3՜: (Ь ֊է ֊ (— а)) — | = — а)).
А. На каком основании?
С. Из А = В и В = С следует А = С.
А. Совершенно верно. Это — свойство транзитивности
равенства.

15

С.А как доказать это свойство?
А.Можно принять его за одну из аксиом, ха рактеризующих
отношение равенства ( = ), которую
мы дальше обозначим сокращенно: ТР.
С. В таком случае из 3′ и 3 по этому же свойству
получаем
4′: (д + ( — а )У+ а = Ь + О,
а из 4′ и 4 —
(*): (Ь + ( — а)) + а = Ь,
что и требовалось доказать.
А. Отлично. Как же теперь более полно записать
это доказательство?
1. (ծ -)- (— а)) -}- а = b -\- ( (— а) -|- а );
2- ^ + ((— а) + а) = b + (а + (— а))\
3Հ- (b + (— а)) + а — b -)- (а + (— а))\
3. b -)֊ (а 4 ֊ (— а)) = ծ -|- 0;
4 ‘ . ( b+ ( — а)) + a = b + 0 ;
4. ծ + 0 = ծ ;
(*). ( ծ + ( —а)) + а = ծ, ч. т. д.
А. Как видно, теперь уже имеем последовательность
из семи предложений вместо четырех.
Но как получены новые предложения?
С. Предложение 3′ получено (следует) из 1 и 2
по ТР, 4′ — из 3′ и 3, ( *) — из 4′ и 4 по тому же
свойству.
А. Совершенно верно. Но что можно сказать
о каждом из остальных предложений, составляющих
доказательство? Рассмотрим их по порядку.
Что представляет собой первое предложение?
С. Оно получено в результате применения з а кона
ассоциативности к выражению (Ь + (— а)) + а.
А. Иначе говоря, предложение 1 можно получить,
если в аксиоме (а 1), выражающей ассоциативность
сложения, положить х = Ь , у = —а и
z = а.
С. А на каком основании мы можем это делать?
А. Так как (al) верно для любых х, у, z из Z
в силу того, что выбрано в качестве аксиомы, то
и равенство 1, полученное в результате указанной
выше подстановки в (al), тоже будет верным для

16

любых а и b из Z. Эту процедуру, которой Вы
широко пользуетесь в школьной алгебре, назовем
правилом подстановки (ПП). (Дальше мы будем
иметь возможность уточнить это правило.)
Перейдем теперь к предложению 2. Как его
можно получить?
С. Если в выражении ծ + ( ( — а) + а) заменить
(( — а) + а) равным ему выражением (а + ( — а))>
получим равенство 2.
А. Значит, здесь другая, применяемая в школьной
алгебре процедура, которую можно описать
в общем виде следующим образом: «Если А = В —
истинное равенство и выражение А входит в ка-
кое-нибудь истинное предложение, то, заменив его
на В (или В на А) всюду или не всюду, где оно
входит в это предложение, получим снова истинное
предложение». Эту процедуру назовем правилом
замены равным (ПЗР).
Но откуда следует, что ((— а) -f- а) = (а + (— а)) —
истинное равенство?
С. По закону коммутативности сложения.
А. Верно, т. е. применяя ПП к (а2), а именно:
подставив х = —a n y — а, получим (— а)-\-а =
= а + ( — а).
С. Теперь уже понятно, как получается предложение
3: по ПЗР выражение а + ( — а) в выражении
Ь- \ — {а- \ ֊( — а)) заменяем равным выражением
0, а равенство этих двух выражений получается
с помощью ПП из (аЗ).
А. А предложение 4?
С. Его можно получить по ПП из (а4).
А. Теперь мы уже можем дать полную запись
доказательства с указанием, каким путем получено
каждое из составляющих его предложений (в скобках
даны номера предложений в прежнем представлении
доказательства):
1. (x + y ) — \ ֊z = x + (y + z); 1. аксиома (al);
2. (6 + ( ֊а ) ) + а = (1) 2. 1, ПП3;
= & + (( — а) + а);
3. х у = у-\-х; 3. аксиома (а2);
3 «2.1, ПП» означает: предложение 2 получено из 1 по ПП.

17

4. ( — а) + а = а + {— а); 4. 3, ПП;.
5. Ь + ({ — а) + а) =
= b + (а + (а + (— а))
(2)
У
5. 4, ПЗР;
6. (Ь + (— а)) 4՜ а = (3’) 6. 2, 5, ТР;
== ь 4՜ (а 4՜ (—а)У’
7. х + ( — х) = 0; 7. аксиома (аЗ);
8. а 4՜ ( — а) = 0; 8. 7, ПП;
9. b + (а + (— а)) = b + 0; (3) 9. 8, ПЗР;
10. х -f- 0 — х՝, 10. аксиома (а4);
11. b + 0 = b; (4) 11. 10, ПП;
12. b 4՜ (а + (— а)) = ծ ;
(*)
12. 9, 11, ТР;
13. (ծ + (— а)) + а = b. 13. 6, 12, ТР.
С. Это очень интересно. Теперь я вижу всю це-
почку рассуждений, берущую начало от аксиом
и оканчивающуюся доказываемым предложением.
Но наше доказательство все удлиняется. В начале
оно состояло из четырех предложений, затем —
из семи, теперь уже — из тринадцати.
А. Это верно. Но дело в том, что первая и вторая
записи доказательства были неполными. В обычной
практике, в школе, в вузе и в самой математике,
за исключением теории доказательства,
предметом которой является само понятие доказательства,
пользуются такими сокращенными, неполными
доказательствами. Никто не станет явно
высказывать все посылки, строить полные цепочки
рассуждений, длина которых может дойти до сотен
предложений. Однако по Вашему желанию для
выяснения того, что такое доказательство, мы дополнили
наше неполное доказательство новыми
предложениями и получили полное.
С. Но я надеюсь, что до доказательства длиной
в сотни предложений дело у нас не дойдет!
А. Конечно, нет. Видимо, напугал Вас. Мы
сумеем найти достаточно простые примеры для
иллюстрации сложных понятий, и вообще наша
«теория доказательства» не будет безупречной.
С. Поэтому Вы ее берете в кавычки?
А. Именно поэтому. Однако мы немного отвлеклись.
Теперь можно подвести некоторые итоги.
Выше мы вели запись в двух столбиках: в левом
— само доказательство, последовательность из

18

13 предложений, в правом — анализ доказательства,
т. е. основание, на котором данное предложение
включено в доказательство. Из анализа видно,
какие предложения составляют доказательство.
С. Ими являются аксиомы или предложения,
получаемые из предшествующих с помощью ПП,
ПЗР или ТР.
А. А последнее предложение?
С. Это — доказываемое предложение.
А. Таким образом, наше доказательство удалось
представить в виде конечной последовательности
предложений, удовлетворяющей двум условиям:
(а) каждое предложение последовательности
либо аксиома, либо получается из каких-нибудь
предшествующих ему в этой последовательности
предложений по ПП, ПЗР или по свойству ТР,
(б) последнее предложение есть доказываемое.
С. Как же это доказательство устанавливает
истинность доказываемого предложения?
А. Очень просто. Легко показать, что каждое
предложение приведенной конечной последовательности
истинно:
1 — как аксиома;
2 — так как следует из истинного предложения
1 по ПП;
3 — как аксиома;
4 — так как следует из истинного предложения
3 по ПП;
5 — так как следует из истинного предложения
4 по ПЗР;
6 — так как следует из истинных предложений
2 и 5 по ТР;
7 — как аксиома;
8 — так как следует из истинного предложения
7 по ПП;
9 — так как следует из истинного предложения
8 по ПЗР;
10 — как аксиома;
11 — так как следует из истинного предложения
10 по ПП;
12 — так как следует из истинных предложений
9 и 11 по ТР;

19

13 — так как следует из истинных предложений
6 и 12 по ТР.
С. Я заметил, что истинность каждого из этих
предложений устанавливается одним из двух способов:
оно истинно либо в силу того, что принято
в качестве аксиомы, либо в силу того, что следует
из истинных предложений.
А. Вы правильно заметили.
С. Можно ли в таком случае утверждать, что
доказательство основано на аксиомах и на отношении
следования между предложениями?
А. Можно, разумеется, так как при уточнении
понятия доказательства мы будем пользоваться понятиями:
предложение, истина, ложь, следование,
хотя в теории доказательства этими понятиями не
пользуются (вместо них вводятся точные понятия:
«формула», «правила вывода», «доказательство»,
«вывод одной формулы из других» и др.). В школе
Вам разъясняли, что означает «следует»?
С. Да. Но по-видимому, этих знаний следования
недостаточно для понимания того, как на нем
строятся доказательства. Этот вопрос я намерен
поставить позднее. Пока меня интересует другое.
Вы представили одно доказательство в виде конечной
последовательности предложений, удовлетворяющей
условиям (а) и (б), и показали, как оно
устанавливает истинность доказываемого предложения.
Но можно ли всякое математическое доказательство
представить в таком виде? Мне кажется,
что в доказательствах геометрических теорем
вряд ли применимы ПП и ПЗР.
А Вопрос вполне уместен. Из того, что мы одно
доказательство представили определенным образом,
отнюдь не следует, что всякое доказательство представимо
таким же образом. Вы также правы в том,
что во многих доказательствах вовсе не применяются
ПП, ПЗР и ТР. Однако оказывается, что всякое
математическое доказательство можно представить
в виде конечной последовательности предложений,
удовлетворяющей двум условиям, из которых одно
несколько отличается от условия (а), а другое совпадает
с условием (б).

20

С. Чем отличается?
А. Набором правил следования (вывода). Но
об этом речь пойдет дальше. Здесь пока уместно
показать, что и обычное доказательство геометрической
теоремы, которое возьмем без всяких изменений
из школьного учебника, можно представить
в виде конечной последовательности предложений
так, чтобы последним в этой последовательности
было доказываемое, а истинность его обеспечивалась
бы всеми предшествующими ему предложениями.
Рассмотрим в качестве примера доказательство
теоремы: «Диагонали ромба пересекаются под прямым
углом». Процитируем его из учебного пособия
А. В. Погорёлова «Геометрия, 6—10» (опуская при
этом доказательство второй части теоремы: диагонали
ромба являются биссектрисами его углов):

«Пусть ABCD — данный ромб, О — точка пересечения
диагоналей (рис. 1). По свойству параллелограмма
АО = ОС. Значит, в равнобедренном
треугольнике ABC отрезок ВО является медианой.
По свойству равнобедренного треугольника медиана,
проведенная к его основанию, является высотой.
А это значит, что диагональ BD перпендикулярна
к диагонали АС. Теорема доказана».

21

Попытаемся теперь выявить математические
предложения, участвующие в этом доказательстве,
опуская фигурирующие в тексте доказательства
слова «пусть», «значит», «по свойству», и т. п. Как
же это доказательство можно записать в виде конечной
последовательности предложений?
С. По-видимому, так:
а) ABCD — ромб;
б) АО = ОС\
в) ABC — равнобедренный треугольник;
г) ВО — медиана треугольника АВС\
д) ВО — высота треугольника АВС\
е)BD J -АС, ч. т. д.
А Очень хорошо. А теперь попытаемся выяснить,
какие еще предложения используются в этом
доказательстве, хотя они явно не высказаны. Для
этого необходимо выяснить, откуда следуют некоторые
из перечисленных Вами предложений. Итак,
откуда следует предложение б)?
С. Из того, что ABCD — ромб, т. е. из предложения
а ) , так как если ABCD — ромб, то ABCD —
параллелограмм, а в параллелограмме диагонали
• делятся точкой пересечения пополам.
А. Итак, Вы забыли включить предложение:
«О — точка пересечения диагоналей». Кроме того,
из Вашего рассуждения возьмем еще предложения:
«Если ABCD — ромб, то ABCD — параллелограмм»
и «Если ABCD — параллелограмм и О — точка пересечения
диагоналей, то АО = ОС». Нужно еще выяснить,
откуда следует, что ABC — равнобедренный
треугольник и ВО — высота этого треугольника.
С. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС, т. е.
ABC — равнобедренный треугольник, и поэтому медиана
ВО будет также высотой.
А Теперь, кажется, можно попытаться записать
полное доказательство, т. е. такую конечную последовательность
предложений, которая оканчивалась
бы доказываемым предложением е) и содержала
бы все и только те предложения, которые
необходимы для установления истинности последнего
(мы опять будем пользоваться записью в два
столбика, причем справа, где мы называем, в каком

22

качестве каждое предложение входит в доказательство
(анализ доказательства), поставим знак
вопроса вместо пока неизвестного нам правила
следования, применение которого представляется
необходимым для получения данного предложения
как следствия каких-то предшествующих ему):
1. ABCD — ромб; (а) 1. посылка;
2 . 0 — точка пересечения 2. посылка;
диагоналей;
3. Если ABCD — ромб, то 3. из определения;
ABCD — параллелограмм;
4. ABCD — параллело4.
3, 1, ?;
грамм;
5. ABCD — параллело5.
4, 2, ?;
грамм и О — точка пересечения
диагоналей;
6. Если A BCD — парал6.
р. д. т. (ранее
лелограмм и О — точка доказанная теопересечения
диагоналей, рема);
то АО = ОС;
7. АО = ОС; (б) 7. 6, 5, ?;
8. Если ABCD — ромб, то 8. из определения;
АВ = ВС\
9. АВ = ВС; 9. 8, 1, ?;
10. Если АВ — ВС, то 10. из определения;
ABC — равнобедренный
треугольник;
11. ABC — равнобедренный 11. Ю, 9, ?;
треугольник; (в)
12. Если А О = ОС, то ВО— 12. из определения;
медиана треугольника
АВС\
13. ВО—медиана треуголь13.
12, 7, ?;
ника АВС\ (г)
14. ABC — равнобедренный 14. 11, 13, ?;
треугольник и ВО —
его медиана;
15. Если ABC — равнобед15.
р. Д. т.;
ренный треугольник и
ВО — его медиана, то
ВО — высота а АВС\

23

16. ВО — высота треуголь- 16. 15, 14, ?;
ника ABC; (д)
17. Если ВО — высота 17. из определения;
ААВС, то ВО А-АС;
18. ВО ± АС (или B D ± АС, 18. 17, 16, ?.
так как О £ BD), (е)
ч. т. д.
С. Что последнее предложение 18 есть доказываемое
предложение, сразу видно. Но Вы поставили
очень много вопросительных знаков.
А. Займемся теперь ими. Хотя вопросительных
знаков действительно много, но они необязательно
обозначают различные правила следования. Мы убедимся
без особого труда, что для снятия всех этих
вопросительных знаков достаточно лишь двух правил
следования.
Начнем с первого вопросительного знака в четвертой
строке, т. е. выясним, какое правило следования
необходимо, чтобы предложение 4 получилось
как следствие из предложений 3 и 1.
Обозначим предложение 1 через Р, а предложение
4 через Q. Тогда предложения 1, 3 и 4 з а пишутся
так:
1. Р;
3. Если Р, то Q;
4. Q,
и чтобы предложение 4 следовало из предложений
1 и 3, необходимо правило, которое независимо
от содержания предложений Р и Q допускало бы
следование из двух предложений (посылок)
«Я» и «Если Р, то Q»
предложения (заключения, следствия) «Q».
Если же теперь через Р обозначить предложение
5, а через Q — предложение 7, то предложения
5, 6 и 7 будут записываться точно так же, как
1, 3 и 4, т. е. предложение 7 будет следовать из
предложений 5 и 6 по тому же правилу, что и предложение
4 из предложений 1 и 3.
Какие еще предложения нашей последовательности
могут быть получены как следствия из двух
предшествующих им по такому же правилу?

24

С. Предложение 9 из 8 и 1, предложение 11
из 10 и 9, 13 из 12 и 7, 16 из 15 и 14 и 18 из 17 и 16.
А. Отлично. Оказывается, Вы хорошо отделяете
форму предложений от их содержания. Таким образом,
мы выделили все тройки предложений, имеющие
форму:
«Р», «Если Р, то Q» и «Q».
Но у нас осталось два вопросительных знака,
в пятой и четырнадцатой строках. Какое правило
необходимо, чтобы предложение 5 получилось как
следствие из предложений 4 и 2?
С. Нужно правило, позволяющее из двух предложений:
«Р» и «Q» получить как следствие предложение
«Р и Q». И такое же правило нужно,
чтобы получить предложение 14 как следствие из
предложений 11 и 13.
А. Итак, в нашем доказательстве применяются
лишь два правила следования. По первому правилу
из двух предложений «Р» и «Если Р, то Q» следует
предложение «Q». Это правило следования находит
широкое применение. Его называют правилом з а ключения
(ПЗ).
Для него сохранилось и латинское название:
Modus ponens, что означает «утверждающий модус».
По второму правилу из двух предложений «Р»
и «Q» следует предложение «Р и Q». Это правило
называют введением конъюнкции (ВК), от латинского
conjunctio, что означает «соединение».
С. Но как убедиться, что такие правила можно
применять?
А. Вы имеете в виду, как убедиться в том, что
всегда, когда истинны посылки, т. е. предложения,
к которым применяются эти правила, обязательно
будут истинными и получаемые из них следствия?
С. Именно это я имею в виду. Ведь без этого
последовательность предложений 1 —18 не устанавливает
истинность доказываемого предложения.
А. Вы, безусловно, правы. Однако ответ на Ваш
вопрос мы получим позже.
С. Почему-то в последнем доказательстве не
участвуют аксиомы.

25

А. Ничего удивительного в этом нет. Если проанализировать
доказательства тех р. д. т., которые
участвуют в приведенном доказательстве, а затем
и доказательства тех еще ранее доказанных теорем,
которые участвуют в доказательствах этих р. д. т.,
мы неизбежно придем к доказательствам, в которых
участвуют аксиомы. Иными словами, в приведенном
доказательстве нет ссылок на аксиомы потому,
что эта теорема расположена довольно «да леко
» от аксиом, т. е. ее отделяет от аксиом довольно
большое число предшествующих ей теорем. В доказательствах
некоторых из них используются аксиомы,
а сами эти теоремы используются в доказательствах
следующих за ними теорем, в том числе и
нашей.
Подведем некоторые итоги.
Рассмотренные примеры наводят на мысль, что
всякое доказательство можно представить в виде
конечной последовательности предложений, удовлетворяющей
определенным условиям. Каким
именно?
С. Одно условие одинаково в рассмотренных
примерах: последнее предложение последовательности
есть доказываемое. А вот другое условие не
одинаково в этих примерах.
А. В таком случае надо искать более общую
формулировку этого условия, чтобы оно выполнялось
во всех рассмотренных (и других) доказательствах.
Анализ наших примеров позволяет так формулировать
это условие: каждое предложение последовательности
либо аксиома, либо р. д. т., либо
истинно в силу определелия или как условие, либо
получается из каких-нибудь предшествующих ему
в этой последовательности предложений по какому-
нибудь правилу следования.
С. Что Вы имеете в виду под условием?
А. То, что дано. Например, в приведенном доказательстве
мы использовали условия: «ABCD —
ромб» и «О — точка пересечения диагоналей»,
которые в анализе доказательства названы посылками.

26

Доказываемое предложение можно представить
в виде: «Если ABCD — ромб, то BD _1_ АС».
С. В эту формулировку входит только одно из
названных Вами двух условий.
А, Второе используется в принятом нами
способе доказательства.
Доказать эту теорему, по существу, означает,
что, присоединив условия (предложения) «ABCD —
ромб» и «О — точка пересечения диагоналей» к предшествующим
ей истинным предложениям геометрии
(аксиомам, ранее доказанным теоремам, предложениям,
истинным в силу определений), мы должны
установить истинность заключения BDA-AC.
С. Можно ли утверждать, что каждое предложение,
входящее в доказательство, либо истинное
предложение, либо получается из каких-нибудь
предшествующих предложений по одному из правил
следования?
А. И поэтому тоже является истинным, т. е.
каждое предложение, входящее в доказательство,
истинно либо как аксиома, либо как р. д. т., либо
в силу некоторого определения, либо как условие
доказываемой теоремы, либо как следствие из каких-
нибудь предшествующих ему в этом доказательстве
предложений (как результат применения
к ним некоторого правила следования, гарантирующего
истинность следствия при истинности предложений,
к которым оно применено).
С Но мы здесь не указываем точно, какие
имеются правила следования. Очевидно, возможны
и другие правила следования, кроме тех, которые
выявились в приведенных примерах. Вообще чувствую,
что в этом вопросе у меня пока большой
пробел. Хотелось бы точно знать, что из чего следует.
А. Это и будет темой одной из наших последующих
бесед. Но «следование», как Вам уже известно,—
это отношение между предложениями. Чтобы
ответить на вопрос, что из чего следует, надо
прежде всего выяснить, как устроены предложения,
в частности математические предложения, так
как нас интересует именно следование в матема

27

тике. Поэтому в нашей следующей беседе мы попытаемся
ответить на вопрос, как устроены математические
предложения.
Но сначала несколько упражнений для закрепления
того, что мы уже обсуждали.

Упражнения

1.1. Построить полные (несокращенные) доказательства
существования и единственности решения
уравнения ах = Ь ( а ф 0) во множестве Q в виде
конечных последовательностей предложений с обоснованием
участия каждого предложения (анализом
доказательства) и использованием ПП, ПЗР и ТР.
1.2. Построить полное доказательство теоремы:
«Диагонали ромба являются биссектрисами его
углов», в виде конечной последовательности предложений
с использованием ПЗ и ВК-
1.3. То же для теоремы: «Диагонали прямоугольника
равны».
Ук а з а ние . Для построения полных доказательств
геометрических теорем (1.2 и 1.3) необходимо
исходить из обычных доказательств этих теорем,
приведенных в учебном пособии А. В. Погоре-
лова «Геометрия, 6—10».

28

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Каталог Фаберлик 14 2017

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии