Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

10 СЕЛФИ, ЗА СЕКУНДУ ДО СМЕРТИ.

Найдем модуль и аргумент частного
г\ г\ (cos ф, -j- i sin
г2 ^ r j (cos <р2 4 -1 sin ф4) *
Умножим числитель и знаменатель правой части на
(cosq^— I sin <р2); полу чим

355  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

Следовательно, модуль ‘частного равен частному модулей
делимого и делителя, а аргумент частного равен
разности аргументов делимого и делителя.
Пользуясь этим правилом, можно показать, что

§ 204. Возведение в степень комплексного числа,
заданного в тригонометрической форме

Так как *я-я степень, где п — целое положительное
число, представляет произведение п равных сомножителей,
то по правилу умножения комплексных чисел получим
[г (cos ф4~ t sin ф)]» — r n (cos иф4- 1 sin яф),
или
г» (cos ф 4~! sin ф)» = г» (cos яф 4 — ( sin яф).
После сокращения имеем
(cos ф 4~ t sin ф)* == cos iwj> 4 » t sin яф, (1)
Эта формула носит название формулы Му а вр а . В частности,
она дает возможность получить косинус и синус дуг,
кратных данной.
Положим я = 2, тогда (созф4~*81пф)2 = со8 2ф 4 -*8т 2ф,
или

356  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

Если обе части последнего равенства предыдущего параграфа
возвести в степень я, получим
[ ( c o s ф —|— / s i n ф ) — 1 ] » = [ c o s ( — ф ) — f — г s i n (— ф ) ]л ,
или
л 4
( c o s ф — I s i n ф )— = c o s ( — Я ф ) 4 — / ’ з 1п (— я ф ) .
Последнее равенство показывает, что формула (1) справедлива
и для целых отрицательных показателей.

§ 205. Извлечение корня из комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме

Пусть требуется извлечь корень я-й степени из комплексного
числа Z — r ( c o s ф ^ s i n ф)..
Это значит, что надо найти такое комплексное число
z = p(cos 0 —{— / sin 0), которое, будучи возведено в я-ю степень,
даст число Z, т. е.
[р (cos 0 / sin О)]’1 = г (cos ф -j- г sin ф),
или . ‘ ‘
р” ( c o s я 0 — ( — i s i n Я 0 ) ==■ r ( e o s ф — f -1 s i n ф ).
На основании условия равенства двух-комплексных чисел
заключаем, что модули их должны быть равны, а аргументы
могут отличаться на число, кратное 2л, т. е. г = р»;
я0 = ф-{-2яА, где k — целое число. Отсюда получим

357 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

Если в формуле (1) числу к будем давать значения:.
О, 1, 2, 3 , ___ п — 1, то получим следующие я значений
корня:

идут в возрастающем, порядке; нетрудно убедиться в том,
что каждый, из них меньше полного угла, или 2я. Для этого
достаточно показать, что наибольший из них

Из тригонометрии известно, что вдределах одной окружности
два различных угла не могут иметь одновременно одинаковые
значения синуса и одинаковые значения косинуса;
следовательно, все я значений корня буЩт различны.
При дальнейшем увеличении числа &(& = я , я — ( — 1,
я + 2, . . . ) новых значений корня уже да получим; наа§мн*ер

358

Получилось то же значение, что и при k = 0. Если положить
й‘= = я -}-1 , то получим z v при k — n-\- 2 получим
и т. д.

359

Дадим геометрическое истолкование полученных результатов.
Построим точки, соответствующие найденным четырем
значениям.
Это будут точки Av Аг, Ай, Л4, представляющие собой
вершины вписанного в данный круг квадрата (рис. 121).
Подобным образом, извлекая корень кубичный из 1,
найдем три комплексных числа:
п , . , „ 2я , . . 2я 4я . . . 4я
COS 0 4 — /Sin 0 , C O S — g — 4 — ^ S i n — g — И COS -g— f- / s in —g- —
Если построим соответствующие им точки, то эти точки
окажутся на окружности единичного, радиуса и явятся вершинами
правильного вписанного треугольника (рис. 122).

360 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

Геометрически извлечение корня я-й, степени из 1 сводится
к построению правильного я-угольника, вписанного
в круг единичного радиуса, причем., если я — нечетное число,

одна из вершин окажется на оси» абсцисс вправо от 0;
если же я — Четное, то имеются две вершины, расположенные
на оси абсцисс.

Упражнения

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 16. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ» в формате PDF (342-363).

363 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.