Деление комплексных чисел

§ 196. Деление комплексных чисел.

Частным от деления двух комплексных чисел
а-\-Ы и а х-\-Ь]1 называется такое комплексное число
x — j- y i, которое, будучи умножено на делитель, дает в произведении
делимое (по определению действия деления).
Таким образом, если одновременно коэффициенты а х и Ьх
не равны нулю, то, полагая и —b■ i . = х 4- ~yt,, имеем

348 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

Проще этот результат можно получить умножением делимого
и делителя на сопряженное делителю число:

Этим правилом деления и будем руководствоваться
в дальнейшем.
Примеры.

349 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

§ 197. Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством /2 = — 1, легко определить любую
целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
/3 = /2 . г==_ 1 . /==_/; -‘Ц = р . г2= J. ;5 _ Ц . t _
/6==/4 -/2 — — 1; /7‘= — /; /8= 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени /”, где п — целое
положительное число, периодически повторяются при увеличении
показателя на 4. Поэтому, чтобы возвести число /
в целую положительную степень, надо показатель степени
разделить на 4 и возвести / в степень, показатель которой
равен остатку от деления.
Примеры.

350 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.

§ 198. Возведение в степень комплексного числа.

Возведение комплексного числа в целую положительную
степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую
степень, так как оно представляет собой частный
случай умножения одинаковых комплексных множителей.
Примеры .

§ 199. Извлечение квадратного корня
из комплексного числа

Пусть требуется извлечь квадратный корень из числа
a-\-bL Это значит, требуетея найти такое комплексное число
x — j- y f , квадрат которого равен а-\-Ы. Имеем

Уравнение 2ху — Ъ показывает, что произведете ху
имеет тот же знак, какой имеет число Ь. Следовательно,
если Ь > 0, то х а у имеют одинаковые знаки, если b < О,
то х и у имеют разные знаки. Поэтому для Ъ 0 имеем

В § 206 будет показан более удобный способ извлечения
корня из комплексного числа.

351 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Деление комплексных чисел.