§ 8. Общие замечания о делении многочлена
на многочлен
Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Особенность дробных выражений
Частное от деления многочлена на многочлен иногда оказывается
равным многочлену, но чаще оказывается дробным алгебраическим
выражением, которое не может быть преобразовано в целое — в многочлен
или одночлен. В первом случае говорят, что многочлен, являющийся
делимым, делится на многочлен, являющийся делителем.
Во втором — что не делится.
ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП
Укажем некоторые признаки, по которым можно узнать, что делимость
не имеет места.
Первый п р и з н а к . Если степень делимого относительно
какой-нибудь буквы меньше степени делителя относительно той
же буквы, то частное не может быть целым алгебраическим
выражением.
х I 2 сР *4~ Ъ сР I *4“ с Например, —8-^ — | , ^ а~, «с» не М0ГУТ быть представлены
в виде целых алгебраических выражений—одночленов или многочленов.
Докажем это для первого примера. Допустим, что частное
является многочленом или одночленом. Тогда этот многочлен (или
одночлен), будучи умножен на должен равняться лг —|— 2,
и следовательно, его старший член, умноженный на х *, должен
равняться х . Но это невозможно, так как произведение х * на любой
одночлен содержит х в степени, показатель которой не
меньше 2.
Такое же рассуждение можно привести для любых рациональных
дробей, зависящих/ от одной буквы, если степень числителя меньше
степени знаменателя. Доказательство Для дробей, зависящих более
чем от одной буквы, несколько сложнее из-за того, что членов,
содержащих наивысшую степень выбранной буквы, может быть несколько.
Вт о р о й п р и з н а к . Если существуют такие численные значения
для букв, при которых делитель обращается в нуль, а делимое не обращается
в нульf то частное не может быть целым алгебраическим выражением.
122 Алгебра Общие замечания о делении многочлена на многочлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Дробь нельзя представить в виде целого выражения, так как,
например, при а = 1 и 6 = 1 а — 6 = 0, но а8+ 6 8 = 2 ^ 0 .
Совершенно строгое доказательство второго признака не очень просто
и требует довольно глубокого исследования свойств алгебраических тождеств.
§ 9. Деление многочленов, зависящих от одной буквы
Возьмем два многочлена х ъ-|-г2л;2 — х — 3 и х* — лг+1 и умножим
их, пользуясь первым правилом умножения многочлена на многочлен.
Получим
Теперь представим себе, что перед нами поставлена обратная
задача. Даны многочлены — 2 x z — \ — 2 x— 3 и л;2 — л; + 1.
Требуется определить их частное.
В рассматриваемом примере эта ,задача уже решена, частное
равно л;3 + 2х2— х — 3. Выясним теперь некоторые свойства членов
частного, при помощи которых мы смогли бы определить их последовательно
один за другим, если бы частное нам не было известно.
Прежде всего старший член частного при умножении на старший
член делителя дает старший член делимого. Далее, составим разность
Отсюда мы можем заключить, что произведение второго члена частного
на старший член делителя равно старшему члену составленной
разности.
123 Алгебра Общие замечания о делении многочлена на многочлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Из этого равенства мы заключаем, лто третий член частного при
умножении на старший член делителя дает старший член составленной
разности.
Наконец составим еще одну разность
Из этого равенства мы заключаем, что четвертый член частного
при умножении на старший член делителя дает старший член последней
составленной разности.
Если мы составим тем же способом следующую разность:
то она окажется равной нулю.
Составление разностей и последовательное вычисление членов
частного удобно производить по следующей схеме, напоминающей
схему деления многозначных чисел:
Мы делим старший член делимого на старший член делителя, и
результат л:3 записываем в частное. Затем умножаем делитель на л:3,
члены получившегося произведения подписываем под подобными членами
делимого и вычитаем из делимого. Старший член полученной
разности делим на старший член делителя, и полученное частное 2л;2
добавляем к ранее вычисленному члену л:3. Умножаем делитель на 2л;2,
полученное произведение подписываем под первой разностью и вычитаем
из нее. Старший член второй разности делим на старший член
делителя, и полученное частное — х принимаем за третий член частного.
Делитель умножаем на — х и вычитаем из предшествующей раз
124 Алгебра Общие замечания о делении многочлена на многочлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ности, Старший член полученной разности делим на старший член
делителя, частное —3 принимаем за четвертый член частного. При
следующем вычитании получается разность, равная нулю.
По такой же схеме можно производить деление многочленов всегда,
если только деление выполнимо. Заметим только, что при вычислении
разностей нет необходимости выписывать все члены делимого, их
следует, записывать по мере появления подобных членов в вычитаемых
многочленах.
Рассмотрим еще один пример
Однако может случиться, что делимое не делится на делитель.
Рассмотрим пример этого рода:
Мы продолжали деление до тех пор, пока это было возможно,
именно, пока степень разности не оказалась меньше степени делителя.
Эта последняя разность называется остатком от деления данных
многочленов. Степень остатка меньше степени делителя. Многочлен,
записанный на месте частного, называется неполным частным
от деления данных многочленов.
Очевидно, что для получения полного частного нужно к неполному
частному добавить частное от деления остатка на делитель. Таким
образом,
125 Алгебра Общие замечания о делении многочлена на многочлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
При записи, частного от деления двух многочленов в виде дроби
неполное частное называется также целой частью дроби.
Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком
может быть выражена и по-другому. Именно, по смыслу вычислений,
остаток равен разности при вычитании из делимого произведения
делителя на неполное частное.
Следовательно, делимое равно произведению делителя на неполное
частное плюс остаток.
Указанная схема дает возможность выяснить, делится данный многочлен
на другой данный многочлен или нет. Делимость имеет место в
том и только в том случае, если остаток равен нулю.
Схема деления применима и к делению многочленов, зависящих
от нескольких букв. Для того чтобы пользоваться ею в этом случае,
нужно расположить делимое и делитель по степеням какой-либо
буквы, выбранной в качестве главной.
* Пример. Выполнить деление
126 Алгебра Общие замечания о делении многочлена на многочлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Околоadmin
Comments