§ 6. Деление многочлена на одночлен
Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Особенность дробных выражений
Правило умножения многочлена на одночлен было выведено на
основании распределительного закона умножения суммы на число.
Точно так же правило деления многочлена на одночлен основывается
на распределительном законе, видоизмененном применительно к делению.
Это в идоизменение выглядит так:
Частное от деления суммы нескольких слагаемых на число
равно сумме частныху получающихся при делении каждого слагаемого
на то же число.
117 Алгебра. Деление многочлена на одночлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Запишем это правило в виде формулы:
или при обозначении частного в виде дроби
а + ^ + с + d __ а * Ь с . d
т т т Ип т *
Докажем эту формулу. Мы знаем, что поделить какое-либо число
на число т — это все равно, что умножить его на обратное
число—ТП. Следовательно,
Для умножения суммы на число, в каком бы виде это число
ни было выражено,, справедлив распределительный закон. Поэтому
(4a + b + , c + rf) —1 = а — —m +1 6 — —m 41 -с* Лm -‘f tf . Jm-.,
А теперь воспользуемся тем, что умножить какое-либо число на —■
все равно, что разделить его на т, т. е.
Соединяя выкладки в одну депочку равенств, получим
(я —|— Ь -{- с -j— d ) :m ~ (о, Ь с -|т (Г) • ~ 2=з
= а + 6 + с ‘ ^ + d ‘ ^ = a :m — \- b :m — \ r c :m -\r d :m ,
что и требовалось доказать.
Мы сформулировали и доказали правило деления суммы на число
для суммы четырех слагаемых. Очевидно, однако, что те же рассуждения
можно применить к сумме любого числа слагаемых.
Применим теперь доказанное правило к делению многочлена на
одрочлен.
Приме р . Выполнить деление:
3a2b — 2аЬ2 + 6а*Ь2
12 аЬ
(Заметим, что мы для обозначения действия деления прибегаем к черте.
Здесь это удобнее знака:, так как избавляет от необходимости ставить
скобки.)
118 Алгебра. Деление многочлена на одночлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Вынесение за скобку здесь оказывается полезным потЬму, что
само действие вынесения за скобку есть действие деления, но не
указанное явно. Действительно, что значит вынести за скобку одночлен
ab из многочлена’ За2# — 2а62- |-6 а 362? Какой многочлен останется
в скобке при .выполнении этого действия? Очевидно, такой.,
многочлен, который при умножении на ab дает 3а*Ь— 2а#2- j- 6<Л>2,
т. е:, по определению деления, частное от деления многочлена
3а2#— 2а#2 + 6а3#2 на одночлен ab.
Ответ. ~ а — ~ Ь -f- ^ а3#,
Многочлен делится на одночлен, очевидно, е том и только в
том случае, если каждый его член делщпся на этот одночлен.
Если это условие не выполнено, то чаще всего следует ограничиться
записью результата в виде дроби и, если это возможно, произвести
сокращение посредством вынесения подходящих множителей
в числителе за скобку.
Пример. Упростить выражение
Решение . В этом примере нельзя произвести сокращение.
Поэтому никаких упрощающих преобразований произвести нельзя.
Ответ. Упростить нельзя.
Иногда бывает целесообразно произвести почленное деление многочлена
на одночлен и в случае, если отдельные члены многочлена
на этот одночлен не делятся. При этом в результате получается
сумма нескольких слагаемых, часть которых (или все) имеют вид
дробей.
119 Алгебра. Деление многочлена на одночлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Повторяем, что такого рода преобразования применяются сравнительно
редко. Еще реже применяется вынесение за скобку одночлена
так, что при этом в скобке получается сумма дробей. Но все же
иногда такое преобразование бывает нужно.
Мы вынесли abed за скобку. При этом в скобке остается частное
от деления данного многочлена на abed. После выполнения возможных
сокращений в скобке получилась сумма очень простых дробей,
так что все алгебраическое выражение стало проще на вид. Однако
мы его несколько «испортили». В первоначальной записи оно было
целым и имело смысл при всех значениях букв а, Ь, с, d. В новой
записи появились дроби, и теперь выражение не имеет смысла, если
хотя бы одна буква принимает значение, равное нулю.
120 Алгебра. Деление многочлена на одночлен, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Околоadmin
Comments