Действия групп на множествах

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов 

10. Действия групп на множествах. Представления групп.

Пусть П — некоторое множество, G — группа. Под реализацией G в S(Q) понимают любой гомоморфизм Ф: G
S(Q). Если Ф^) = Фд € S(Q), x € П, то образ Фд^) часто обозначается символом gx, и говорят об отображении
G х П П. Ясно, что: 1) ex = x; 2) (gh)x = g(hx) для любых g, h € G и x € П. В этом случае говорят также,
что группа G действует на множестве П, а П является G-множеством. Обратно, если имеется G-множество П,
то формула Фд(x) = gx, x € П, определяет гомоморфизм Ф: g Фд группы G в S^). Ядро КегФ называют ядром
действия группы G. Если Ф — мономорфизм, то говорят, что G действует эффективно на множестве П. Перейдя
к факторгруппе G = G/ КегФ, при необходимости всегда можно рассматривать эффективное действие G на П (см.
10.1 (д)).
Две точки x, у € П называются эквивалентными относительно группы G, действующей на П, если y = gx для
некоторого g € G. Класс эквивалентности, содержащий элемент xo, обозначают через G(xo) и называют орбитой
(содержащей xo). Множество St (xo) = {g € G \ gxo = xo} называют стационарной подгруппой (или стабилизатором)
в G точки xo € П и обозначают символом Gxo. Fix (g) = {x € П \ gx = x} — множество неподвижных точек
элемента g € G, Fix (H) = {x € П \ hx = x для всех h € H} при H С G.
Пусть П — G-множество. Подмножество X С П называется G-инвариантным, если gx € X для всех g € G и x € X.
Пусть Ф и Ф — гомоморфизмы группы G в S^) и S(E) соответственно. Определенные ими действия на П и на Е
называются эквивалентными, если существует биективное отображение а: П Е, делающее диаграмму
П
I Ф
П
коммутативной при всех g € G. Таким образом, Фд = а Фда-1 .
Группу перестановок G С S(П), действующую на множестве П, называют транзитивной, если орбита некоторой
(следовательно, и любой) точки множества П совпадает с П.
Группа G, действующая на П, называется регулярной (на П), если она транзитивна и Gx = e для любого x € П.
Пусть П = [J П — разбиение П на попарно непересекающиеся множества, S = {П \ i = 1, … , m}. Говорят, что
i=i
S есть система импримитивности группы G на П, если g^ € S для всех g € G и i = 1, …, m. Системы импримитивности
{{x} \ x € П} и {П } называются тривиальными. Группа перестановок называется импримитивной,

57 Упорядоченные группы.

если она транзитивна и обладает нетривиальной системой импримитивности. Транзитивная, но не импримитивная
группа называется примитивной.
Пусть V — векторное пространство размерности п над полем P, GL(V) — группа обратимых линейных операторов
на V (GL(V) = GL(n, P) после выбора базиса в V). Всякий гомоморфизм Ф: G — GL(V) называется линейным
представлением группы G в пространстве V. Представление называется точным, если КегФ = e, и тривиальным,
если Ф^) = I — единичный оператор для всех g € G. Если P = C, а U(п) — группа унитарных операторов (через
U(п) принято обозначать также и группу унитарных матриц порядка п), то представление Ф: G — GL(n, C) со
свойством 1тФ С U(п), называется унитарным.
Два линейных представления (Ф, V), (Ф, W) группы G называются эквивалентными (изоморфными или подобными),
если существует изоморфизм векторных пространств а: V — W, делающий диаграмму
коммутативной при всех g € G, или, что равносильно, Ф^) = а Ф^)а 1 .
Пусть (Ф, V) — линейное представление группы G. Подпространство U С V называется инвариантным относительно
G, если Ф^) u € U для всех u € U. Нулевое подпространство и само пространство V относятся к
тривиальным инвариантным подпространствам. Представление, обладающее лишь тривиальными инвариантными
подпространствами, называется неприводимым. Если V = U0W, где U и W — инвариантные подпространства,
то Ф = Ф’ 0 Ф», где Ф’ = Ф \ U и Ф» = Ф \ W. В этом случае говорят о разложимом представлении Ф. Линейное
представление (Ф, V) группы G, являющееся прямой суммой неприводимых представлений, называется вполне
Доказано, что:
1) всякое линейное представление над C конечной группы G эквивалентно унитарному представлению;
2) (теорема Машке) каждое линейное представление конечной группы G над полем P характеристики, не делящей
\G\, вполне приводимо.
С каждым конечномерным линейным представлением (Ф, V) над полем P связывается функция хф : G — P,
определенная соотношением ХФ^) = ^Ф^), где ^Ф^) = ^фи^) — след матрицы Ф^) = [ф^^)]. Функция хф
называется характером представления, ее часто обозначают XV или х. Функции f: G — P, постоянные на каждом
классе сопряженных элементов группы G, называют классовыми.
Множество CG = {G —— C} всех функций из G в C можно рассматривать как эрмитово пространство со скалярным
произведением (а, t)g = 7g a(g)r(g), а, т € CG. Доказано, что: если Ф, Ф — неприводимые комплексные
\ \ дGG
представления конечной группы G, то
Это так называемое первое соотношение ортогональности.
Если Xi, … , Xr — все различные характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы G, то
справедливо второе соотношение ортогональности:
Характером группы G называется характер любого представления G над C. Через Irr G обозначается множество
всех неприводимых характеров группы G.
Для конечной группы число неприводимых попарно неэквивалентных представлений над C равно числу ее классов
сопряженных элементов. Кроме того, характеры всех попарно неэквивалентных неприводимых представлений
группы G над C образуют ортонормированный базис пространства x(G) всех классовых функций.
Пусть P — поле нулевой характеристики, V = (eд \ g € G) — векторное пространство над P. Представление
p(a)eg = eад называется регулярным.
V
|ф(д)
V
-— W
!*(д)
-— W
приводимым.
(ХФ, Xt)G
1, если Ф эквивалентно Ф,
0 в противном случае.
i=l
0, если g и h не сопряжены,
\ Cg (g) \ в противном случае.
Задачи
10.1. Пусть П — G-множество. Проверьте, что:
а) отношение y = gx (x, y € П, g € G) является отношением эквивалентности;

58 Упорядоченные группы.

б) St (x) для каждой точки x € П является подгруппой в G;
в) левые смежные классы gSt(xo) группы G по стационарной подгруппе St (xo) находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками орбиты G(xo);
г) \ G(xo)\ = (G : St (xo)), т.е. длина G-орбиты точки xo совпадает с индексом стационарной подгруппы, значит,
длина орбиты делит порядок конечной группы;
д) если H — ядро действия G на П, то правило (g + H)x = gx задает эффективное действие G на П.
10.2. 1) Каждое действие группы G на П индуцирует действие на:
а) П = П х … х П по правилу g(xi, … , xk) = (gxi, … , gxk);
k
б) P(П) по правилу: g0 = 0, а если H — непустое подмножество в П, то gH = {gh \ h € H}.
2) Исследуйте орбиты группы Z, действующей на окружности единичного радиуса в пространстве R2, отождествленном
с C, по формуле: (n,z) — eianz, в зависимости от свойств вещественного числа a.
10.3. Всякое инвариантное подмножество в П является объединением орбит, причем G-орбита любого элемента
x € П есть наименьшее инвариантное подмножество, содержащее x.
10.4. Пусть П — G-множество. Тогда:
а) если точки xo, yo € П лежат в одной орбите, то их стационарные подгруппы сопряжены: условие yo = gxo
влечет St(yo) = gSt(xo)g-i;
б) если G — конечная группа и П = П1 U … U Пг — разбиение П на конечное число орбит с представителями
xi, … , xr, то \ П\ = ^ (G : St(xi)).
i=l
10.5. Найдите все орбиты группы G невырожденных линейных операторов, действующих на n-мерном пространстве
V, если G — группа:
а) всех невырожденных линейных операторов;
б) ортогональных операторов;
в) операторов, матрицы которых в базисе ei, … , en диагональны;
г) операторов, матрицы которых в базисе ei, … , en верхние треугольные.
10.6. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операторов в п-мерном векторном пространстве V и X —
множество всех подпространств размерности к в V.
1) Найдите орбиты группы G в X.
2) Пусть ei, … , en — такой базис в V, что ei, … , ek — базис некоторого подпространства U. Найдите в базисе
ei, … , en матрицы операторов из стационарной подгруппы Gu.
10.7. Пусть на П = G определяется действие любого элемента g € G посредством сопряжения: x — ^(x) = g-lxg,
x € G. Определите, что является:
а) ядром этого действия;
б) орбитой и стационарной подгруппой элемента x € G.
Рассмотрите также индуцированное действие на множестве всех подгрупп группы G.
10.8. Пусть G — конечная группа и xG, … , xG — ее сопряженные классы, причем первые t из них — одноэлементные:
xG = {xi}, i = 1, … ,t (xi = e). Докажите, что
Z(G) = {xi,…,xt} и \ G\ = \Z (G)\ + £ (G : C(xi)),
i=t+i
где C(xi) — централизатор элемента xi.
Используя последнюю формулу, покажите, что всякая конечная р-группа имеет неединичный центр.
10.9. Пусть H — подгруппа группы G. Тогда (x, gH) — x(gH) = xgH определяет действие LH группы G на
множестве левых смежных классов G/H. Что является ядром этого действия?

59 Упорядоченные группы.

10.10. Пусть G = S3. Покажите, что Z(S3) = e и S3 = {e} U {(12), (13), (23)} U {(123), (132)} — разбиение S3 на
сопряженные классы. Размеры этих классов (длины орбит) делят 6 = \ S3 \ .
10.11. Каждая группа G действует транзитивно на множестве G/H левых смежных классов G по H.
10.12. Если G — транзитивная группа на П = {1, … , п} и i = gi(1), то Gi = giGig- 1 (gi = e), где Gi —
стационарная подгруппа точки i, кроме того, элементы gi можно выбрать в качестве представителей левых смежных
классов G по Gi, т.е. G = Gi U g2Gi U … U gnGi. В частности, \ G\ = n\ Gi\.
10.13. Пусть П^ — совокупность упорядоченных к-элементных подмножеств. Группа G, действующая на П, индуцирует
действие на П(^; если при этом имеет место транзитивность на П(^, то G называется к-транзитивной
на П. Влечет ли (к + 1)-транзитивность к-транзитивность?
Пусть G — транзитивная группа на П и x € П. Следующие условия равносильны:
а) G является (к + 1)-транзитивной;
б) Gx действует к-транзитивно на множестве П \ {x}, где Gx — стационарная подгруппа точки x.
10.14. Пусть G — конечная транзитивная группа на П = {1, … , п}, и для любого g € G пусть N(g) = \ Fix(g) \ —
число точек в П, остающихся на месте при действии g. Тогда:
а) Е N (g) = \ G \;
дeG
б) если G есть 2-транзитивная группа, то ^ N(g)2 = 2 \ G\.
дeG
10.15. Пусть группа G действует транзитивно на П, x € П и H — подгруппа в G. Тогда:
а) H транзитивна (на П), если и только если GxH = G;
б) H регулярна, если и только если GxH = G и Gx П H = e;
в) если H регулярна, то H = П ;
г) если H регулярна и конечно порождена, а G — 2-транзитивна на П, то \П \ = pk для некоторого простого
числа р.
10.16. Пусть П — G-множество, N < G и N регулярна на П. Тогда G = N X Gx для всех x € П.
10.17. Пусть G — коммутативная транзитивная подгруппа в S^). Тогда:
а) G регулярна;
б) G — максимальная коммутативная подгруппа в группе S^).
10.18. Центр некоммутативной группы не транзитивен.
10.19. Пусть G — конечная транзитивная группа и x € П. Тогда Ng(Gx) действует транзитивно на множестве
Fix (Gx).
10.20. Пусть G — конечная группа, действующая на множестве П. Тогда r (G : П) = G ^ \ Fix(g) \, где r (G : П) —
1 1 geG
число орбит группы G.
10.21. Пусть группа G действует транзитивно на П, H — подгруппа в G и x € П. Тогда:
а) если Gx С H С G и B = H(x), то {gB \ g € G~} есть система импримитивности группы G;
б) G примитивна, если и только если Gx — максимальная подгруппа в G.
10.22. Пусть H — подгруппа транзитивной группы перестановок G. Тогда если H транзитивна, регулярна или
примитивна, то любая сопряженная с ней подгруппа Hд (g € G) также транзитивна, регулярна или примитивна
соответственно.
10.23. Если G — к-транзитивная подгруппа в Sn, то \ G\ делится на п(п — 1)… (п — к +1).
10.24. Покажите, что 2-транзитивная группа перестановок примитивна.
10.25. Если р — простое число, то любая транзитивная подгруппа группы Sp примитивна.
10.26. Пусть G — примитивная группа, действующая на П. Тогда если e С N < G, то N транзитивна.
10.27. Группа, имеющая подгруппу индекса 2 (3 или 4), непроста.

60 Упорядоченные группы.

справедливо равенство gxo = x
o, то gx = x для любой точки x, лежащей в одной орбите с x
o.
10.29. Каждое транзитивное действие группы G эквивалентно действию G на левых смежных классах по некоторой
подгруппе H.
10.30. 1) Пусть группа GL(n, P) действует на векторном пространстве M (п, P) матриц порядка п по правилу:
Фа : X —— AX (A € GL(n, P)). Покажите, что (Ф, M (п, P)) — вполне приводимое линейное представление Ф
степени п2, Ф = ф(1) 0 … 0 Ф(п), где Ф(^ = Ф \ мП, а мП — подпространство матриц с единственным отличным
от нуля i-м столбцом.
2) Фа : X — A-lXA также определяет линейное представление GL(n, P) на M (п, P). Покажите, что множество
Mo (п, P) матриц с нулевым следом является инвариантным подпространством. Поэтому в случае поля нулевой
характеристики имеет место разложение в прямую сумму GL(n, P)-подпространств M (п, P) = (E) 0 Mo(n, P)
размерностей 1 и п2 — 1, где E — единичная матрица.
3) Пусть предыдущем примере P = R и Ф — ограничение на ортогональную группу О(п). Покажите, что получается
линейное представление с разложением пространства представления M (п, R) в прямую сумму О(п)-подпространств
M (п, R) = (E)0M +(n, R) 0M- (п, R) — одномерного пространства {E) скалярных матриц, (п+2)(п —1)/2-мерного
пространства симметрических матриц с нулевым следом и п(п — 1)/2-мерного пространства кососимметрических
матриц. Хорошо известно взаимно однозначное соответствие между симметрическими (кососимметрическими) матрицами
и соответствующими билинейными формами. Действие 0(п) на {E)0 M +(п, R) и на M~ (п, R) переносится
на пространства соответствующих форм. Теорема о приведении квадратичной формы f (x) к главным осям есть
не что иное, как возможность выбора в 0(п)-орбите, содержащей f (x), диагональной формы X^n=i Xix2 с вещественными
Xi, определенными однозначно с точностью до перестановки.
Заменяя R на C и 0(п) на унитарную группу, получаем разложение M (п, C) = {E) 0 M + (n, C) 0 M- (п, C).
10.31. Пусть G — группа перестановок, действующая на множестве П, \ П\ = п > 1. Векторное пространство
V = {ei i € П) над полем P нулевой характеристики с базисом, занумерованным элементами множества П, можно
превратить в G-пространство, полагая Ф(g)(^2 Xiei) = ^ Xieg(i). Получается линейное представление степени п.
Будет ли оно неприводимым?
10.32. 1) Эквивалентность двух одномерных представлений равносильна их совпадению, кроме того, представление
степени 1 некоммутативной группы не является точным.
2) Одномерное представление циклической группы может быть неточным.
3) В случае P = C любая циклическая группа имеет точное одномерное представление.
4) Группа Z обладает неразложимыми комплексными представлениями сколь угодно высокой степени, не являющимися
неприводимыми.
5) Циклическая группа G = {a\ an = e) порядка п имеет ровно п попарно неэквивалентных неприводимых представлений
над C, все они одномерны и имеют вид Ф(т): ak — £mk, где £ = e(2ni/n) — примитивный корень степени
п из 1, m = 0, 1, … , п — 1.
6) В случае циклической группы конечного порядка всякое комплексное линейное конечномерное представление
вполне приводимо и Ф = Ф(1) 0 … 0 Ф(г), где с точностью до эквивалентности Ф(т) — одно из представлений из 5).
10.33. Пусть G = {a \ a3 = e) и P = R. Двумерное представление (Ф, V), V = {vi, V2), заданное в указанном базисе
10.34. Пусть P = R и G — аддитивная группа вещественных чисел. Будут ли приводимыми двумерные представ-
10.35. Докажите теорему Машке в случае P = C.
10.36. Всякое точное комплексное двумерное представление некоммутативной конечной группы неприводимо.
10.37. (Лемма Шура). Пусть (Ф, V), (Ф, W) — два неприводимых комплексных представления группы G и а: V —
W — линейное отображение такое, что ^(g) а = а Ф^) (g € G). Тогда:
а) если представления Ф, Ф неэквивалентны, то а = 0;
б) если V = W, Ф = Ф, то а = XI.
10.38. 1) Эквивалентные представления имеют равные характеры.
2) Хф (e) = dim V, кроме того, прямой сумме Ф = Ф1 0 Ф2 представлений отвечает характер хф = ХФ1 + ХФ2.
3) Характеры являются классовыми функциями

61 Упорядоченные группы.

4) Если P = C, то хф^ 1) = ХФ (g) (комплексная сопряженность) для любого g € G конечного порядка.
5) Элемент g € G конечного порядка сопряжен в G со своим обратным, если и только если ХФ^) — вещественное
число.
6) Если х — характер конечной группы G, то (х, х) ^ х(1)2, причем (х, х) = х(1)2 , если и только если х(1) = 1.
10.39. Пусть G — конечная группа. Тогда:
а) если V = Vi 0 … 0 Vk — разложение комплексного G-пространства V в прямую сумму неприводимых G-
подпространств Vi, то для любого неприводимого G-пространства W с характером xw число слагаемых
Vi, изоморфных W, равно (xv, xw)g и не зависит от способа разложения (кратность вхождения W в G-
пространство V);
б) два комплексных представления группы G с одним и тем же характером изоморфны;
в) скалярный квадрат (хф, ХФ^ характера хф любого комплексного представления Ф является целым числом,
равным 1 в точности тогда, когда Ф — неприводимое представление.
10.40. Центр конечной группы G, обладающей точным неприводимым представлением над C, тривиален или циклический.
10.41. Каждое неприводимое представление конечной группы G над полем C входит в разложение регулярного
представления р с кратностью, равной своей степени ni, причем ^ n2 = \G\, где r — число классов сопряженности
i=l
группы G.
Сведения о характерах неприводимых представлений записывают в виде таблицы, называемой таблицей характеров.
G e g2 g3 gr
Xi ni Xi(g2) Xi (g3) Xi(gr)
Х2 п2 X2(g2) X2(g3) X2(gr)
Xr Пг Xr(g2) Xr(g3) Xr(gr)
В верхней строке стоят представители всех r классов сопряженности группы G.
Например,
S3 e (12) (123)
Xi 1
X2 — 1 1
X3 2 0 —1
есть таблица характеров группы S3.
10.42. Каждое неприводимое представление конечной коммутативной группы A над C имеет степень 1. Число таких
попарно неэквивалентных представлений равно порядку A . Обратно, если каждое неприводимое представление
группы A имеет степень 1, то A — коммутативная группа.
Пусть A — конечная коммутативная группа. Множество A = Hom (A, C*) гомоморфизмов группы A в мультипликативную
группу C* поля комплексных чисел, рассматриваемое вместе с поточечной операцией умножения
(XiX2)(a) = xi(a)x2(a) (Xi € A, a € A), называется группой характеров группы A над C.
10.43. Группы A и A изоморфны.
10.44. Пусть V2» — коммутативная группа порядка 2n, порядок каждого неединичного элемента которой равен
двум, х — ее неприводимый комплексный характер такой, что x(a) = 1 для некоторого a € V2». Покажите, что
Ker х = B = V^n-i, и если V2» = B U aB — разложение на смежные классы по B, то x(aib) = (— 1)i, i = 0, 1.
Воспользовавшись этим, найдите таблицу характеров группы Клейна V4.
10.45. Произведение конечного числа характеров группы G также есть характер этой группы. Кроме того, если
X, Y € Irr G и y(1) =1, то XY € Irr G, причем условие y(1) = 1 не может быть опущено.
10.46. Представления степени 1 конечной группы G находятся в биективном соответствии с неприводимыми представлениями
факторгруппы G/G’, где G’ — коммутант группы G. Их число равно индексу (G : G’).
10.47. Пусть G — группа перестановок, действующая на множестве П = {1, … , п}, Ф — естественное представление
группы G на пространстве V = {ei, … , en) с действием Ф^^ = eg(i).
Докажите, что естественное линейное представление (Ф, V) 2-транзитивной группы перестановок G над полем C
является суммой единичного представления и еще одного неприводимого представления.
10.48. Пусть (Ф, V) — представление группы G ив V существует базис, в котором все операторы Ф^) (g € G)
диагональны. Докажите, что G’ С Ker Ф.

62 Упорядоченные группы.

10.49. Пусть Ф — комплексное представление конечной группы G. Тогда каждый оператор Ф^) (g € G) диагона-
лизируем.
10.50. Всякое неприводимое неодномерное комплексное представление группы порядка р3 является точным.
10.51. Найдите число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка р3 и их размерности.
10.52. Составьте таблицы характеров групп A4, S4, Qs и Zn.
10.53. Пусть A — конечная абелева группа. Тогда:
а) если A допускает точное комплексное неприводимое представление, то A — циклическая группа;
б) если B — подгруппа в A, то любой характер группы B продолжается до характера группы A и число таких
продолжений равно индексу (A : B).
10.54. 1) Если х — характер группы G, то х также характер группы G, где х: g — X(g).
2) Если х € Irr G, то X € Irr G.
3) Если x € Irr G и x(1) = 2, то группа G непроста.
4) Если H — подгруппа, а х — характер группы G, причем х\H € Irr H, то х € Irr G.
10.55. Пусть Ф — п-мерное комплексное представление конечной группы G. Докажите, что хф^) = п, если и
только если g € Ker Ф.
10.56. Пусть Ф — гомоморфизм группы G в GL (n, C). Тогда:
а) отображение Ф*: g — (Ф^-1))4 также является представлением группы G;
б) ХфЫ = Хф* (g) для всякого g € G;
в) представления Ф и Ф* эквивалентны тогда и только тогда, когда значения характера х вещественны.
10.57. Если Ф — представление группы G с характером х, то {g € G\ x(g) = х(1)} = KerФ < G.
10.58. Если N < G, то обозначают Irr (G \N) = {х € Irr G \ N С Ker х}. Покажите, что:
а) существует взаимно однозначное соответствие х — X из Irr (G \ N) на Irr (G/N) такое, что х’ (gN) = x(g) =
X(gn) = x(ng) для всех g € G и натуральных n;
б) N = Q Ker x;
xe Irr (G |N)
в) \ Cg(s) \ — \Cg/n (gN) \= 2 \ x(g) \ 2 для g € G;
xe Irr G \Irr (G | N)
г) если \ Cn(g) \ = 1 для g € G, то \ Cg(s)\ = \ Cg/n(gN)\ и x(g) = 0 для всех x € Irr G \ Irr (G \ N).
10.59. Пусть G — конечная группа, g € G. Следующие условия равносильны:
а) X(g) € Q для всех х € Irr G;
б) g сопряжен в G с любым элементом вида gm, где m — такое натуральное число, что (m, \ G\) = 1.
10.60. Все элементы таблицы характеров группы Sn — целые числа.

63 Упорядоченные группы.