ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.
Покупка свитера.
| ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Сборник Математики На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности каптирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. |
Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
ЗАДАЧА
Вы должны уплатить за купленный в магазине сви-
тер 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира —
только пятирублевки. Можете ли вы при наличии та-
ких денег расплатиться с кассиром и как именно?
Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать,
сколько должны вы дать кассиру трехрублевок, что-
бы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 руб-
лей. Неизвестных в задаче два — число (х) трехруб-
левок и число (у) пятирублевок. Но можно составить
только одно уравнение:
3x-5y=19
Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет
бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не
очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми
положительными х и у (вспомним, что это — числа
кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала
метод решения подобных «неопределенных» уравне-
ний. Заслуга введения их в алгебру принадлежит пер-
вому европейскому представителю этой науки, знаме-
нитому математику древности Диофанту, отчего такие
уравнения часто называют «диофантовыми».
стр. 100 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
РЕШЕНИЕ
На приведенном примере покажем, как следует ре-
шать подобные уравнения.
Надо найти значения х и у в уравнении
3x-5y=19
зная при этом, что х и у— числа целые и поло-
жительные.
Уединим то неизвестное, коэффициент которого
меньше, т. е. член Зд:; получим:
3x=19+5y
откуда
Покупка свитера
стр. 101 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
стр. 102 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
Соответствующие значения для х и у таковы:
x=8+5t1=8, 13, 18, 23, …
y=1+3t1=1, 4, 7, 10, …
Теперь мы установили, как может быть произве-
дена уплата:
‘) Строго говоря, мы доказали только то, что всякое цело-
численное решение уравнения 3x — 5y= 19 имеет вид x=8+5t1,
y=l+3t1, где t1 — некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что
при любом целом t\ мы получаем некоторое целочисленное ре-
шение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом
легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или
подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.
стр. 102 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну
пятирублевку сдачи:
8×3-5=19
либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи
4 пятирублевки:
13×3-4×5=19
и т. д.
Теоретически задача имеет бесчисленный ряд ре-
шений, практически же число решений ограничено,
так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчислен-
ного множества кредитных билетов. Если, например,
у каждого всего по 10 билетов, то расплата может
быть произведена только одним способом: выдачей
8 трехрублевок и получением 5 рублен сдачи. Как
видим, неопределенные уравнения практически могут
давать вполне определенные пары решений.
Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем чита-
телю в качестве упражнения самостоятельно решить
ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у по*
купателя только пятирублевки, а у кассира только
трехрублевки. В результате получится такой ряд ре-
шений:
x=5, 8, 11, …
y=2, 7, 12, …
Действительно,
5×5-2×3=19
8×5-7×3=19
11×5-12×3=19
Мы могли бы получить эти результаты также и из
готового уже решения основной задачи, воспользо-
вавшись простым алгебраическим приемом. Так как
давать пятирублевки и получать трехрублевки
все равно, что «получать отрицательные пятируб-
левки» и «давать отрицательные трехрублевки», то
новый вариант задачи решается тем же уравнением,
которое мы составили для основной задачи:
3x-5y=19
стр. 103 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
но при условии, что х и у — числа отрицатель-
ные. Поэтому из равенств
стр. 103 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
что покупатель «платит минус 2 трехрублевки» и «по-
лучает минус 5 пятирублевок», т. е. в переводе на
обычный язык — платит 5 пятирублевок и получает
сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истол-
ковываем и прочие решения.
стр. 104 ГЛАВА IV ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. Покупка свитера.
На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.
Школьная математика. Математика в школе.
Околоadmin
Comments