Как мы доказываем в математике

Главная страница Зачем и как мы доказываем в математике.

Скачать бесплатно в PDF формате «Зачем и как мы доказываем в математике. А.А. Столяр» на странице Учебники Скачать.

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

А. Прежде всего вспомним, как мы в предварительной
беседе уточнили понятие доказательства.
С. После рассмотрения некоторых доказательств
мы пришли к такой формулировке: доказательство —
конечная последовательность предложений, каждое
из которых либо аксиома, либо ранее доказанная
теорема, либо истинно в силу некоторого определения
или как условие, либо получается из каких-нибудь
предшествующих ему в этой последовательности
предложений по какому-либо правилу вывода.
А. И чем заканчивается эта последовательность
предложений?
С. Доказываемым предложением.
А. Вы хорошо запомнили, как мы уточнили
понятие доказательства в нашей предварительной
беседе.
Теперь, зная уже, как устроены математические
предложения и что из чего следует, мы подготовлены
к дальнейшему уточнению понятия математического
доказательства.
Например, тот факт, что в воспроизведенной Вами
формулировке используются термины «аксиома»,
«ранее доказанная теорема», свидетельствует о том,
что речь идет именно о математическом доказательстве,
иными словами, о доказательстве в рамках
некоторой аксиоматически построенной математической
теории.
С. Об аксиоматическом методе построения математических
,теорий Вы немного говорили в самом
начале и, в общем-то, я представляю себе, что это
такое.
А. Мы и будем исходить из этого представления
для дальнейшего его углубления и уточнения.
Как и всякая теория, математическая теория —
это множество истинных предложений. Эти предло

90

жения выражаются на определенном, специальном
языке, включающем термины и символы, обозначающие
понятия этой теории, и, разумеется, логические
связки, с помощью которых образуются
предложения. Однако на языке некоторой теории
можно высказать не только истинные, но и ложные
предложения.
Например, язык арифметики натуральных чисел
состоит из:
цифр (0, 1, …, 9), из которых по определенным
правилам строятся имена натуральных_чисел;
букв латинского алфавита, используемых в качестве
переменных для натуральных чисел;
знаков операций «-)-»,«•»•.
знаков отношений « С » , « > » , « = » и других
знаков, определяемых с помощью перечисленных.
На этом языке мы можем высказать как истинные
предложения о натуральных числах:
а + Ь — b а для любых а, b է N; 3 • 4 = 4 • 3;
2 < 5 ,
так и ложные предложения:
существуют а, b է N такие, что а -+- b Ф b а\
3 • 4 Ф 4 ■ 3; 2 > 5 и т. п.
На языке геометрии можно образовать, например,
такие предложения:
через две различные точки проходит единственная
прямая;
через две различные точки проходит более одной
прямой;
сумма углов треугольника равна 180°;
сумма углов треугольника не равна 180° и т. п.
Истинными предложениями являются лишь
первое и третье.
А В евклидовой геометрии. Это — предложения
евклидовой геометрии. Второе и четвертое предложения
не принадлежат этой теории, хотя записаны
(выражены) на языке этой теории. Точно так же,
первые три предложения, выраженные на языке
арифметики, принадлежат теории арифметики натуральных
чисел, остальные три предложения, хотя и
выражены на языке арифметики, не принадлежат
арифметической теории.

91

С. Это понятно, так как для каждого истинного
предложения можно составить хотя бы его отрицание,
которое уже будет ложным.
А. Как видите, мы’имеем два множества предложений:
1) множество М всех предложений, записанных
на данном языке, и
2) множество Т (Т с зМ) истинных предложений
этого языка.
■ С. И это множество Т истинных предложений
составляет теорию?
А. Совершенно верно. Остается лишь уточнить,
каким способом из множества М всех предложений
выделяется подмножество Т истинных предложений,
иными словами, какие предложения считаются
истинными.
С. Истинными считаются все аксиомы и все выводимые
из них предложения.
А. Верно. Теперь для полной ясности остается
уточнить понятие выводимости предложения из
данного множества предложений.
Предложение Р выводимо из некоторого множества
П предложений тогда и только тогда, когда
Р 6 П или Р может быть получено конечным числом
шагов, применением к предложениям из П каких-
нибудь правил вывода из наперед заданного набора
таких правил.
Если Г1 — множество аксиом и предложение Р
выводимо из П, то говорят, что Р доказуемо в данной
теории (выводимо из ее аксиом), или является
ее теоремой.
С. В таком случае и каждая аксиома доказуема,
т. е. теорема, так как принадлежность к множеству П
предложений Вы тоже считаете выводимостью из П.
Но это ведь невозможно!
А. Почему же это невозможно?
С. Ведь аксиомы — исходные предложения теории
и поэтому неоткуда их вывести.
А. Кроме из самих себя. Нет никаких оснований
для исключения этого тривиального случая (ведь
всякое предложение выводимо из самого себя) и
такого доказательства, состоящего из одного предло

92

жения — аксиомы (это ведь не противоречит тому
уточнению понятия доказательства, которое Вы
вспомнили в начале беседы, так как и одно предложение
есть конечная последовательность предложений;
остальные условия тоже выполняются).
Поэтому и всякая аксиома является теоремой данной
теории.
С. Это для меня совершенно ново. Ведь в школе
мы обычно противопоставляем аксиомы теоремам,
говорим, что аксиома не является теоремой.
А. Вполне правомерно. Еще раньше, когда Вам
было всего 6—8 лет, Вы противопоставляли квадрат
прямоугольнику и говорили, что квадрат не является
прямоугольником. Позже, когда Ваши познания
расширились, Вы уже стали считать квадрат частным
случаем прямоугольника. Что-то аналогичное происходит
и сейчас. Ваше понимание того, что такое
аксиома и теорема, получило дальнейшее развитие,
вследствие чего аксиому Вы теперь считаете
частным случаем теоремы.
Вернемся, однако, к основному вопросу: как мы
доказываем в математике, или что такое математическое
доказательство?
То разъяснение этого понятия, которое мы сформулировали
в конце предварительйой беседы, исходя
из анализа конкретных доказательств, можем теперь
еще несколько уточнить:
Формальное доказательство (или, кратко, доказательство)
предложения В некоторой теории есть
конечная последовательность предложений (той же
теории)
В,, В2, Вп- 1, Вп, где Вп = В
(оканчивающаяся доказываемым предложением),
каждое предложение В, которой либо принадлежит
некоторому наперед заданному множеству П предложений,
либо получается из каких-нибудь предшествующих
предложений последовательности в результате
применения некоторого правила вывода из заданного
набора таких правил.
Но и здесь некоторые вопросы нуждаются в
разъяснении.

93

1. Что это за «наперед заданное множество П
предложений»?
С. По-видимому, П содержит множество аксиом
А данной теории, а также ранее уже доказанные
теоремы.
А. Очень хорошо. Но П может содержать не только
аксиомы и ранее доказанные теоремы. В частности,
П содержит и следствия из определений. Например,
доказывая какую-нибудь теорему о параллелограмме,
мы, естественно, используем в качестве одного
из предложений, составляющих доказательство,
предложение о параллельности противоположных
сторон, истинное в силу самого определения
параллелограмма (или следствие из определения).
2. Что означает: «Предложение получается из
каких-нибудь предшествующих предложений последовательности
в результате применения некоторого
правила вывода?»
Это означает, что данное правило вывода применимо
к каким-нибудь предшествующим предложениям
как к посылкам, и если применить к ним это
правило, то получим данное предложение как заключение
(следствие).
3. Возникает и такой вопрос. Мы утверждали,
с одной стороны, что теория — множество Т истинных
предложений, с другой,— что это множество Т
включает множество аксиом А и все доказуемые
(выводимые из А) предложения.
Как согласовать эти две точки зрения?
С. Аксиомы принимаются за истинные предложения.
А. Это — исходные истинные предложения.
С. И всякое выводимое из А предложение также
истинно.
А. Более детально это можно разъяснить так.
Предложение В доказуемо (выводимо из аксиом),
если существует доказательство этого предложения
(оканчивающееся предложением В). Но доказательство,
по существу, представляет собой конечное
число применений правил вывода к истинным
предложениям (аксиомам;, ранее доказанным георе-

94

мам, полученным таким же образом из аксиом;
предложениям, истинным в силу определений).
С. А правила вывода, примененные к истинным
предложениям, дают опять истинные предложения.
А. Поэтому и последнее предложение доказательства,
т. е. доказываемое предложение, тоже
истинно.
Доказательство устанавливает следование П խ= В
в рамках данной теории, где П — множество аксиом,
ранее доказанных теорем, определений. Поэтому,
принимая все предложения из П за истинные, мы
должны признать истинным и новое доказанное
предложение В.
И еще один вопрос.
4. Математические теоремы очень часто имеют
импликативную структуру «Если А, то В». И в том
случае, когда теорема сформулирована иначе, часто
удобно ее переформулировать в виде импликации
с тем, чтобы придать ей форму, в которой легко
выделяются условие и заключение теоремы, как
говорят обычно, «что дано» и «что требуется доказать
». Например, теорему: «Вертикальные углы равны
» представляют в импликативной форме: «Если
углы вертикальные, то они равны».
Пусть доказываемая теорема представляет собой
импликацию А=$֊В. Доказать эту теорему — означает
установить следование
П{=А= >В. (1)
В таком случае обычно присоединяют условие А
теоремы к множеству П в качестве дополнительной
посылки, т. е. А присоединяется к уже известным
истинным предложениям данной теории, и ищут
доказательство, устанавливающее следование
П, А \ = В , (2)
в котором наряду с аксиомами, ранее доказанными
теоремами и следствиями из определений допускается
участие и посылки А, принимаемой за истинное
предложение.
С. А из следования (2) получается следова

95

ние (1) по правилу введения импликации (ВИ).
А. Верно. В таком смысле говорилось в предварительной
беседе о конечной последовательности
предложений, каждое из которых аксиома или ранее
доказанная теорема, или истинно в соответствии с
определением, или по условию.
5. Наконец, нужно отметить, что наши разъяснения
касаются пока лишь «готового доказательства»
и не дают никаких указаний, как найти доказательства
определенных предложений.
Кроме того, мы подчеркнули в начале нашего
определения, что речь идет о формальном доказательстве,
хотя формальный, не связанный с конкретным
содержанием, характер доказательства лишь
частично заметен в обычной практике математического
доказательства.
С. У меня создается впечатление, что речь идет,
образно говоря, о выявлении «невидимой, подводной
>Тасти айсберга».
А. Ну что же, Вы правильно представляете, что
мы собираемся делать, к чему мы подготовились.
Действительно, обычное (неформальное, содержательное)
доказательство, как правило, намного
короче формального (логически полного) доказательства
той же теоремы, так как в нем опущены
некоторые посылки, отдельные шаги и вся применяемая
логика (правила вывода). Однако для
каждого содержательного доказательства, есЛи оно
только правильно, можно построить соответствующее
формальное доказательство (и даже не одно,
если воспользоваться различными наборами правил
вывода).
С. И обратное, видимо, тоже возможно. Я имею
в виду из формального или, как Вы еще говорили,
логически полного доказательства можно получить
обычное.
А. Разумеется.
С. Это хотелось бы увидеть.
А. Рассмотрим несколько примеров. Начнем с
очень простого.
Пр и м е р 1. Исходя из известной аксиомы,
выражающей замкнутость множества ./V натуральных

96

ных
чисел есть натуральное число)
А\: x £N / \ y £N = > x — \ — y £N ,
докажем, что a£N, b£N, с է N t = ( a b ) с է N.
О б ы ч н о е д о к а з а т е л ь с т в о : «Так как а и
b — натуральные числа, то согласно А\ и а b —
натуральное число. Так как а + b и с — натуральные
числа, то оп

Заметим, что колонка «Анализ» не является
частью доказательства.
С. Я уже это знаю. Анализ указывает лишь, на
каком основании каждое предложение левой колонки
участвует в доказательстве.
А. Правильно.
Построенное доказательство можно изобразить
наглядно в виде «дерева» (рис. 2).
Вершины этого «дерева» изображают предложения,
участвующие в доказательстве. Конечные
точки ветвей изображают предложения, входящие в
доказательство в качестве аксиом, посылок (условий),
определений. Вершины, не являющиеся конечными
на ветвях (расположенные на стволе дерева),
изображают предложения, полученные в результате
применения правил вывода к предшествующим
предложениям. Последняя полученная на стволе
вершина (корень дерева) изображает доказываемое
предложение.

97

С. Можно сказать, по-видимому, что такое «дерево
» изображает наглядно форму, или структуру,
доказательства.
А. Совершенно верно.
Теперь покажем постепенное сокращение («свертывание
») этого формального доказательства, переводящее
его в обычное.

1) Во-первых, опускаются шаги, представляющие
собой введение конъюнкции (ВК). В результате
мы уже получим доказательство, состоящее из семи
предложений (сохраним их номера из полного
доказательства):

98

Вот последнее доказательство и можно выразить
словами примерно так, как мы представили выше
обычное доказательство предложения (а + Ь) -\- с £ N,
исходя из посылок a £N , b £N, c £ N и аксиомы А\.
С. Это интересно, но приведенный пример,
действительно, очень простой.
А. Согласен, поэтому рассмотрим теперь более
сложный пример.
Пр и м е р 2. Доказать, что среднее арифметическое
двух неравных положительных чисел больше
их среднего геометрического, т. е. что а ^ Ь > -\[ab
для любых а > О, b > 0 и а Ф Ь.
Иными словами, нужно доказать следование
П, а > О, b > 0, а ф > л[аЬ,
где П — совокупность уже известных истинных
предложений алгебры.
Попробуем сначала построить обычное доказательство
неравенства — ՜էЬ > л[аЬ при указанных
условиях.
С. Можно исходить из доказываемого неравенства.
Так как а > 0 и Ь > 0, то можно обе части
неравенства возвести в квадрат. Получим
> ab, или (а + Ь)2 > 4ab. Теперь нам нужно

99

доказать неравенство (а + b)2 > АаЬ. Если перенести
4ab в левую часть, получим (а + b f— АаЬ > 0,
или (а — b f > 0, а это очевидно.
А. Почему?
С. Так как а ф Ь.
А. Где же доказательство исходного неравенства?
С. Его можно получить теперь, если исходить из
последнего, очевидно, истинного неравенства:
1. (а — b)2 > 0, так как а ф Ь;
2. (а — b f + АаЬ > АаЬ;
3. (а + ծ)2 > 4ab\
4. i i ± ± > V S f > .
А. Где же Вы использовали остальные условия?
С. При переходе от 3 к 4 мы использовали условия
а > 0 и Ь > 0.
А. Превосходно. Теперь, воспользуясь приведенным
Вами доказательством, построим логически
полное (формальное) доказательство:

Если бы мы исходили из общей формулировки
теоремы
V а У Ь ( а > 0 / \Ь > 0 / \ а ф ծ=>- — ֊Ճ > ab),

100

то должны были бы сначала дважды применить
ПКт, чтобы избавиться от кванторов,
а > 0 Д 6 > 0 Д а ^ = Ь=>- а + Ь > ab,
а полученное предложение равносильно доказанному
только что следованию.
С. Но предложения 1, 2, 10 почему-то названы
Вами р. д. т., хотя я их не нахожу среди доказанных
в школе теорем.
А. Вы правильно заметили. Но это — истинные
предложения, не принимаемые, как правило, в качестве
аксиом, поэтому мы. их называли теоремами
соответствующей, в данном случае алгебраической,
теории. Например, предложение 1 можно словесно
сформулировать так: квадрат разности двух неравных
чисел положителен.
С. Ну, а доказательство этого предложения элементарно:
так как а ф b, то а — b ф 0, следовательно,
(а — Ь)2 > 0.
А, Совершенно верно. Мы могли бы, конечно,
включить доказательства предложений 1, 2, 10 в
данное доказательство, но оно стало бы значительно
длиннее. Так что, приняв предложения 1, 2, 10
за р. д. т., мы уже несколько сократили доказательство.
Ну, а теперь, как из него получить обычное,
свернутое, доказательство?
С. Предложения, из которых состоит мое доказательство,
содержатся и в Вашем логически полном
доказательстве, иногда лишь в несколько иной
записи.
Например, мое предложение 1:
«(а — ծ)2 > 0 , так как а ф Ь » ,
у Вас записано так: «а Ф Ь=>(а — Ь)2 > 0», а Ваше
предложение 2:
«(а — ծ)2 > 0 =Ца -f ծ)2 > 4ab»,
по существу, включает мои два предложения (2 и 3).
Таким образом, опуская ВК и большие посылки

101

ПЗ, а также другие посылки и ПС, получаем следующее
свернутое доказательство:
1. а ф Ь ^ ֊( а — Ь)2> 0;
2. (а — b)2 > 0 =Ца + Ь)2 > 4 а 6 ;
11. а ՜է Ь > ~վօհ, так как а > 0, Ь > 0.
Мы получили даже более компактное и совершенное
свернутое доказательство, чем то, которое
я построил вначале.
А. Очень хорошо. Как видите, мы не напрасно
потратили время на выявление «невидимой части
айсберга».
Приведем еще геометрический пример.
Пр и м е р 3. Рассмотрим теорему, известную
под названием «теоремы о трех перпендикулярах»:
«Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции
наклонн

Прежде всего приведем содержательное доказательство.
Пусть т cz а, т _1_ ВС и ВС = пра(ЛС). Докажем,
что т _Լ А С (рис. 3).
Так как ВС = пра(ЛС), то АВ 1 а . Так как т с а
и АВ _!_ а, то тА-АВ. Так как т _L АВ и т, _Լ ВС
(по условию), то m l (ABC).

102

Из того, что m-L(ABC) и AC cz(ABC), следует
т _L А С, ч. т. д.
Анализ этого доказательства показывает, что его
можно представить в виде последовательности из
четырех предложений:
ВС = пра(АС)=>АВ X а;
Л В 1 а Д т с а = ^ т X Л В;
т X ЛВ Д т 1 В С = > т _L (ABC);՛
т X (ABC) Д ЛС с= (АВС)=^т X AC.
Перейдем теперь к построению формального доказательства
теоремы.
Прежде всего запишем теорему следующим
образом:
m c a / \ m l ВС Д ВС = пр а(АС)=>т X АС.
Доказать эту теорему — означает установить
следование
П | = т с а Д ш ! ВС Д ВС = пр а(АС)=>т X ЛС,
где П — множество уже известных геометрических
предложений.
С. Или П, т а а, /л Х В С , ВС = пра(ЛС)
т А-AC.
А. Мы и приведем теперь доказательство, устанавливающее
это следование.

103

Отметим, что так как доказанная теорема представляет
собой общее предложение, то фигурирующие
в ее формулировке буквы т , а, А, В, С, по
существу, должны рассматриваться как переменные,
понимаемые в интерпретации всеобщности, т. е. полная
формулировка теоремы должна иметь «кван-
торную приставку»:
Vm, а, А, В, С (m c z a , / \m — L B C / \B C = пра(ЛС)=>-
Переход к этому предложению от доказанного
бескванторного предложения формализуется с помощью
правила введения квантора общности (ВКО):
«Если П ! = А ( х ) , то П ^ = у х А ( х ) » , которое нетрудно
обосновать.
С Допустим, что имеет место следование
П 1 = А(х), но не имеет места следование П
1 = V хА(х). Из последнего получается, что существует
хотя бы одно х, для которого А(х) ложно.
Но в таком случае из П не следует А(х), что противоречит
нашему допущению.
А, Правильно. Теперь сравните формальное доказательство
теоремы о трех перпендикулярах с ее
содержательным доказательством, представленным
в виде последовательности, состоящей из четырех
предложений.
С. Эти четыре предложения входят и в формальное
доказательство под номерами 2, 6, 10 и 18
соответственно. Но в содержательном доказательстве
опущен ряд посылок и не применяются в явном
виде правила вывода.
А. Как видите, сопоставление содержательного
и формального доказательств одной и той же
теоремы показывает, что первое представляет собой

104

формальное доказательство. Не высказываются
в явном виде все посылки, отдельные однотипные
шаги объединяются в один, укрупненный, шаг, не
фиксируются используемые правила вывода, некоторые
шаги опускаются и т. п.
С другой стороны, содержательное доказательство
представляет собой обычное, заслуживающее
доверия, рассуждение, указывающее лишь на существование
формального доказательства и подсказывающее
путь его построения.
Хочу отметить, что формальное доказательство,
состоящее из 19 предложений, еще не очень длинное.
Полные, формальные доказательства многих
теорем содержат более 100 предложений. И конечно
же, повторяю, в обычной практике они никогда
не используются. Формальные доказательства строятся
лишь в связи с исследованием самих доказательств
и других проблем оснований математики.
С. Или, например, с целью ознакомления интересующихся
с понятием формального доказательства,
как это случилось со мною.
Это понятно. И хорошо, что допускаются обычные
доказательства. Иначе, вряд ли практически
мы смогли бы за период изучения математики доказать
несколько десятков теорем.
Но у меня возник еще один вопрос. В школе
мы часто доказываем теоремы способом «от противного
». Как можно уточнить этот способ доказательства?
А. Рассмотренные нами до сих пор доказательства
называются также прямыми. Известное из
школьного курса под не совсем удачным названием
доказательство способом «от противного» представляет
собой косвенное доказательство.
Рассмотрим логические основы различных в а риантов
косвенного доказательства.
Косвенное доказательство некоторой теоремы Т
состоит в том, что исходят из отрицания Т, называемого
допущением косвенного доказательства
(дкд) и выводят из него два противоречащих друг
другу предложения (типа Р и ~1Я). Это выведение

105

называется «приведением к нелепости», или «сведением
к абсурду».
С. Затем с помощью правила СА заключаем:
«Если П.ЧГ Ё= Р и П,ЧГ խ= IP , то П 1 = Т».
А. Верно заметили. Но это правило точнее
приводит в данном случае к заключению П | = П Т,
а по правилу двойного отрицания Т ЛТ Т, следовательно,
П | = Т.
Основная форма косвенного доказательства начинается
обычно с «[Г и оканчивается предложением
Р Д ЧР, т. е. противоречием, являющимся
тождественно ложным. При этом Р может быть
аксиомой, р. д. т., т. е. Р£П, а рассуждение приводит
к ЧР, а следовательно, к Р Д 1Р (ВК).
С. В конце такого доказательства обычно говорят:
«Полученное противоречие доказывает теорему
». Что значит «противоречие доказывает»? Каков
точный смысл этих слов?
А. Смысл этих слов можно уточнить так: как
только получено противоречие, оно позволяет получить
доказываемую теорему по правилу СА.
Но это выражение можно истолковать и так.
Ввиду того, что противоречие Р Д 1 Р тождественно
ложно, его отрицание Л ( Р Д 1Р) общезначимо
и после получения этого противоречия мы можем
дополнить формальное доказательство еще тремя
строчками, доведя его до вывода теоремы Т следующим
образом:

Таким образом, точный смысл слов «полученное
противоречие доказывает теорему» можно истолковать
как возможность достраивания доказательства
после получения противоречия до доказываемого
предложения Т.

106

Очень часто в математике доказываемое предложение
формулируется в виде импликации P=>Q.
В таком случае допущением косвенного доказательства
будет ~I(P=^Q), или равносильное предложение
Р Д ~IQ.
С. Нельзя ли это показать на примере?
А. Приведем пример. Допустим, что а, b, с —
различные прямые на плоскости и мы хотим доказать
предложение

С. Которое и доказывает теорему.
А. Здесь приведено лишь описание косвенного
доказательства теоремы P=^Q: а || с A b || с=^а || Ь,
но не построено само это доказательство в виде
полного, формального доказательства, так как последнее
содержит большое число строк (шагов).
Часто в косвенном доказательстве предложения

107

Р=>-Q, исходя из допущения Р /\~IQ, выводят ՂԲ.
Дальше можно различными способами вывести
доказываемое предложение: а) получением противоречия
Р Л 1Р, которое и «доказывает» теорему;
б) выводом контрапозитивного предложения 1Q=^1P.
В последнем случае после получения 1 Р доказательство
завершается следующим образом:

108

Как видно, контрапозитивная форма косвенного
доказательства наиболее простая.
С. Иногда говорят о доказательстве методом
исключения. В чем состоит этот метод?
А. Это специальная форма косвенного доказательства,
состоящая в следующем. Допустим, что
нужно доказать предложение P=>Qւ, т. е. доказать,
что П | = P=^Qւ, или что П, Р (z= Qь где П —
множество уже известных предложений данной
теории.
Наряду с заключением Q\ рассматриваются все
остальные возможности Q2, Q3, …, Q„, т. е. такие,
что дизъюнкция
QI V <?2 V <?3 V — V <?«€ П,
т. е. является аксиомой или определением, или ранее
доказанной теоремой. Затем доказывают, что каждая
из остальных возможностей Qշ, фз, …, Q„ ведет
к противоречию и, таким образом, получают Лфг,
1 Q3, …, IQn, а следовательно, конъюнкцию
1 <Չշ A TQ3 А ••• A TQ/i, или равносильное ей предложение

109

по правилу удаления дизъюнкции \^УД—————-յ ,
получаем Q,.
В качестве иллюстрации метода исключения опишем
доказательство этим методом теоремы: «Если
любая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает
и прямую Ь, то эти прямые параллельны», т. е.
П t=P = >Qr . П l = V a ( a <8>a=>a ®b)=>a\\b5,
или
П, Р t = Q,: П, V a (a <8>a=^a <8> b) \ = . а || Ь.
Исходим из истинного предложения
Qi V Q 2V Q 3:a||& V a ® b \ J a — b (1)
(две прямые параллельны или пересекаются, или
скрещиваются).
Допущение Q2: a(&b приводит к
а (%> ծ=>֊ 3 a (a (g) а Д З а ® Ь).
Как это доказать?
С. Достаточно провести произвольную плоскость
а через Ь, отличную от плоскости, определяемой
пересекающимися прямыми a mb.
А. Правильно. Так как 3 а ( а®аДЛ ( а®&) )
равносильно 1 V « ( a ® a = ^ a ® Ь), то
С?2=^ЗЯ: a® b = > I V a ( a ® а=>а <g> ծ). (2)
Из (?շ=փ- I P и Я по ПО получаем
1Q2: 3(a <g> b). (3)
Аналогично допущение Q3: а — b приводит к
(?з=^ТР: а — ծ=* ֊3 V a ( a ® a=*-a <g> ծ). (4)
С. Достаточно через b и какую-нибудь точку
прямой а провести плоскость а.
А. Совершенно верно.
С. Из (4) и Р по ПО получаем
Т<?3: Ղ ս ^Ե . (5)
5 « а <g> а» означает: а пересекается с а, т. е. 3 А(а(] а = А).

110

косвенное доказательство.
А. Ответ на вопрос «Как мы доказываем в математике
» будет далеко не полным, если не рассмотреть
некоторые специальные методы доказательства,
применяемые в математике, причем будем
строить, разумеется, обычные (неформальные, свернутые)
доказательства.
Метод математической индукции — специальный
метод доказательства, применяющийся к предложениям
типа
v х е м р ( х \ (1)
т. е. к предложению, выражающему некоторое
свойство Р, присущее любому натуральному числу.
Ввиду того что непосредственная проверка наличия
этого свойства у любого натурального числа
невозможна из-за бесконечности множества N натуральных
чисел, поступают так: устанавливают
наличие этого свойства для х = 1 и доказывают,
что из допущения о наличии его для х = п, где
п — произвольное натуральное число, следует наличие
этого свойства для x = ti֊\- 1, т. е. для числа,
«непосредственно следующего» за п. Затем заключают
об истинности предложения (1), т. е. о том, что
свойством Р обладает любое натуральное число.
С. На каком же основании делают такое з а ключение?
А. Формальной основой метода математической
индукции служит одна из аксиом, характеризующих
структуру, порождаемую во множестве N отношением
«непосредственно следует за», называемая
аксиомой индукции (или математической индукции):

111

Если 1 обладает некоторым свойством Р и для
всякого натурального числа из того, что оно обладает
этим свойством, следует, что и непосредственно
следующее за ним натуральное число обладает им,
то всякое натуральное число обладает свойством Р.
В символической записи:
Р( 1)AV х(Р(х)=>Р(х + 1))=> V у(Р(у).
Эта аксиома и подсказывает нам метод доказательства
предложений, выражающих свойства
натуральных чисел: если нужно доказать предложение
V# Р(у), где у — переменная для натуральных
чисел («всякое натуральное число обладает
свойством Р»), достаточно установить истинность
высказывания Р(\) («число 1 обладает свойством Р»)
и доказать, что V х{Р{х)=$֊Р{х + 1)), т. е. для всякого
х, если х обладает свойством Р, то этим
свойством обладает и число х + 1, непосредственно
следующее за х.
Получаем следующую логическую схему доказательства
методом математической индукции:

112

Теперь нужно доказать предложение
\/х(Р(х)^Р(х + 1)),
или истинность предложения Р(х)=>Р(х-\- 1) для
любого х, т. е. его следование из множества П
известных предложений теории натуральных чисел:
П 1 = Р(х)=>Р(х-\- 1), или П Д х ) ( = Р (х + 1).
Итак, допустим, что Р(х) истинно для произвольного
х и при этом допущении установим истинность
Р(х + 1 ) , т. е.
1 + 2 + . . . + * + ( * + 1 ) = ( * + » ) ( ( * + 0 + 0 ,
Действительно, 1 + 2 + … + х + (х + 1) можно
представить так: (1 + 2 + … + х) + (х + 1), т. е. как
сумму двух слагаемых, первое из которых, по на-
шему допущению, равно —х{—х +— 1) .
Следовательно,
1 + 2 + . . . + * + ( * + 1 ) = ճ ք + ճ + ( * + 1 ) =
■*(* + 1) + 2(л+1) (х+ lX-t + 2) _
~ 2 2
_ (л + 1Х(х+ 1)+ 1)
2
Этим доказана истинность предложения
V х(Р(х)=> Р(х + 1)).
Дальше, следуя приведенной выше схеме, из
истинности Р(1) и V х(Р(х)=>Р{х + 1)) получаем
истинность конъюнкции
Р(1)Д V х(Р(х)^Р(х + 1)), по ВК,
а из этой конъюнкции и аксиомы индукции по ПЗ
получаем V уР(у), или V хР(х), т. е. доказываемое
предложение
VJC(i + շ + … + * = ճք+1ճ) .
А. А какими предложениями из П Вы воспользовались
в доказательстве предложения Чх(Р(х)=>֊
=► Р(х + 1))?
С. Например, ассоциативностью сложения, дистрибутивностью
умножения относительно сложения.

113

А. Верно.
Разумеется, в обычной практике доказательства
методом математической индукции не придерживаются
строго приведенной выше схемы и не ссылаются
явно на аксиому индукции. После установления
истинности предложений Р( 1) и V х{Р{х)=>
= ^ />(л:+1)) обычно завершают доказательство т а ким
рассуждением: так как предложение Р верно
для 1 и из допущения об истинности его для произвольного
числа х следует его истинность для непосредственно
следующего за ним числа j c + 1 ,
то оно верно для числа 2; так как оно верно
для числа 2, то оно верно и для непосредственно
следующего за ним числа 3 и т. д. Но что
означает здесь «и т. д.»? По существу, надо перечислить
все натуральные числа, т. е. рассуждение
становится «бесконечным», а стало быть, незавершенным
(и не завершимым).
Можно, однако, завершить доказательство методом
математической индукции таким рассуждением:
так как предложение Р верно для 1 и из допущения
об истинности его для произвольного х следует его
истинность для непосредственно следующего за
ним числа х -f- 1, то это предложение верно для
любого натурального числа.
С. Это и есть, по существу, аксиома индукции.
А. Как видите, роль аксиомы индукции состоит в
том, что она позволяет завершить в конечное число
шагов доказательство некоторого свойства, присущего
всем натуральным числам, хотя это множество
бесконечно.
Обычная полная индукция, общее заключение
которой делается на основании посылок, охватывающих
все частные случаи, Р{ 1), Р{2), Р{3), …, как уже
было замечено, здесь неприменима.
По неполной индукции заключение делается на
основе посылок, не исчерпывающих все частные
случаи, и поэтому является лишь правдоподобным.
Неполная индукция может служить лишь для
выдвижения гипотезы о наличии свойства Р у всех
натуральных чисел, но не может служить доказательством.

114

В отличие от этих видов индуктивных рассуждений
математическая индукция, основой которой является
одноименная аксиома, позволяет делать
достоверное заключение о наличии свойства Р у всех
натуральных чисел, требуя для этого лишь проверки
его наличия у числа 1 и установления перехода
этого свойства «по наследству» от х к х I.
С. Но метод математической индукции может
применяться к доказательству лишь предложений,
выражающих свойства натуральных чисел.
А. Не надо думать, однако, что этот круг предложений
весьма ограничен. Многие предложения,
сформулированные совсем на другом языке, переводимы
на язык натуральных чисел, т. е. представимы
в виде высказывательных форм от натуральной
переменной.
Приведем один геометрический пример.
Доказать предложение: сумма внутренних углов
выпуклого ո-угольника равна 2d(n — 2).
Если эту сумму углов обозначить через S„, то
необходимо доказать, что V n ^ 3 ( S n = 2d(n— 2))
(для п < 3 наше предложение бессмысленно, так
как простейший многоугольник — треугольник).
Естественно начать с п = 3:
S 3 = 2d(3 — 2) = 2d,
т. е. для п = 3 наше предложение верно.
Теперь примем, что Sk = 2d(k — 2) верно для
всех натуральных k, 3 ^ k < п для любых натуральных
п > 3, и покажем, что оно верно и для п
(это равносильно доказательству, что оно верно для
£ + 1, так как самое большое k, для которого оно
верно по нашему допущению, равно п— 1).
Разложим /г-угольник на два многоугольника
с помощью отрезка, соединяющего две несмежные
вершины А я В. Такое разложение возможно, так
как «-угольник выпуклый и п > 3. Порождаемые два
многоугольника пусть имеют соответственно р и q
вершин, причем р < п и q < n . Так как вершины
А и В считаются дважды, в обоих многоугольниках
(рис. 5), то р + q = п + 2.
Так как р < п и q < п, то наше допущение верно

115

для обоих полученных многоугольников, т. е.
S p = 2d(p — 2) и Sq — 2d(q ֊2 ) = 2d(n — p).
С. Дальше уже ясно. Сумма углов выпуклого
ռ-угольника, очевидно, равна сумме внутренних углов
р֊угольника и ^-угольника, т. е.
S n — S p֊\ ֊S q = 2d{p — 2)-\-2d{n — p) = 2d(n — 2), ч. т. д.
Интересное доказательство. И кажется, я уже
понял, в каком смысле мы говорим, что метод математической
индукции применим к предложениям,
выражающим свойства натуральных чисел. В этом
примере речь идет о свойстве выпуклого л-угольника.
Натуральное число фигурирует здесь в качестве
числа сторон выпуклого многоугольника. И так как
это свойство нужно доказать для любого выпуклого
л-угольника, то оно сводится к доказательству
предложения S n = 2d(ri — 2) для любого натурального
л, не меньшего 3

А. Вы правильно поняли. Я обещал показать
некоторые специальные методы доказательства,
применяемые в математике, но пока разъяснил один.
Рассмотрим еще один метод, основанный на
принципе, носящем название «принципа «ящиков»
Дирихле» (по имени известного французского математика
XIX века ) .
Этот принцип состоит в весьма простом утверждении,
согласно которому в любой совокупности из п

116

множеств, содержащих в общей сложности т элементов,
где т > п, есть хотя бы одно множество,
содержащее не менее двух элементов.
С. Это действительно понятно, но причем тут
«ящики»?
А. Дело в том, что наиболее популярная форма
этого принципа, откуда и его название, состоит
в следующем утверждении: если в п ящиках лежит т
предметов, причем т > п, то хотя бы в одном из
ящиков лежит не меньше двух предметов.
С. И по-видимому, так же как метод математической
индукции применим к доказательству предложений,
которые сформулированы необязательно на
языке натуральных чисел, принцип «ящиков» применим
к предложениям, в формулировке которых
вовсе необязательно фигурируют ящики.
А. Совершенно верно.
Приведем два примера.
1) Доказать, что существуют по крайней мере
два жителя г. Минска с одинаковым числом волос
на голове.
С. Я знаю, что в Минске больше миллиона
жителей. А сколько волос на голове человека?
А. Меньше 200 ООО.
С. Ну вот! Разделим население Минска на множества
людей так, чтобы в одно множество попали
люди с одинаковым числом волос на голове, а в
различные множества — с различным. Таких множеств
будет не более 200 ООО, а людей в Минске
больше 200 000. Следовательно, хотя бы одно множество
должно состоять более чем из одного человека.
Значит, существуют хотя бы два минчанина
с одинаковым числом волос на голове.
А. Правильно применили принцип «ящиков».
А вот другой пример!
2) Если 50 человек стоят в комнате размером
7 X 7 м, то имеется по крайней мере 2 человека,
находящиеся друг от друга на расстоянии, меньшем
чем 1,5 м. Доказать.
С. Здесь что-то не соображу, как применить
принцип «ящиков».
А. Чтобы применить принцип «ящиков», ра-

117

зобьем пол комнаты на 49 квадратов со стороной
в 1 м.
С, Теперь я уже соображаю: 49 человек могут
стать по одному в каждом квадрате. Оставшийся,
пятидесятый, должен стать в уже занятый квадрат.
И расстояние между двумя людьми, стоящими в одном
квадрате, не может быть больше длины диагонали
квадрата, т. е. -т/2, а -д/2 < 1,5.
А Очень хорошо.
Рассмотрим еще одно типичное для математики
доказательство. Речь пойдет о доказательстве
существования и единственности, очень часто
встречающемся в математике.
Пусть необходимо доказать, что уравнение
v l + l g * + Vl — lg* = 2 (1)
имеет точно одно решение.
Нетрудно заметить, что х — 1 является корнем
этого уравнения. Этим самым установлено, что
уравнение (1) имеет по меньшей мере один корень.
Теперь остается доказать, что других корней нет.
Для этой цели воспользуемся известным предложением:
для любых трех различных вещественных
чисел а, Ь, с имеет место соотношение а + ծ с >
0 ____ 3
> jabc, т. е. среднее арифметическое больше среднего
геометрического (равенство получаем только
при условии а = b = с ) .
Выражения из левой части уравнения (1) можно
представить в виде ^ ‘ l l ^ g x = ^ / l • 1 — (1 ± lgje), .
следовательно, ^/1 ± \gx = ^ / f 7 1 — ( l ± \ g x ) <
j _ Поэтому A / l + l g * +
+ V 1 — lg * < 1 + — lg * + 1 lgx = 2, т. е.
V 1 + \gx +-^/1 — lgx С 2. Равенство же (1) получается
только при условии 1 = 1 + Igx или lgx = 0,
т. е. при х = 1. Этим доказана и единственность корня.

118

С. Это все интересно. Но как догадаться о возможности
использования здесь известного соотношения
между средним арифметическим и средним
геометрическим?
А. Если внимательно изучить структуру левой
части уравнения (1), мы найдем заложенную в ней
некоторую «эвристическую» информацию, способствующую
открытию пути доказательства. Корни кубические
ориентируют нас на соотношение, связанное
со средним геометрическим трех чисел, в котором
фигурирует корень кубический. К тому же сумма
подкоренных выражений равна 2. Возникает гипотеза,
нельзя ли каждый кубический корень представить
как среднее геометрическое трех чисел.
Однако пора на этом завершить, по-видимому,
рассмотрение вопроса, как мы доказываем в математике.
Разумеется, мы не исчерпали здесь этот большой
и сложный вопрос и ограничились только уточнением
понятия доказательства, сопоставлением обычного,
применяемого в практике, свернутого доказательства
с развернутым, логически полным, формальным доказательством,
рассмотрением логических основ
косвенного доказательства и некоторых специальных,
типичных для математики, методов доказательства.
С. Мне теперь понятно, что такое готовое, уже
построенное доказательство, свернутое или развернутое.
Но как найти доказательство? При изучении
математики наибольшие затруднения вызывает именно
поиск доказательства. Не могли бы Вы еще
что-нибудь сказать в заключение о том, как’ найти
доказательство?
А. Удовлетворю Вашу просьбу. Но до этого
предложу Вам некоторые

Упражнения

4.1. Постройте обычные, свернутые, и логически
полные доказательства следующих предложений:
а) Диагональ параллелограмма делит его на два
равных треугольника

119

б) Биссектрисы внутренних углов треугольника
пересекаются в одной точке.
в) Середины сторон выпуклого четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
4.2. Постройте косвенное доказательство предложения
ab = 0 =^а = 0 V b — 0 (а, b g R).
4.3. Докажите методом математической индукции
предложение: «выражение п3 + (п -(֊ I)3 + ‘ (п + 2)3
делится на 9 при любом натуральном п».
4.4. В математике встречаются задачи, решение
которых состоит в доказательстве неразрешимости.
Одно из старейших доказательств невозможности
относится к 450 году. Это доказательство отсутствия
рационального решения уравнения х2 — 2 = 0, или,
иными словами, доказательство того, что д/2 не есть
рациональное число.
Покажите, что допущение о том, что -\[2 — рациональное
число, приводит к противоречию.
4.5. Петя знает произведение р = т • п, а Сеня —
сумму s = m + n, двух натуральных чисел т и п ,
где п ^ т > 1. Причем Петя знал, что Сене известна
сумма, а Сеня знал, что Пете известно произведение.
Между ними состоялся следующий диалог.
П. «Я не знаю сумму տ».
С. « Э то я знаю. Подскажу тебе, что տ<14» .
П. «Теперь, зная, что сумма տ <Հ 14, я нашел и
числа т и п».
С. «Тогда и я нашел т и п».
Воспроизведите рассуждения, с помощью которых
Петя и Сеня нашли числа т и п .

120

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

доказываем в математике