дома » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

Главная страница Математические олимпиады.
Сборники Математики
 Скачать бесплатно

Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно). Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше. А тексты на страницах сайта Вам помогут находить нужные темы с помощью поисковой формы ниже:



В настоящее дополнение включены материалы XVII Международной
олимпиады, состоявшейся уже после того, как основной
текст книги был сдан в набор.
Семнадцатая Международная математическая олимпиада проходила
в июле 1975 года в Болгарии в Бургасе н Софии.
Первые премии получили:
Пауль Войта —40 очков, США
Джон Рикард —40 очков, Англия
Жан-Клод Сикорав—40 очков, Франция
Пауль Хердег —40 очков, США
Джонатан Хичкок—40 очков, Англия
Борис Юсин —40 очков, СССР
Вилфрид Пашер —39 очков, Австрия
Миллер Пукетт —39 очков, США
Общие результаты следующие:
Страны
Премии Общее число
очков
1 команды
, 39—40 очков
II
32—37 очков
i l l
22—31 очко
Австрия 1 1 [ 192
Англия 2 2 2 241
Болгария — 1 4 186
Венгрия — 5 3 258
Вьетнам — 1 3 175
ГДР — 4 4 249
Г реция — 1 — 95
Монголия — — 1 75
Нидерланды — — 1 67
Польша — I 1 124
Румыния — I 3 180
СССР 1 3 4 246
США 3 1 3 247
Франция 1 1 1 176
Чехословакия — — 2 162
Швеция — 2 — 160
Югославия 1 2 163
Задачи XVII Международной математической олимпиады
1. Пусть х{, t/i (i= 1,2, . . . . ti)—действительные числа, такие,
что хх . .^ х „ и • — ^У п- Докажите, что если
ги г2, . . . , гп—любая перестановка чисел yiy t/2, . .. ,t/„, то
П П
2 (х‘ — У‘)2 ^ 2 —г’)2■ (Чехословакия)
t = i i = 1
2. Пусть аи а2, а3, . . .—произвольная бесконечная последовательность
положительных целых чисел, таких, что ak < ak+i
Докажите, что бесконечно много членов ат из этой последовательности
можно представить в виде

284 ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

am = xap + yaq,
где x и у—положительные целые числа и p¥=q. (Англия)
3. На сторонах произвольного треугольника АВС вне его
(в плоскости АВС) построены треугольники ВРС, CQA и ARB,
такие, что PBC=CAQ=45°, BCP=QCA=30°, ABR=BAR=15°.
Докажите, что QRP = 90° и | QP | = | Р Р |- (Нидерланды)
4. Пусть А—сумма цифр в десятичной записи числа 44444444,
а В—сумма цифр числа А (А и В также рассматриваются в
десятичной записи). Найдите сумму цифр числа В. (СССР)
5. Можно ли на окружности радиуса 1 отметить 1975 точек
так, чтобы длины хорд, соединяющих любые две из них, выражались
рациональными числами? (СССР)
6. Найдите все многочлены Р относительно двух переменных,
обладающие следующими свойствами:
1) Р —однородный многочлен степени п, т. е. для всех действительных
t, х, у
P(tx, t y )=tnP(x, у);
2) для всех действительных а, Ь, с
Р (а+Ь, с) + Р Ф + с> а) + Р (с + а, Ь) = 0;
3) Р (1, 0) = 1. (Англия)
Решения задач XVII Международной математической
олимпиады
1. Раскрыв скобки в доказываемом неравенстве, убеждаемся,
что оно эквивалентно неравенству
П П
i- i i2=i3 * ^ —
Докажем это неравенство по индукции. При п— 1 оно очевидно.
Пусть оно справедливо при п = к. Проверим его для n = k -p\ .
fc+1 fc +1
Если Zj=t/i, то по предположению индукции 2 xizi ^ 2 Х‘У‘’
1=2 1=2
и, прибавляя к этому неравенству xyt/f, получаем доказываемое
неравенство.
Пусть теперь zi = ym, т ф 1, a yi = zt, 1ф 1. Поскольку
и у ^ у т, то (Xi—x J i y i—y J ^ O , откуда x1yi + x lym^
fc+i
xtym-\- xyji. Поэтому, если в сумме ^ xtzi слагаемые х^г^ —
£ = 1
=;Xiут и xlzl = xlyi заменить слагаемыми xyjt и х{ут, то сумма
от этого не уменьшится. Новую сумму можно представить в виде
fc+i
*il/i+ 2 х‘г’и где ПРИ 1=2

285 ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

1 X ym< если i= I,
откуда видно, что z\ , z’a, . . . , zk+1—некоторая перестановка чисел
k+i
У 2, у а, . ■ ■, yk+i- Поэтому по предположению индукции 2 xiz\ ^
1=2
fe+1 f t + 1 k + l k+ 1
< 2 Х‘У1 и’ значит» 2 x‘zi < xiyi+ 2 X‘Z«;^ 2 Х‘У‘> что и тРе- t = 2 f = l 1 = 2 1=1
бовалось доказать.
2. Пусть Лг—подпоследовательность из тех чисел ак (к > 1),
которые при делении на дают остаток г. Поскольку при изменении
г от 0 до аг—1 каждое число ак попадает в одну из
подпоследовательностей Лг, то хотя бы одна из них бесконечна.
Покажем, что члены этой бесконечной подпоследовательности ак ,
акг, . . . , ак., . . . , начиная с ак%, образуют искомые числа ат.
В самом деле, они представлены в виде ak. *= pfii + г. Поэтому
при i ‘^ 2 ак — akl=(pi—p ^ a lt откуда ak. = xaki+ya t, причем
х= 1 , у= pi— Pi > 0 и 1, так как kt > 1.
3. Обозначим величины углов треугольника АВС при вершинах
Л, В, С соответственно через а , р, у. Внутри угла ARB
(ARB— 150°) построим точку В’, такую, что
\B ‘R \= \B R \ (1)
и BRB’ = 90°. Тогда B’RA — 60°. Но |В’А| = |Л /? |, поэтому треугольник
AB’R равносторонний.
Соединим В’ с Q и рассмотрим треугольник AB’Q. Легко
подсчитать, что B’AQ — a. Заметим, что по теореме синусов
IЛ1<2 I = +” = 2 ^ 5 — •И зтреугольника ARB\AR\ *
Но \AR\ = \AB’\, откуда = т.е. ДЛБ'(Э~ДЛВС.
Значит, AB’Q=$, откуда RBP =RB’Q.
I fiQ | 1 J[Q I
Из подобия треугольников ВСР и ACQ следует —~p [Q|•
А из подобия треугольников AB’Q и АВС следует 4-т^т- =
\ВС\
= откУДа
\BP\=\B’Q\ . (3)
Из (1), (2), (3) следует, что при повороте ломаной RBP на 90°
по часовой стрелке с центром в точке R она_переходит в ломаную
RB’Q, причем точка Р переходит в Q, откуда и следует,
что |Pt f | = | Q/ ? | и PRQ = 90°.
4. Заметим, что поскольку 44444444 < 100004444, то число цифр
в десятичной записи числа 44444444 не больше 4444-4+1 <20000.

286 ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

Отсюда А < 9-20000= 180000. Значит, В < 9 — 5 = 45. Поэтому,
обозначив сумму цифр числа В через С, получим
С < 4 + 9 = 13. (1)
Заметим теперь, что сумма цифр числа дает при делении на 9
тот же остаток, что и само число. Отсюда
4444«44 ==С (mod 9). (2)
Сдругой стороны, 4444==7 (mod 9) и поэтому 44 4 444144 = 74444 (mod 9),
откуда 44444444эи(—2)?’1481-7 (—8)148l-7 = 7 (mod 9). Учитывая
(1) и (2), получаем, что С = 7.
5. Легко проверить, что существует бесконечно много попарно
различных прямоугольных треугольников е гипотенузой длины 2
и с рациональными длинами катетов (например, как треуголь-
^ 2 _
ники с катетами и пц-\-\ > где п—натуральные числа). Зафиксируем
диаметр АВ данной окружности радиуса 1 и построим
на этом диаметре 1975 таких различных треугольников АВС{
(£ = 1,2, . . . , 1975). Пусть все точки С,- лежат на одной и той
же полуокружности. Покажем, что точки С,- являются искомыми.
Рассмотрим две из них: Ct и Са. Пусть D± и D,—основания
перпендикуляров, опущенных соответственно из точек Сх и Са
на диаметр АВ. Пусть СгВА^= а, С2ЛР = р. Тогда
= • Величина |DXD21 является рациональной, так как
легко проверить, что рациональными будут величины [ ADX | и
| ЛП21. Кроме того, являются рациональными sin a, sin р, cosa,
cosp, а поэтому рациональным будет и cos (a—Р). Итак, | СХС2 [
выражается рациональным числом.
6. Воспользуемся свойством 2), положив а = Ь= с = у. Получим
Р (2щ у) = 0 при любом у. Отсюда заключаем, что многочлен
Р (х, у) делится на х—2у. Полагая а=Ь = х, с = —2х и воспользовавшись
свойствами 2) и 1), получаем
2пР (х, —х) + 2Р (—х, х) = 0. (1)
Полагая а — х, Ь = —х, с = 0, получим Р(0, 0) + Р (—х, х) -f-
+ Р ( х ,—х) = 0. Но, очевидно, Р(0, 0 )= 0 . Отсюда Р( х ,—л:)—
= —Р(—х, х). Используя (1), получим (2″—2) Р (х ,—я) = 0 при
любых х. Поэтому Р (х ,—х )=0 при n > 1. Значит, многочлен
Р (х, у) делится на (х-\-у).
Положим Pi(x,y) = — « Легко показать, что многочлен
Рх(х,у) степени п— 1 обладает свойствами 1), 2), 3). Свойство
2) при аА-Ь+сфО проверяется непосредственным вычислением,
а при с + Ь + с = 0 следует из непрерывности многочлена.
Таким образом, Pi(x, у) делится на (х—2у) и (х + у ). Теперь,
применяя индукцию, получаем, что Р(х,у) = (х—2у) (х+у)п~1.

287 ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

Елена Александровна Морозова,
Иван Семенович Петраков,
Валентин Анатольевич Скворцов
М ЕЖ Д УН А РО Д НЫ Е МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ
Редактор Н. И. Никитина
Художник С. С. Верховский
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор В. В. Новоселова
Корректоры О. С. Захарова, К ■ А. Иванова
Сдаио в набор 26/Х 1975 г. Подписано к печати 10/1X 1976 г.
60×9 0Vie — Бум. тип. № 3. Печ. л . 18,0. Уч.-изд. л . 17,24.
А05740. Тираж 150 тыс. экз. Зак. №4 1 .
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение
» Государственного комитета Совета Министров
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союз пол игр афпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28.
Цеиа 53 коп.

288 ДОПОЛНЕНИЕ. XVII ОЛИМПИАДА

УРАВНЕНИЯ  ВТОРОЙ  СТЕПЕНИ.
Кабинет математики.
Библиотека учителя.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии