§ 16. Дробные алгебраические уравнения
ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Дробные уравнения, т. е. такие, в одной или обеих частях которых
находятся дробные рациональные выражения, содержащие неизвестное
в знаменателе, решаются посредством сведения к целым
уравнениям.
Для достижения этой цели можно, например, перенести все слагаемые
правой части в левую с противоположными знаками, затем
посредством обычных тождественных преобразований привести левую
часть к виду частного от деления двух многочленов. После этих
преобразований мы’ получаем новое уравнение, являющееся лишь
следствием исходного, но не обязательно равносильное ему.
Действительно, всякое решение исходного уравнения, очевидно, является
решением преобразованного. Обратно, всякий корень преобразованного
уравнения является корнем исходного, если только обе части исходного
уравнения имеют смысл при подстановке этого корня. Однако может случиться
так, что обе части исходного уравнения лишены смысла при некотором
значении неизвестного, а левая часть преобразованного уравнения имеет смысл
и обращается в нуль. Тогда такое значение неизвестного является корнем
преобразованного уравнения, но не является корнем исходного. Таким образом,
преобразованное уравнение действительно является следствием исходного,
но не обязательно ему равносильно, так как может иметь лишние
293 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих смысл введенных
определений.
Уравнение лг2— 4лг-|-3 = 0 есть следствие уравнения х — 2 = 1 .
Действительно, единственным решением второго уравнения является
л г= 3 , и это решение является вместе с тем решением первого уравнения.
То же самое можно обосновать следующим рассуждением:
«Если х — 2 = 1 , то лг = 3 и, следовательно, лг2— 4л; “{-3 = 0».
Часто можно убедиться в том, что одно уравнение является следствием
другого, не решая последнее. В том же примере это можно
сделать, например, таким рассуждением: «Если х — 2 = 1, то
(х — 2)2= 1, т. е. х 2 — Ах -f- 4 = 1, следовательно, лг2 — Ах -{- 3 = 0».
Теперь сформулируем и докажем несколько теорем, обосновывающих
некоторые преобразования данного уравнения в новое, являющееся
следствием данного (или равносильного данному). Для полноты
изложения поместим и две сформулированные выше теоремы из первой
части книги.
Т е о р е м а 1. Если к обеим частям уравнения добавить одно и
то же число или один и тот же многочлен, то получится уравнение,
равносильное исходному.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть данное уравнение есть А = В,
где А и В — алгебраические выражения от х , и пусть С есть число
или многочлен, зависящий от лг.
Если х 0 есть решение данного уравнения, т. е. такое число, при
подстановке которого вместо буквы лг выражение А становится действительно
равным Ву то при том же значении лг0 А -\-С— В -\-С.
Обратно, если лг0 такое, что при подстановке его вместо х
А -\-С = В -\-С > то при том же значении лг0 А — В.
Итак, каждое решение уравнения А — В оказывается решением
уравнения А -\-С = В -\-С и, обратно, каждое решение уравнения
А —j— С = В —{— С есть решение уравнения А = В. Уравнения А = В
и А — \-С = В -\-С действительно равносильны.
Короче, все рассуждения можно провести так. Если (при некотором
значении х ) А = ВУ то (при том же значении х ) A — j-C = 5 — f -C .
Обратно, если (при некотором значении х ) А -\-С = В-\-Су то (при
том же значении х ) А = В.
Замечание . В этой теореме существенно, что С есть число
или многочлен. Если С есть дробное выражение, то теорема может
оказаться неверной — может случиться, что решение уравнения А = В
при подстановке в уравнение А-\- С = В -\-С дает бессмысленное
равенство, если знаменатель С обращается в нуль. Например, уравнения
лг 4 — 2 = 4
и
лг 4- 2 1 А’ х ——1 т2 г = 4 1 —х— — 2л-
не равносильны: первое из них имеет корень лг = 2, второе — корней
не имеет.
289 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
корни. Указанное обстоятельство может иметь место, если по ходу преобразований
происходит взаимное уничтожение дробных выражений или производится
сокращение дробей.
Например, производя в уравнений
Уравнение (3), очевидно, есть следствие уравнения (1). Проверим это обычным
рассуждением.
Если (лг такое, что)
Но уравнение (1) не является следствием уравнения (3), так как уравнение
(3) имеет корень * = 2, а как раз при лг = 2 обе части уравнения (1)
не имеют смысла.
Для того чтобы еще более уяснить это обстоятельство, посмотрим, почему
нельзя рассуждать следующим образом: «Если х — 2 = 0, то х — f -1 = 3; если
х — f 1 = 3, то х + 1 + х у = 3 4 — X ‘_Z’2 ПеРвая половина рассуждения
верна безусловно — мы добавляем к обеим частям число 3. Вторая половина
рассуждения была бы верна, если бы х был не равен 2. Но у нас как раз
х = 2, и рассуждение теряет силу.
Таким образом, мы наметили путь, следуя которому, мы можем
д
преобразовать любое дробное уравнение к уравнению вида = 0,
где A vi В — многочлены, причем преобразованное уравнение является
следствием исходного.
Умножив обе части последнего уравнения на В, мы получим новое
уравнение А — 0, которое, согласно теореме 3 § 15, является следствием
предыдущего, а потому и следствием исходного уравнения. д Корень уравне-
ния А = 0 может не быть корнем уравнения только тогда,
когда при его подстановке знаменатель В обращается в нуль.
Итак, любое дробное уравнение может быть преобразовано в целое
уравнение, являющееся следствием исходного. Для этого достаточно
перенести все слагаемые правой части в левую, затем посредством
известных тождественных преобразований представить левую
часть в виде частного от деления двух многочленов и, наконец, умно-
290 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
жить обе части уравнения на знаменатель полученной дроби. (Это все
равно, что приравнять числитель к нулю.) Если преобразованное уравнение
удается решить, то среди его корней находятся все корни
исходного уравнения, но могут быть и лишние корни. Их следует
отбросить после испытания посредством подстановки в исходное
уравнение.
Указанный путь не является единственным при решении дробных
уравнений. Часто можно достигнуть цели быстрее, умножив обе части
уравнения на многочлен, являющийся общшм знаменателем всех дробей,
находящихся в левой и правой частях исходного уравнения.
Полученное таким образом целое уравнение является следствием
исходного дробного, но не обязательно равносильно ему. Рассмотрим
несколько примеров.
Пример. Решить уравнение
I I 4х __ * f 2
jc + 2 ‘ х* — 4 — ^ л; — 2 *
Решение .
Способ 1. Перенесем все слагаемые правой части в левую. Получим
1 ‘ 4х _ 1 ——— 2 о.
х + 2 1 лг2 — 4 х — 2
Выполняя сложение дробей, мы пока не будем приводить целую
часть (т. е. — 1) к общему знаменателю для упрощения выкладки.
Получим
3
Сократив дробь на х — 2, что дает — 1 -f- X— “_рг Z — 0, и выпол-
XJL 1
нив сложение с целой частью, получим i p p откуда, приравняв
числитель к нулю, получим — jc* —j— 1 = 0; x = l .
Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что
х — 1 есть действительно его решение. Таким образом, в данном
случае выполненные преобразования не внесли лишних корней.
Указанную выкладку целесообразно сопровождать следующим
рассуждением. Если
1 . 4х , , 2
то
откуда
Следовательно,
10*
4х
х а — 4 — 1 ——V— 9 •
1 , Зх — 6 — х + \
~ 1 ‘ л;* —4 ’ х + 2
х -j— 1 = 0; х — 1,
291 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
Итак, если * удовлетворяет уравнению, то * = 1 . Действительно
х = 1 удовлетворяет уравнению, ибо
1 + 2 “ 1 — 4 ~ 1 —2 *
Способ 2. Общим знаменателем всех слагаемых уравнения является
* 2— 4. Умножив на него обе части уравнения, получим
* — 2 + 4* = * 2 — 4 + 2 * + 4
и после очевидных преобразований
— 3* + 2 = 0,
откуда
*1 = 2; * 2= 1 .
Первый корень преобразованного уравнения не является корнем
исходного, ибо обе его части теряют смысл при х — 2. Второй корень
удовлетворяет уравнению.
Приведенную выкладку можно обосновать так. Если
_ ! 1 = 1 ^ ? >
л: + 2 ‘ х* — 4 1 ^ х — 2 »
то
* — 2 *4“ 4* = * 2 — 4 + 2* -f- 4,
т. е. * 2 — 3 * + 2 = 0, откуда *j = 2, * 2= 1.
Итак, если * удовлетворяет данному уравнению, то х — 2 или
* = 1. Но в действительности из этих двух значений корнем данного
уравнения является только * = 1 , ибо при * = 2 обе части данного
уравнения не имеют смысла.
Ответ. * = 1 .
В приведенном примере сокращение дроби, оказавшееся возможным
при решении по первому способу, избавило нас в данном случае
от «лишнего» корня * = 2. Однако бывает и так, что, хотя уравнение
решается первым способом и сокращение дроби осуществляется
до конца, «лишние» корни все же возникают. Это видно из следующего
примера.
Пример. Решить уравнение
1 . 5* — 2 __t . 2
х + 2 “+■ х* — 4 — * л: — 2 •
Решение. Если = 1 + •
ТО
х ~ + 2
292 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
и после преобразований — 1 = 0 , откуда получаем, сокращая
4
на х — 2, что х _^2—— 1 = 0 и, следовательно, 4— лг — 2 = 0; х = 2.
Итак, если jc удовлетворяет данному уравнению, то х — 2. Но в
действительности лг=2 не удовлетворяет данному уравнению, ибо
обе части его теряют смысл при х = 2 . Следовательно, данное уравнение
решений не имеет.
Ответ. Уравнение не имеет решений.
293 Дробные алгебраические уравнения. В библиотеке прошел день учителя.
Околоadmin
Comments