ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ , ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных отделений вузов.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

С. М. НИКОЛЬСКИЙ

Математический анализ в этой книге изучается на геометрической
и физической основе. Непрерывный график и движение сами
по себе служат основой для фундаментальных выводов. Излагаются
дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения.
Последняя глава посвящена действительному числу, изучаемому
на базе представления его в виде десятичной (вообще бесконечной)
дроби.
Первое издание вышло в 1981 г. Для второго издания книга
переработана и дополнена.
Для школьников и преподавателей средних школ. Может оказаться
полезной учащимся техникумов и для самообразования.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Из предисловия к первому изданию ……………….6-8 (на этой странице)

Глава 1. Функция………………………………………………………………………………. 9

§ 1.1. Чем занимается математический анализ? 
§ 1.2. Обозначение множества чисел
§ 1.3. Примеры функций ………………………………………………………… 9-11

§ 1.4. Определение понятия функции
§ 1.5. Задание функции формулой ………………………11-14

§ 1.6. Задание функции графиком ……………………………………….. 14
§ 1.7. Задание функции таблицей……………………………………….. 16
§ 1.8. Сложная функция ………………………………………………………… 17
§ 1.9. Свойства некоторых функций …………………………………… 18

Глава 2. Тригонометрические функции …………………………………….. 24

§ 2.1. Числовая окружность ……………………………………………………. 24
§ 2.2. Функция cos а и sin а ………………………………………. 28
§ 2.3. Графики функций sin а и cos a ………………………………. 32
§ 2.4. Функции tg a и ctg a ……………………………………………………. 35
§ 2.5. Ось тангенсов и ось котангенсов ………………………….. 37
§ 2.6. Графики функций tg а и ctg a ……………………………….. 40
§ 2.7. Арксинус …………………………………………………………………………. . 43
§ 2.8. Арккосинус …………………………………………………………………………. 46
§ 2.9. Арктангенс и арккотангенс ……………………………………….. 49
§ 2.10. Обратная функция ………………………………………………………… 52
§ 2.11. Функции arcsine, arocos х, arctgx ………………………. 54
§ 2.12. Примеры решений тригонометрических уравнений … 57
§ 2.13. Список основных формул тригонометрии . . . . 60

Глава 3. Предел …………………………………………………………………………………… 63

§ 3.1. Предел последовательности …………………. 63
§ 3.2. Бесконечно большая величина ……………………………….. 66
§ 3.3. Действия с пределами ……………………………………………….. 66
§ 3.4. Предел sin x / x …………………………………………………… 70
§ 3.5. Предел функции …………………………………………………………….. 72
§ 3.6. Действия с пределами функций . . . . . . . . 74
§ 3.7. Непрерывность функции ……………………………………………. 77
§ 3.8. Элементарные функции ……………………………………………….. 81
§ 3.9. Непрерывность сложной функции …………………………… 81
§3. 10. Разрывные функции …………………………………………………….. 82

Глава 4. Показательная, логарифмическая и общая степенная функции …. 86

§ 4.1. Свойства функции ах  …………………………………………….. 86
§ 4.2. ах для целых и рациональных х …………………… 87
§ 4 .3 . ах для действительных х  …………………. 89
§ 4.4. Неравенство Бернулли …………………………………………. 90
§ 4.5. Число е ……………………………………………………………………………… 92
§ 4.6 . Логарифмическая функция . ……………………………….. 96
§ 4.7. Логарифм с основанием 1 0 ……………… ………………………. 102
§ 4.8. Степенная функция……………………………………………….. 104

Глава 5. Производная …………………………. ………………………………………. 107

§ 5.1. Мгновенная скорость . …………………………………………… 107
§ 5.2. Касательная к кривой и сила тока . . . . . . . 109
§ 5.3. Производная ………………… 111
§ 5 . 4 , Непрерывность функции, имеющей производную 112
§ 5.5. Формулы дифференцирования………………….. …. . , . 114
§ 5.6. Производная от показательной функции . . , , . 116
§ 5.7. Производная от логарифмической функции . . . 117
§ 5.8. Производная от произведения и частного , . . . 117
§ 5 . 9 . Производная от tg х и ctg х ………………….. 118
§ 5.10. Задачи . ……………………………………………….. 118
§ 5.11. Производная сложной функции 119
§ 5.12. Производная обратной функции , , , ………………….. 121
Г л а в а 6. Применения производной…………………. 124
§ 6.1. Максимум и минимум функции 124
§ 6.2. Возрастание и убывание функции………………………….. 130
§ 6.3. Выпуклость и вогнутость…………………………………………… 131
§ 6.4. Черчение схематических графиков . …………………. 134
§ 6.5. Теоремы о среднем…………………………………………………. 137
Г л а в а 7. Интегральное исчисление . . . ……………………………….. 141
§ 7.1. Пер во о б р а зн а я ………………………………………………………….. 141
§ 7.2. Неопределенный интеграл ………………….. 142
§ 7.3. Замена переменной…………………………………………………….. 144
§ 7.4. Проблема интегрирования элементарных функций 146
§ 7.5. Площадь криволинейной фигуры. Определенный
и н т е г р а л …………………… . . . . ……………………………………….. 147
§ 7.6. Работа. Масса с т ержня …………………………………………. 149
§ 7.7. Теорема Ньютона— Лейбница ……………………………. 150
§ 7.8. Доказательство формулы Ньютона — Лейбница , 153
§ 7.9. Свойства определенных интегралов . . . . . . . 154
§ 7.10. Площадь круга …………………………… 156
§ 7.11. Длина окружности ‘ ………………………………. 157
§ 7.12. Объем тела вращения …………………………………………….. 158
§ 7.13. Объем ш а р а ………………………………………………………………….. 159
§ 7.14. Площадь поверхности ш а р а ………………………………… 159
§ 7.15. Работа электрического з а р я д а ……………………….. 160
§ 7.16. Давление жидкости на с т е н к у …………………………… . 161
§ 7.17. Центр т яже с ти …………………………………………………………………. 162
Г л а в а 8. Дифференциальные ура внения ……………………………… 165
§ 8.1. Охлаждение т е л а …………………………………………………….. 165
§ 8.2. Нахождение закона движения тела по его скорости
166
§ 8.3. Равномерно ускоренное движение 167
§ 8.4. Колебание п р ужи ны………………………….. …. …………………… 168

Г л а в а 9. Формула Тейлора………………………. 172
§ 9.1. Понятие формулы Тейлора . . . . . . . . . . . 172
§ 9.2. П р и м е р ы ……………………………………………………………………. 174
Г л а в а 10. Действительное ч и с л о » …………………………………………… 176
§ 10.1. Десятичные разложения рациональных чисел . , 176
§ 10.2. Десятичные разложения иррациональных чисел , 179
§ 10.3. Сравнение действительных ч и с е л ………………………….. 181
§ 10.4. Десятичное приближение действительного числа 182
§ 10.5. Числовая п р ям а я …………………………………………………………… 183
§ 10.6. Принцип вложенных о тре зко в …………………………………… 187
§ 10.7. Арифметические действия. Оценки приближений 187
§ 10.8. Свойства действительных ч и с е л ………………………………. 190
Г л а в а 11. Формула бинома Ньютона. Комбинаторика . . . 192
§ 11.1. Число С п ……………………………………………………………………………… 192
§ 11.2. Формула бинома Ньютона. Метод индукции . . . 193
§ 11.3. Перестановки…………………………………………………………………….. 195
§ 11.4. Размещения………………………………………………………………………… 196
§ 11.5. Сочетания……………………………………… 197
§ 11.6. Связь с биномиальными коэффициентами. Другой
вывод формулы бинома Ньютона ……………………………. 199
§ 11.7. Вероятность события……………………………………………………. 199
Г л а в а 12. Комплексные ч и с л а …………………………………………………….. 203
§ 12.1. Понятие комплексного ч и с л а …………………………………… 203
§ 12.2 . Уравнение х»- — с ………………………………………….. 205
§ 12.3. Применение комплексных чисел в квадратных
уравнениях…………………..’ ………………………………………………… 207
§ 12.4. Геометрическое изображение комплексных чисел 209
§ 12.5. Показательная форма комплексного числа . . . 210
Г л а в а 13. Приближенные вычисл ения……………………………………. 214
§ 13.1 . Понятие приближения……………………………………….. 214
§ 13.2. Абсолютная погрешность…………………………………………….. 215
§ 13.3. Относительная погрешность ……………………………………. 216
§ 13.4. Вычисление произведения и частного…………………… 217
§ 13.5. Обоснование правила ……………………………….. 219
Дополнительные упражнения 221

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Моя книга «Элементы математического анализа», изданная
в 1981 г. массовым тиражом, была быстро распродана,
и теперь видно, что ее целесообразно выпустить
вторым изданием. Для второго издания я решил ее переработать
на основании опыта, который приобрел в
последние годы, занимаясь школьными учебниками.
Изменения направлены на то, чтобы книгу свободно
мог читать всякий, кто знает математику в пределах
8 классов десятилетней школы Я проследил за тем, чтобы
в новом издании был охвачен программный материал
9 и 10 классов. Этот материал исчерпывают первые восемь
глав настоящей книги.

Появилась необходимость ввести главу «Тригонометрические
функции».

Тригонометрию хотя и изучают в
8 классе, но без введения тригонометрических функций,
тем более без обратных тригонометрических функций.
Во втором издании читатель также обнаружит некоторые
методические изменения в изложении материала о
показательной функции. В школе показательную функцию
проходят в 10 классе. Определение функции а* для
любых действительных х— трудный вопрос. Автор много
размышлял над чем, как лучше преподнести его школьнику,
чтобы было и элементарно, и научно.

Изложение понятий собственно анализа — предела,
производной, интеграла— осталось прежним, как в первом
издании. Понятие предела дается на интуитивной
основе, выясняется на примерах, без формальных определений.
Без доказательства формулируются основные
свойства пределов. Такие факты как существование максимума
у непрерывной на отрезке функции или существование
и единственность точки пересечения непрерывного
монотонного графика с прямой, параллельной оси
абсцисс, обнаруживаются из рассмотрения графика. Но
и при этом можно изложить вопрос совсем элементарно
или провести формальные рассуждения. Последние даны петитом.

Добавлена глава о дифференциальных уравнениях

Остальные пять глав (9— 13) могут быть использованы
для дополнительного изучения в школах с физико-
математическим уклоном. Комплексные числа, бином
Ньютона, комбинаторика, приближенные вычисления
— все это совершенно необходимые темы. Неплохо подвес*
ти также итог своих знаний о действительных числах.
Кстати, надо сказать, что о них школьник получает до
вольно-таки разрозненные сведения.
Автор придает значение главе «Формула Тейлора»,
дающей важную точку зрения на элементарные функции.
В настоящем издании вывод этой формулы приведен в
более доходчивой форме, чем в первом издании. Я благодарю
академика А. Д. Александрова, обратившего мое
внимание на то, что в первом издании изложение этого
вопроса трудное.

Эта книга будет полезна не только школьникам, но
и учащимся ПТУ, техникумов и студентам вузов с очень
краткой программой по математике, учителям и вообще
для общего образования.
Считаю своим долгом выразить благодарность А. В. Шев-
кину, который помог мне написать главу «Тригонометрические
функции» и перераспределить главу «Функции».
С. М. Никольский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Я имею опыт преподавания математического анализа
на элементарной основе. В тридцатых годах я преподавал
в технических вузах Днепропетровска, где слушателями
были в основном рабфаковцы. Сейчас я делюсь
своим опытом.

Эту книгу порекомендовали мне написать академик
И. М. Виноградов, академик К. К. Марджанишвили и
член-корреспондент АН СССР Е. Ф. Мищенко. Они ознакомились
с написанной рукописью и дали весьма ценные
советы. Рукопись была прочитана подробно проф.
С. И. Адяном, проф. А. А. Карацубой и официальными
рецензентами издательства «Наука» проф. А. В. Ефимовым
и проф. М. К. Потаповым. Они дали много ценных
советов. Полезные замечания по рукописи я получил
также от профессора С. А. Теляковского и Главного
управления школ Министерства просвещения СССР, где
она изучалась. Наконец, главу «Математический анализ»
с дополнением к ней подробно изучил академик Л. С. Пон-
трягин. Ряд его замечаний я учел, в частности, дополнив
рукопись (петитом) формальными доказательствами некоторых
положений, объясненных из наглядных соображений.
Всем указанным лицам и Главному управлению школ
Министерства просвещения СССР я выражаю глубокую
благодарность.

Наконец, я отмечаю, что Комиссия по реформе математического
образования в средней школе при Бюро
отделения математики Академии наук СССР под председательством
академика И. М. Виноградова рекомендовала
Министерству просвещения СССР допустить данную книгу
как учебное пособие для учащихся средних школ.
Сейчас, когда книга находится в корректуре, стало
известно, что она рекомендована в качестве пособия для
учителей. Все же я не изменяю начало своего предисловия,
потому что убежден, что эта книга вполне доступна
школьникам.
1980 С. М. Никольский

S. NIKOLSKII
ELEMENTS OF MATHEMATICAL ANALYSIS

This popular little book «Elements of mathematical analysis»,
which was issued by publishing House «Nauka» (Moscow 1981) with
mass drawing, is sold off. There are its translations on english (1983)
and spanish (1934) by Editorial «Mir» (Moscow).
Last time author with his colleagues was intersted to the problems
of mathematical school teaching. There are their attempt textbooks
in arithmetic and algebra, which now are passing experiments
in the soviet schools. «Nauka» has issued «Arithmetics» (1988) by
S. Nikolskii, M. Potapov, N. Reshetnikov, A. Shevkin.

Naturally author has made changes in the second edition of «Elements
of mathematical analysis», using these experiences. Now every
person with education for 8 classes of soviet school can read the book
free. The first 8 chapters of the book contain object of algebra for
9— 10 classes of soviet school.
To get this aim was introduced the chapter «Trigonometrical functions
». The chapter «Exponential functions» was also changed. The
definition of this function for any real numbers is a difficult question
in school teaching. The author though much before to stop on the
defined way of the teaching of this notion.
Style of the account of the mathematical analysis themselves is
preserved as in the first edition. Notion of the limits is given on
examples, without formal definitions. Generally, the properties of
limits and graphics are considered on the intuitive ground. Graphics
and motion themselves are serving as the ground for fundamental
conclusions. Very shortly are given differential and integral calculus
and their application.

The concluding chapters (9— 12) are devoted to the elementary
account of some additional facts which also are important for the full
middle mathematical education — complex numbers, Newton’s binom,
combinatoric, Taylor’s formula.
In the USSR this book finds oneself tisefull for adult pupils and
of the general and technical schools teachers and even for the students
of the faculties with short mathematical programme.
We hope that this book will be tisefull accordingly in the foreign
countries.

Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского энергетического института
(заведующий кафедрой член-корреспондент АН СССР С И , Полежаев)-,
доктор физико-математических наук профессор Г . Н. Яковлев

Школьная математика
Математика в школе

#математика #анализ #математический_анализ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА