Кольца эндоморфизмов

Для периодических сепарабельных групп можно полностью ответить на вопрос, когда данное кольцо реализуется
в качестве кольца эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Сначала выделим ряд свойств таких колец. Общий
случай сразу сводится к примарным группам.
Пусть A — сепарабельная p-группа. Обозначим через Ео левый идеал кольца End A, порожденный его примитивными
идемпотентами. Так как примитивные идемпотенты соответствуют неразложимым прямым слагаемым, эти
идемпотенты в рассматриваемом случае имеют конечный порядок.
1) Правый аннулятор кольца Ео в End A равен нулю.
2) Если п, v — примитивные идемпотенты кольца End A, то ^End A)v — циклическая группа порядка pk для
некоторого к.
3) Если п, v — примитивные идемпотенты кольца End A и о(п) ^ o(v), то левый аннулятор кольца (End A)v
содержится в левом аннуляторе кольца (End Л)п и (End A)^End A)v = (End A)v[o(^].
4) Если Ео = K0L, где K, L — правые идеалы и K = 0, то tL = 0 для некоторого примитивного идемпотента
т € Ео.
5) End A служит пополнением для Ео в топологии, в которой в качестве подбазы окрестностей нуля в Ео
взяты левые аннуляторы примитивных идемпотентов из Ео.
Теорема 26.3. Ассоциативное кольцо с единицей изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторой сепарабельной
p-группы тогда и только тогда, когда оно обладает свойствами 1) — 5).
В случае групп без кручения на кольца их эндоморфизмов налагается меньше ограничений. Так, справедлива
Теорема 26.4 (Корнер). 1) Всякое счетное кольцо с единицей, аддитивная группа которого является редуцированной
группой без кручения, изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторой счетной редуцированной группы без
кручения.
2) Всякое кольцо с единицей, аддитивная группа которого является редуцированной группой без кручения конечного
ранга п, изоморфно кольцу эндоморфизмов редуцированной группы без кручения ранга не больше 2n.
В дополнение к теоремам 26.3, 26.4 отметим, что в настоящее время задача выяснения, когда абстрактное кольцо
является кольцом эндоморфизмов, полностью решена для различных весьма обширных классов колец.
Можно накладывать те или иные кольцевые условия на кольца эндоморфизмов и пытаться узнать, как они отражаются
на свойствах соответствующих групп.
Теорема 26.5. Кольцо эндоморфизмов группы A является артиновым слева (или справа) тогда и только тогда,
когда A = B 0 D, где B — конечная группа, а D — делимая группа без кручения конечного ранга.
Теорема 26.6. Пусть A — периодическая группа. Кольцо End A нетерово слева (или справа) тогда и только
тогда, когда A — прямая сумма конечного числа коциклических групп.
Напомним, что элемент а кольца R называется регулярным, если ава = а для некоторого в € R.
Теорема 26.7. 1) Если A — периодическая группа, то кольцо End A регулярно в точности тогда, когда A —
элементарная группа.
2) Если A — нередуцированная группа, то для регулярности кольца End A необходимо и достаточно, чтобы A
была прямой суммой делимой группы без кручения и элементарной группы.
3) Если A — смешанная редуцированная группа и End A — регулярное кольцо, то t(A) — элементарная группа,
A/t(A) — делимая группа и 0 Ap С A С ^ Ap (при естественном отождествлении).
р р
4) Пусть A — такая смешанная группа, что t(A) — элементарная группа, A/t(A) — делимая группа конечного
ранга и справедливы включения из 3). Тогда End A/ Hom (A, t(A)) — конечномерная Q-алгебра. Регулярность
кольца End A эквивалентна тому, что End A/ Hom(A,t(A)) — полупростая алгебра и A = C 0 B, где C —
смешанная самомалая группа, B — элементарная группа и ненулевые p-компоненты групп C и B относятся к
различным p (самомалые группы есть в 21.31).
Другие направления теории колец эндоморфизмов — это рассмотрение группы как модуля над своим кольцом
эндоморфизмов (26.27 — 26.30) и описание радикалов (26.37 — 26.39).
Задачи
26.1. Пусть A — группа и R = End A. Проверьте справедливость равенств C = End# A и End A = Endc A, где
C — центр кольца End A.
26.2. Докажите, что:

144 Кольца эндоморфизмов. 

End(Q 0 Z) =( Q Q j и End(Zm 0 Z) = (^ Z
0” Zm j (см. 13.82 и 17.14).
26.3. Кольца Fp x Fp, Q x Q и Zp x Zp не изоморфны кольцу эндоморфизмов никакой абелевой группы. То же
справедливо и для колец матриц ( Z Q \ ( Fp 0 \ F 0 Q и F Z , где F — поле из p элементов.
26.4. Пусть C — центр кольца End A, а € C. Тогда:
а) подгруппы Im а и Ker а вполне инвариантны;
б) если A = 0Ai, то аAi С Ai.
В частности, прямые слагаемые группы с коммутативным кольцом эндоморфизмов вполне инвариантны.
26.5. Покажите, что кольцо эндоморфизмов свободной группы конечного ранга п изоморфно кольцу целочисленных
матриц порядка п. Рассмотрите кольца эндоморфизмов делимой группы без кручения, делимой p-группы и др.
26.6. 1) Групповой изоморфизм ф: A — C индуцирует кольцевой изоморфизм ф*: End A — End C, где ф*: а —
фаф-1, а € End A.
2) Если A = B 0 C и £: A — B — соответствующая проекция, то можно произвести отождествление End B =
£(End A)£.
3) Если группы A = B 0 C и A’ имеют изоморфные кольца эндоморфизмов и ф: End A — End A’ — изоморфизм,
то A’ = B’ 0 C’, причем ф индуцирует изоморфизмы End B — End B’ и End C — End C.
4) Существует взаимно однозначное соответствие между конечными прямыми разложениями A = Aj 0 . . . 0 An
группы A и разложениями кольца End A в конечные прямые суммы левых идеалов End A = Lj 0 … 0 Ln если
Ai = £iA, где £j, … , £n — попарно ортогональные идемпотенты, то Li = (End A)£i.
5) Группу Hom (A, C), где C С A, можно рассматривать как правый идеал кольца End A, если при этом подгруппа
C вполне инвариантна в A, то получается идеал кольца End A.
26.7. 1) Пусть A = B 0 C = B’ 0 C’ и £: A — B, £’: A — B’ — соответствующие проекции. Покажите, что B = B’
в том и только в том случае, когда существуют такие элементы а, в € End A, что ав = £ и ва = £.
2) Для проекций f, e группы A эквивалентны следующие условия:
а) существует такой u € Aut A, что f = u-1eu;
6) eA ^ fA и (1 — e)A = (1 — f)A.
26.8. Всякий автоморфизм кольца эндоморфизмов периодической группы является внутренним.
26.9. Приведите примеры неизоморфных групп без кручения ранга 1 с изоморфными кольцами эндоморфизмов.
26.10. Две группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов одновременно являются либо смешанными, либо нет.
26.11. Вычислите центры колец эндоморфизмов групп Q 0 Z, Zm 0 Z и Zp» 0 Zpk.
26.12. Орбита Ox = {пх \ п € End A} элемента x € A является вполне инвариантной подгруппой, изоморфной
факторгруппе End A/Ux, где Ux = {п \ пх = 0}.
26.13. Пусть A является Z-адическим пополнением группы A со свойством A1 = 0. Тогда для любого п € End A
существует ровно один rj € End(A) такой, что п \ A = п.
26.14. Пусть A = 0Ai. Тогда End A содержит подкольцо, изоморфное П End Ai, а если все Ai — вполне инвариантные
подгруппы группы A, то End A = f^End Ai.
26.15. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы является полным топологическим кольцом в конечной топологии.
26.16. Конечную топологию кольца End A редуцированной периодической группы A можно определить, взяв в качестве
подбазы окрестностей нуля совокупность левых аннуляторов элементов п£, где п € End A и £ — примитивный
идемпотент.
Если группа сепарабельна, то достаточно взять лишь левые аннуляторы примитивных идемпотентов.
26.17. Если A — сепарабельная p-группа, то в конечной топологии Ео плотно в End A и End A — пополнение
кольца Ео.
26.18. Кольцо End A группы A компактно в конечной топологии тогда и только тогда, когда A — периодическая
группа, p-компоненты которой — конечные прямые суммы циклических групп.
26.19. Для периодической группы A ее Z-адическая топология тоньше топологии конечных индексов.
26.20. 1) Конечная топология кольца эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга дискретна.
2) Если A — бесконечная группа и \ End A\ > \A\, то End A не дискретно в конечной топологии.
3) Если A — сепарабельная p-группа с базисной подгруппой B, то в конечной топологии End A — замкнутое
подкольцо в End B.

145 Кольца эндоморфизмов. 

26.21. Кольцо эндоморфизмов периодической группы A коммутативно тогда и только тогда, когда A — подгруппа
группы Q/Z.
Кольцо R называется инвариантным справа (слева), если для любых a, b Е R найдется с Е R со свойством ab = bc
(ab = са).
26.22. Если кольцо EndA инвариантно справа (слева), то все образы (ядра) эндоморфизмов группы A вполне
инвариантны.
26.23. Для периодической группы A любая инвариантность (левая или правая) кольца End A эквивалентна его коммутативности;
коммутативность End A эквивалентна также тому, что все эндоморфные образы группы A вполне
инвариантны в A.
26.24. Пусть A — сепарабельная группа без кручения. Следующие свойства эквивалентны:
а) кольцо End A коммутативно;
б) End A — инвариантное справа (слева) кольцо;
в) все образы (ядра) эндоморфизмов группы A вполне инвариантны;
г) A = 0Ai, где Ai — группы ранга 1 с попарно несравнимыми типами.
26.25. Если кольцо End A коммутативно, то р-компоненты Ap группы A являются коциклическими и A/t(A) делится
на те простые числа р, для которых Ap = 0.
26.26. 1) Если кольцо End A локально и рA = A, то gA = A для всякого простого числа д = р.
2) Группа A с локальным кольцом End A является либо коциклической, либо неразложимой группой без кручения.
Действие всякого эндоморфизма а Е End A на группе A: а • а = а(а), а Е A, задает на ней структуру левого модуля
над кольцом End A. Под эндосвойством группы понимается ее свойство как модуля над кольцом эндоморфизмов
этой группы.
26.27. 1) Группа A эндоартинова тогда и только тогда, когда A = B 0 D, где B — ограниченная группа и D —
делимая группа с конечным числом ненулевых р-компонент.
2) Группа A эндонетерова тогда и только тогда, когда A = B0C, где B — ограниченная группа и C — эндонетерова
группа без кручения.
26.28. Артинов (нетеров) модуль является эндоартиновой (эндонетеровой) группой.
26.29. Пусть A — эндоартинова (эндонетерова) группа, G — вполне инвариантная подгруппа в A. Тогда группы
G и A/G также эндоартиновы (эндонетеровы).
26.30. Пусть A — группа без кручения конечного ранга. Тогда Q End A-модуль A 0 Q артинов и нетеров.
26.31. Рассмотрев кольца Zp 0 Zp, Q 0 Q и Fp 0 Fp, покажите, что в теореме 26.4 каждое из трех условий на аддитивную
группу кольца: 1) счетность, 2) редуцированность, 3) свойство быть группой без кручения, существенно.
26.32. Рассмотрев кольцо Z 0 Z и кольцо целых гауссовых чисел Z[i], покажите, что существуют группы без
кручения конечного ранга с изоморфными группами эндоморфизмов, кольца эндоморфизмов которых не изоморфны.
Пусть R — кольцо. Отображение, ставящее в соответствие элементу r Е R эндоморфизм х — гх, х Е R, аддитивной
группы R+, является кольцевым гомоморфизмом R — EndR+. Это так называемое левое регулярное представление
кольца R. Кольцо R называется E-кольцом, если его левое регулярное представление есть изоморфизм.
26.33. 1) Следующие утверждения эквивалентны:
а) R есть E-кольцо;
б) если а Е EndR+ и а(1) = 0, то а = 0;
в) кольцо EndR+ коммутативно.
2) E-кольцами являются следующие кольца: Zn, подкольца поля Q, кольца Zp и их чистые подкольца.
26.34. Кольцо эндоморфизмов группы A является телом тогда и только тогда, когда группа A изоморфна Q или
Zp при некотором р (т.е. группа A является аддитивной группой некоторого простого поля).
Тело служит кольцом эндоморфизмов абелевой группы в точности тогда, когда оно — простое поле.
26.35. Кольцо эндоморфизмов End A является простым кольцом (т.е. не имеющим нетривиальных идеалов) тогда
и только тогда, когда A — конечная прямая сумма групп, изоморфных группе Q, или конечная прямая сумма
циклических групп фиксированного простого порядка р.
Простое кольцо служит кольцом эндоморфизмов абелевой группы тогда и только тогда, когда оно — полное кольцо
матриц конечного порядка над простым полем.
26.36. Кольца эндоморфизмов следующих групп являются чистыми:

146 Кольца эндоморфизмов. 

а) делимые группы;
б) периодически полные (следовательно, ограниченные, конечные) р-группы (чистые кольца определены перед
Элемент х кольца R с единицей называется квазирегулярным, если 1 + х — обратимый элемент; в этом случае
элемент х’ = (1 + х)-1 — 1 называется квазиобратным к элементу х.
26.37. Пусть A — р-группа, 9 Е End A. Покажите, что ^^=1(—1)прп9п — элемент, квазиобратный к рв. Выведите
отсюда, что радикал Джекобсона кольца End A равен нулю тогда и только тогда, когда A — элементарная группа.
Введем идеал Пирса H(A) редуцированной р-группы A, полагая H(A) = {а Е End A | если х Е A^ и h^) < то, то
h^) < h(аx)} (здесь h(…) обозначает высоту соответствующего элемента).
26.38. 1) Для любой редуцированной р-группы A справедливо включение J (End A) С H (A).
2) Если A — конечная р-группа, более общо, периодически полная р-группа, то J(End A) = H(A).
Для редуцированной группы без кручения A положим H(A) = {а Е End A | если х Е A и hp^) < то, то hp^) <
hp(аx) для каждого р с рA = A}.
26.39. Пусть A — редуцированная группа без кручения конечного ранга. Тогда ниль-идеалы кольца End A ниль-
потентны и H(A) С J(End A).
26.40. 1) Кольцо эндоморфизмов чистой подгруппы конечного ранга группы Zp локально.
2) Пусть A и C — чистые подкольца конечного ранга в кольце Zp (групповая терминология, примененная к этим
кольцам, относится к их аддитивным группам), п: Zp — Zp — канонический эпиморфизм,
Тогда кольцо R локально.

147 Кольца эндоморфизмов.