Факторкольца и гомоморфизмы

71 Общие свойства колец.

называют главным левым (соответственно, правым и двусторонним) идеалом, порожденным a. Идеал, порожденный
подмножеством A, обозначают (A). Если A состоит из одного элемента a, то пишут (a).
Коммутативная область, все идеалы которой главные, называется коммутативной областью главных идеалов.
Кольцо, в котором каждый правый (левый) идеал главный, называется кольцом главных правых (левых) идеалов.
Кольцо, в котором каждый правый и левый идеал главный, называется кольцом главных идеалов.
Кольцо R, не имеющее двусторонних идеалов, отличных от 0 и R, называется простым.
Всякий идеал I кольца R определяет факторкольцо R/I. На множестве идеалов кольца R определены операции:
сумма I + J = {a + b \ a € I ,b € J}, пересечение I П J и произведение IJ = { ^ a^i \ ai € I ,bi € J,n € N}. Всегда
IJ с I n J. i=l
Отображение f кольца R в кольцо S (кольца без единицы) называется кольцевым гомоморфизмом, если f (a + b) =
f (a) + f (b) и f (ab) = f (a)f (b) для всех a,b € R. Для колец с единицей добавляется условие f (1r) = 1s. Сюръектив-
ный гомоморфизм называют иногда наложением, а инъективный — мономорфизмом или вложением. Гомоморфизм
кольца в себя называется его эндоморфизмом.
Пусть R — декартово произведение колец Ri,… ,Rm. Определим в R операции + и • по правилам:
(ri, … , rm) + (si, . . . , sm) = (ri + si,…,rm + s„) ,
(ri, … ,rm) • (si,.. . ,sm) = (risi,. . . ,rmsm) .
Тогда R становится кольцом, называемым внешней прямой суммой колец и обозначаемым через R = Ri 0 … 0 Rm
или R = 0 Ri. Пишут также R = Ri х … х Rm = Ц Ri и говорят, что R — прямое произведение колец Ri,… , Rm.
i=l i=i
Если Ii,… , Im — идеалы кольца R со свойствами R = Ii + … + Im и Ij П (^ Ik) =0, то в этом случае говорят,
k=j
что R является (внутренней) прямой суммой своих идеалов Ii,… , Im, и пишут R = Ii 0 … 0 Im. Различие
между внутренними и внешними прямыми суммами колец — чисто теоретико-множественное, так как если R =
Ri 0 … 0 Rm, то Ij = {(0,… ,xj,… , 0) \ xj € Rj} = Rj, Ij — идеал в R и R = Ii 0 … 0 Im. И наоборот, если
R = Ii 0 … 0 Im, то, записав 1 = ei + … + em (ej € Ij), получаем, что Ij — кольцо с единицей ej (j = 1,… ,m) и
R изоморфно внешней прямой сумме колец Ii,… , Im. Действительно, любой элемент r € R единственным образом
представляется в виде суммы r = xi + .. .+xm, где xj € Ij. Указанный изоморфизм сопоставляет элементу r элемент
(xi,… , xm). Понятие прямого произведения колец можно распространить на произвольное бесконечное множество
колец Ri, i € I. Если R = П R i, то каждый элемент r € R представим в виде r = (… ,ri,…), ri € Ri; для каждого
iei
i € I определено наложение ni: R Ri, ni(r) = ri; ni называется канонической проекцией кольца R на прямой
множитель Ri. Если R = R i и f: Ri Si — кольцевые гомоморфизмы, то f (… ,xi,… ) = (…, f (xi),…) —
iei
кольцевой гомоморфизм f: R П Si, f называется прямым произведением гомоморфизмов fi, i € I, и обозначается
iei
f = (…,fi,…).
Если S — непустое подмножество в кольце R, то его централизатор Cr(S) = {x € R \ xy = yx, y € S} является
подкольцом в R; через rR (S) = {x € R \ Sx = 0} и £r (S) = {x € R \ xS = 0} обозначается, соответственно, правый
и левый аннуляторы подмножества S в кольце R (индексы иногда опускаются). Правый (соответственно, левый)
идеал I называется аннуляторным, если I = r(S) (соответственно, I = £(S)) для некоторого подмножества S кольца
R.
Элемент a кольца R называется регулярным справа (слева) в R, если r(a) = 0 (^(a) = 0).
Алгеброй (линейной) K над полем P называют кольцо K, являющееся векторным пространством над полем P, при
этом умножение на скаляры (элементы из поля P) и умножение в кольце переставимы: a (a • b) = (aa) • b = a • (ab),
a € P, a,b € K. Алгебра называется конечномерной, если она конечномерна как векторное пространство.
Если K — конечномерная алгебра над полем P с базисом ui,… , Un, то умножение слева на каждый элемент t € K
является линейным оператором векторного P-пространства K. Определитель \Т\ матрицы этого оператора, как
известно, не зависит от выбора базиса, и называется нормой элемента t: N (t) = \Т\. След S(T) матрицы, тоже не
зависящий от выбора базиса, называется следом S(t) элемента t. Итак, S(t) = S(T) = ^ ta.
i=l
Теорема 12.1 (основная теорема о гомоморфизмах). Каждый идеал I кольца K определяет структуру кольца
на фактормножестве K/I, причем K/I является гомоморфным образом кольца K с ядром I. Обратно, каждый
гомоморфный образ f (K) кольца K изоморфен факторкольцу K/ Ker f.
Теорема 12.2 (первая теорема об изоморфизме). Пусть K — кольцо, L — подкольцо, I — идеал в K. Тогда
L +1 = {x + y \ x € L, y € I} — подкольцо в K, содержащее I в качестве идеала, L ПI — идеал в L. Отображение
Ф: x + I ^ x + (L П I), x € L,

72 Общие свойства колец.

б) Ii = {b}, I2 = {b,c}, I3 = {b,d}, I4 = {a,b,c,d};
в) Ii = {d}, I2 = {a,b,c,d}.
12.17. Любой идеал прямой суммы Ri 0 R2 колец Ri и R2 имеет вид Ii 012, где Ii — идеал кольца Ri, I2 — идеал
кольца R2.
12.18. Если в коммутативном кольце R пересечение всех ненулевых идеалов отлично от нуля, то множество делителей
нуля в нем образует идеал.
12.19. Приведите пример кольца с такими идеалами A и B, что AB = A П B.
12.20. Для идеалов I и J кольца установите равенства r (I + J) = r (I U J) = r (I) П r (J).
12.21. Если X — произвольное подмножество кольца, то r (t (r (X))) = r (X). В частности, правый идеал I является
аннуляторным тогда и только тогда, когда I = r(t(I)).
12.22. Пусть M — множество тех идеалов A кольца R, для которых существует правый идеал B такой, что
A = r (B). Тогда:
а) 0, R € M;
б) если Ai, A2 € M, то Ai П A2 € M;
в) для любых Ai, A2 € M в частично упорядоченном относительно включения множестве M существует точная
верхняя грань.
12.23. Приведите пример некоммутативного кольца, в котором есть коммутативный идеал, факторкольцо по которому
коммутативно.
12.24. Покажите, построив соответствующий пример, что класс a , I факторкольца может быть:
а) центральным элементом; б) идемпотентом;
в) нильпотентным элементом; г) делителем нуля;
д) обратимым элементом, даже если элемент a € R не обладает соответствующим свойством.
12.25. Докажите, что в коммутативном кольце R множество всех нильпотентных элементов образует идеал W,
а факторкольцо R/W не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Приведите пример некоммутативного
кольца, в котором нильпотентные элементы не образуют ни левый, ни правый идеал.
12.26. 1) Норма N (a + bi) комплексного числа a + bi равна a2 + b2, а след S (a + bi) равен 2a.
2) Норма N (A) матрицы A = ^ °J d в алгебре матриц M(2, P) над полем P равна квадрату определителя
(ad — bc)2.
3) Норма произведения равна произведению норм, а след суммы равен сумме следов.
Вычислите норму элемента a + b\/d в расширении Q(\/d).
12.27. Если I, J, L — такие идеалы кольца, что J с I, то верно равенство I П (J , L) = J , (I П L) (модулярное
тождество).
12.28. Приведите пример кольца и в нем идеалов I, J, L таких, что I П (J , L) = (I П J) , (I П L).
12.29. Ненулевые элементы a, b коммутативной области порождают один и тот же идеал в точности тогда, когда
существует обратимый элемент и со свойством b = au.
12.30. Идеал коммутативного кольца R, порожденный подмножеством M с R, состоит из всех конечных сумм
вида:
а) (M) = { riai | ri € R, ai € M}, если R имеет единицу;
б) (M) = {^2 riai + ^2 njaj \ ri € R; ai,aj € M; nj € Z}, если R не имеет единицы.
12.31. 1) Левый аннулятор любого подмножества является в кольце левым идеалом.
2) Левый аннулятор левого идеала является двусторонним идеалом.
3) Левый аннулятор правого идеала кольца, порожденного идемпотентом, также порождается (как левый идеал)
некоторым идемпотентом.
12.32. Если I = Ii 0 I2 — прямая сумма идеалов, то произведение любого элемента из Ii на любой элемент из I2
равно нулю.
12.33. Пусть R = Ii 0 I2 — разложение кольца R в прямую сумму ненулевых идеалов. Тогда если 1 = ei + e2, где
ei € Ii, e2 € I2, то ei,e2 будут единицами, соответственно, в Ii,I2, но не в R.
12.34. Пусть A, B — идеалы кольца R. Тогда отображение
R/ (A П B) ^ R/A 0 R/B, x + (A П B) ^ (x + A,x + B),

73 Общие свойства колец.

где x E R, есть гомоморфизм колец. Найдите условие, при котором этот гомоморфизм будет изоморфизмом.
12.35. Конечная сумма левых идеалов, порожденных попарно ортогональными идемпотентами, также порождается
идемпотентом.
12.36. Факторкольца R[x]/(x2 + 1) и R[x]/(x2 + x + 1) изоморфны полю C.
12.37. Если f: P R — гомоморфизм тела P (в частности, поля) в кольцо R, то f является мономорфизмом.
12.38. 1) Факторкольцо Z[i]/(2) содержит делители нуля.
2) Факторкольцо Z[i]/(3) является полем из 9 элементов.
12.39. Пусть R — коммутативное кольцо и N — некоторое множество его элементов, не являющихся делителями
нуля.
1) Подполугруппа S мультипликативной полугруппы кольца R, порожденная N, не содержит ни нуля, ни делителей
нуля.
2) Отношение ~ на R х S, при котором (a, b) ~ (c, d) в точности тогда, когда ad = bc, является отношением
эквивалентности; класс, содержащий (a, b), обозначается через и называется дробью элементов a и b.
a c ac a c ad + bc
3) Операции — • — = — и — +—- = ——— превращают множество дробей в коммутативное кольцо Q, в котором
b d bd sb d bd
обратимы все дроби вида ? где s,t E S.
4) Отображение R Э a ^ у является вложением R в Q.
В частности, если R — область, а S = R \ {0}, то в Q обратимы все ненулевые элементы из R; Q в этом случае
называется кольцом (полем) частных кольца R.
Говорят, что кольцо R удовлетворяет правому условию Оре (или, что R — правое кольцо Оре), если для любых
a, b E R, где b — неделитель нуля, существуют элементы c, d E R, где c — неделитель нуля, со свойством ac = bd.
Говорят, что кольцо R обладает правым кольцом частных Q, если существует такое вложение h: R Q, что
h(x) обратим в Q для всех неделителей нуля x E R и что Q = {h(a)h(b)-i \ a E R,b — неделитель нуля в R}. С
точностью до отождествления R С Q и Q = {ab-i \ a E R, b — неделитель нуля в R}.
5) Кольцо R обладает правым кольцом частных в точности тогда, когда R — правое кольцо Оре.
12.40. Любое коммутативное кольцо, заключенное между коммутативной областью главных идеалов R и ее кольцом
частных Q, само является областью главных идеалов.
12.41. Пусть P[x, y] — кольцо многочленов от двух переменных x и y над полем P, I — множество всех многочленов
без свободных членов. Докажите, что:
а) I является идеалом, но не главным;
6) P[x,y]/I = P.
12.42. Если P — поле и f E P[x] имеет степень n, то размерность P-алгебры P[x]/(f) равна n.
12.43. При каком a E F7 факторкольцо Fj[x]/(x2 + a) является полем?
12.44. Если f (x) — неприводимый многочлен степени n из кольца Zp[x], то факторкольцо Zp[x]/ (f (x)) является
полем из pn элементов.
12.45. Лежат ли:
а) x5 — 3×2 + x — 7 и x4 + 5;
б) (x2 + 1) x и (x2 + 1) (x + 1);
в) ax + b и cx + d при a = c
в одном смежном классе кольца R[x] по идеалу (x2 + 1)?
12.46. Делителями нуля в кольце Q[x]/(x2 — 4) будут смежные классы с представителями ax — 2a и ax + 2a при
0 = a E Q.
12.47. Есть ли в кольце Q[x]/(x2 — 4):
а) идемпотенты, отличные от 0 и 1;
б) ненулевые нильпотентные элементы?
12.48. Идеал I = (x) + (2) кольца Z[x] состоит из многочленов с четными свободными членами и Z[x]/I = Z2.
12.49. Установите изоморфизмы:
а) Q[x]/(x2 — 1) = Q 0 Q; б) Q[x]/(x2 — 3) = Q(V§).
12.50. Множество End R всех эндоморфизмов кольца R является полугруппой относительно композиции отображений.
Она называется полугруппой эндоморфизмов кольца R

74 Общие свойства колец.

12.51. Множество Aut R всех автоморфизмов кольца R образует группу относительно композиции отображений.
Она называется группой автоморфизмов кольца R.
12.52. Пусть v — фиксированный обратимый элемент кольца R. Покажите, что отображение x ^ v-lxv (x € R)
есть автоморфизм кольца R, называемый внутренним. Множество всех внутренних автоморфизмов является нормальной
подгруппой в группе Aut R.
12.53. Кольца Zn, Z, Qp, Zp не имеют неединичных автоморфизмов.
12.54. Все автоморфизмы кольца M(п, R) являются внутренними.
12.55. Приведите пример кольца R, в котором:
а) есть автоморфизмы, не являющиеся внутренними;
б) группа автоморфизмов Aut R двухэлементна;
в) Aut R = Sn;
г) Aut R изоморфна мультипликативной группе поля вещественных чисел.
12.56. Не существует ненулевых гомоморфизмов:
а) из Zn в Z; б) из Q в Z;
в) из R в Q; г) из M(п, R) в R (п > 1).
12.57. Построить вложение:
а) из R в C; б) из Qp в Zp;
в) из R в M(п, R); г) из M(2, R) в M(2п, R);
д) из R в R 0 R, где R — произвольное кольцо.
12.58. Покажите, что кольца R и S не изоморфны:
а) R = Z, S = Z 0 Z; б) R = Z, S = Z[x];
в) R = Z, S = M(2, Z); г) R = Z4, S = Z2 0 Z2;
д) R = M(2, R), S = M(3, R).
12.59. Найдите все подкольца поля Q, содержащие 1.
12.60. Кольцо P({1, 2,3}) изоморфно кольцу Z2 0 Z2 0 Z2.
12.61. 1) Приведите пример таких колец R, S, Т, что R 0 S = R 0 Т и S = Т.
2) Приведите пример такого кольца R, что R = R 0 R.
12.62. Пусть п — натуральное число с каноническим разложением п = р01 … р0г . Используя теорему 12.4, докажите,
что:
а) Zn = Zp-i 0 … 0 Zp-r (прямая сумма колец);
б) U(Zn) = U(Zp-i) х … х U(Zp-r) (прямое произведение групп).
12.63. Используя п. б) предыдущей задачи, докажите справедливость:
а) формулы Эйлера ф(п) = п (1——————^ … (1————— ^ ;
V Pi) \ PrJ
б) теоремы Эйлера a^(n) = 1 (mod п) для любого целого числа a, взаимно простого с п.
12.64. Из 12.62 следует, что для полного изучения групп U (Zn) достаточно разобрать случай п = Pm. Покажите,
что если р — нечетное простое число, то U (Zp-) — циклическая группа. Легко видеть, что U (Z21) при l = 1, 2
является циклической группой порядка 1 и 2 соответственно. При l ^ 3 эта группа является прямым произведением
циклической группы порядка 2 и циклической группы порядка 2—2.
12.65. Пусть R — кольцо, G, H — группы, и существует вложение групп G H. Постройте вложение групповых
колец RG RH.
12.66. Покажите, что в ассоциативной алгебре A с 1 размерности п над полем P каждый элемент a € A является
корнем некоторого унитарного многочлена степени ^ п (такой многочлен наименьшей степени называется минимальным
многочленом jXa(x) элемента a). Элемент a обратим в точности тогда, когда ^a (0) = 0, это эквивалентно
тому, что a не является делителем нуля. Если в A нет делителей нуля, то A — алгебра с делением. Если при этом
поле P алгебраически замкнуто, то A = P.
12.67. Конечномерная алгебра с 1 и без делителей нуля над полем C изоморфна C.
12.68. Перечислите с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над R (над C):
а) с единицей;
б) не обязательно с единицей.

75 Общие свойства колец.

12.69. Алгеброй вещественных кватернионов называется четырехмерная ассоциативная алгебра H над R с базисными
элементами 1, i, j, k и с таблицей умножения
1) H — некоммутативная алгебра с 1 и с центром Z(H) = R.
2) H является алгеброй с делением, т.е. телом.
3) Отображение u = a+bi+cj+dk ^ U = a—bi — cj — dk является антиавтоморфизмом (переставляющим множители)
алгебры H.
12.70. Докажите, что нельзя построить ассоциативную алгебру с делением A над R размерности 3, содержащую
C в качестве подалгебры.
Теорема Фробениуса утверждает, что над R существуют лишь три конечномерные ассоциативные алгебры с делением:
R, C и H. Для произвольных (не обязательно ассоциативных) алгебр над R доказано, что существуют лишь
алгебры с размерностью 1, 2, 4 и 8.
12.71. Всякая альтернативная конечномерная алгебра без делителей нуля над полем является алгеброй с делением.
12.72. Если а = a +(bi + cj + dk), то a называется вещественной частью кватерниона а и обозначается a = Re а,
а bi + cj + dk = Im а называется его мнимой частью. Через N (а) = a2 + b2 + c2 + d2 обозначают норму кватерниона
а. Покажите, что:
а) всякий кватернион а удовлетворяет квадратному уравнению
с вещественными коэффициентами;
б) если g(x) = x2 + 2tx + s — квадратный многочлен с отрицательным дискриминантом, то любой кватернион в,
для которого Re в = —t, N (в) = s, является корнем многочлена g(x). Таких кватернионов, обращающих в нуль
многочлен g(x), континуум;
в) решите в H уравнение x2 + 1=0.
12.73. 1) Является ли алгебра кватернионов H алгеброй над полем C, если умножение на скаляр а E C понимать
как левое умножение на а E H?
2) Отображение
изоморфна алгебре кватернионов.
12.75. Алгебра Кэли. Это вещественная алгебра Ca, состоящая из элементов вида {а + ee \ а, в E H}, с операциями
Проверьте, что Ca является восьмимерной вещественной алгеброй с базисом {1,i, j,k, e,ie, je,ke} и с таблицей

76 Общие свойства колец.

Элементы вида a = a + 0e составляют в алгебре Кэли подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов. Алгебра
Кэли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.
Если £ = a+^e € Ca, то элемент £ = a — (3e называется сопряженным к £. N(£) = ££ — норма элемента £. Проверьте
следующие свойства сопряжения:
= Z£, = £ + Z ££ = ££ = aa + вв = N (a) + N (в),
££ ^ 0 и ££ = 0 ^ £ = 0.
Элемент 1 = 1+0e является единицей алгебры Ca. Проверьте, что алгебра Кэли является (неассоциативным) телом.
Докажите, что алгебра Кэли альтернативна.
Доказано, что алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной, но не ассоциативной
алгеброй с делением. Объединение этой теоремы с теоремой Фробениуса называется обобщенной теоремой
Фробениуса.
Пусть A — алгебра с 1 над R. Пусть на A задана операция сопряжения a ^ a, обладающая свойствами a = a,
ab = ba. Если снабдить пространство A 0 A = {(a, b) \ a,b € A} билинейной операцией умножения
(a, b)(u, v) = (au — vb, bU + va),
то получится алгебра, называемая удвоением алгебры A.
12.76. C — удвоение алгебры R, H — удвоение алгебры C, алгебра Кэли Ca — удвоение алгебры H.
12.77. Пусть K — коммутативная область. Покажите, что число корней многочлена f (x) € K[x], рассматриваемых
вместе с их кратностями, не превышает степени f (x). Пример многочлена x3 € Zg[x], имеющего 4 корня
в Zs, показывает, что условие «K — область» существенно. Покажите, что условие коммутативности K также
существенно.
Кольцо комплексно-косых многочленов C[x,_ ] состоит из многочленов от x с комплексными коэффициентами, для
которых выполняется равенство xa = ax, где a — комплексное число, сопряженное к a.
12.78. 1) Центром кольца C[x,_ ] является кольцо R[x2], т.е. кольцо вещественных многочленов от x2.
2) Кольцо вычетов кольца C[x,_ ] по модулю x2 + 1, т.е. факторкольцо C[x,_ ]/(x2 + 1), изоморфно телу H.

77 Общие свойства колец.