§ 7. Формула Муавра

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Формула Муавра

Те орема . При любом натуральном п
(cos 9 + 1 sin 9 )» = cos n<f -+ 1 sin «9 .
Это утверждение- называется формулой Муавра.
До к а з а т е л ь с т в о . Доказательство проводится методом математической
индукции. При я = 1 утверждение очевидно. Пусть
(cos 9 1 sin 9 )* = cos k f 4 — 1 sic £9 »
где k — некоторое натуральное число. Тогда
(cos 9 -+ i sin 9 ) * +1 = (cos 9 4 “ 1 sin 9 )*(cos 9 4 ~ 1 sin 9 ) =
sss(cos A9 -f-1 sin 6 9 ) (cos 9 + i sin 9 ) = cos (A + 1; 9 +1 sin (k 1 ) 9 .

434 Формула Муавра. Кабинет Математики.

§ 8 . Извлечение квадратного корня из отрицательного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа а — это значит
найти такое число, квадрат которого равен а.
В § 2 мы условились, что У — а3 = ±: ai (1), и затем использовали это
соглашение для установления определения комплексного числа. Покажем,
что равенство (1) вытекает из принятого определения комплексного числа
и определения квадратного корня. Допустим, что V — а9 существует и
равен х + у / . Тогда, по определению квадратного корня,
( i + j O i e — A
По правилу умножения,
лг* + 2x y l— y* « — А
По правилу равенства,
х 9— = — д2, \
2ху=* 0. )
Второе уравнение системы имеет следующие решения: у = 0, х — любое
число; лг = 0, у — любое число.
При у = 0 первое уравнение принимает вид х* = — а9 и не имеет решений,
если а ф 0 (числа х к а действительные).
При лг = 0 первое уравнение принимает вид у* = а* и имеет два решения
у = а и у = — а.
Итак, если корень квадратный из —д8 существует, то он может быть
равен только ai и — al. Так как (at)9 =а — а8 и (— ai)9 = — а 8, то У — а9
имеет два значения + ai.

§ 9; Извлечение корня я-й степени из комплексного числа

Извлечь корень я-й степени из комплексного числа а — значит найти такое
комплексное число р, что рп = а.
Т е о р е м а . Корень п-й степени из любого комплексного числа существует
и имеет п значений. Если подкоренное выражение равно нулю, эти
значения сливаются в одно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть требуется извлечь корень я-й степени из
а == ^? ( COS 9 sin <р).
Предположим, что корень я-й степени из а существует и равен
р == р ( cos 6 -)- / sin 0),
тогда, по определению,
рЛ (С О 8 Я 0 + / Sin Я0) = /?(СО5<р-}-/ sin<p).
Если комплексные числа равны, то модули их равны, аргументы или равны
или отличаются на целое кратное 2п. Поэтому
рл == пв sss (р -f- 2k%9
где А —некоюрое целое число. Отсюда имеем 4

435 Формула Муавра. Кабинет Математики.

Из сказанного вытекает, что если корень я-й степени из « существует,
то он может быть вычислен по формуле
+ (.1
где /г — некоторое целое число.
Для доказательства того, что корень я-й степени из а существует, возведем
в степень я. Имеем
sss R [ cos (9 + 2kit) + / sin (9 + 2kn)] = a
при любом целом k. Теперь мы можем сделать следующий вывод.
Корень я-й степени из а существует, может быть вычислен по формуле
(1), в которой букве k может быть придано любое’целое значение.
Если R равно нулю (т. е. а равно нулю), то все значения р* совпадают
и равны нулю. Если же R ф 0, то, в силу периодичности тригонометрических
функций, значения корня из а, вычисленные по формуле (1) при разных
значениях будут повторяться.
Для того чтобы доказать, что корень я-й степени из неравного нулю
числа имеет всего я различных значений, покажем, что
во-первых, при £ = 0, 1, 2, . . . , я — 1 получаются я различных значений
для р*:
Ро» Pi, « • • р Ря—Х»
во-вторых, при любом целом k получается опять какое-нибудь из значений
ро, P i , . . . , P rt_ l .
1. Предположим, что Р^ = Р/, где — 1, т. е.
yH ( cost ± ^ L + i s in l+ ^ L .^ «/7?(Co s i ± ^ + s t o l i d ) .
Комплексные числа равны, следовательно, аргументы их или равны или отличаются
на целое кратное 2п. Поэтому
H — 2 to = i + 2 sf _
Я я ‘ * *
где £ — некоторое целое число, отсюда имеем .
4 3 6 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ г л . IX
Это равенство невозможно, так как £ — s положительно и меньше чем я.
2. Пусть теперь k — любое целое число. Разделим А на я с остатком *).
Частное обозначим через д, а остаток через г. Имеем
k=znq + rt 0г ^ г<я .
*) Разделить k на целое положительное я с остатком — это значит найти
такие целые числа q и г, чтобы Л = я# + г и 0 ^ г < я . В курсах арифметики
доказывается, что любое целое число k можно разделить с остатком и
притом единственным способом на целое положительное я. Например, пусть
надо разделить 31 на 7 с остатком. Частное будет равно 4, а остаток равен 3;
3 1 = 7 — 4 + 3 .
Пусть надо разделить — 31 на 7 с остатком. Частное будет равно —5, а
остаток равен 4:
— 3 1 = 7 » (—5) + 4.

436 Формула Муавра. Кабинет Математики.

Теперь покажем, что Р* = РГ:
гс , , 9 4* 2h ^ т
= У л [ с о в 1 ± Ш ± £ ) 2 . + | sin
= ^ J ^ c o s ^ 2 ^ t p ^ + 2?itj + i +
= a/ R ( cos l ± 2 * + i sin t ± 2 Z j = &.
Таким образом, значение % совпадает со значением рг, где
О ^ г ^ л— 1,
т. е. с одним из значений р0, ?и •••> Рд-ь
Пр име р . Извлечь корень третьей степени из числа — /.
Р еш е н и е . Запишем — i в тригонометрической форме
, Зтс , . . Зтс
— * = c o s — j + i s i n •
Предположим, что корень третьей степени из — i существует и равен
р ( cos 0 + / sin б). Тогда
Р« (сое зе 4 — 1 sin 3 6 )= cos^ + i sin у ,
откуда
р*— 1> 3 e = i | + 2 b ,
т. е.
р = 1; 0 — i — g — .
Теперь имеем
Ц + Z k n ^ + 2 *я
| / — / = c o s Tj [- / s in g— ,
где k достаточно положить равным 0, 1, 2.
Придавая числу k указанные значения, получим, что корень третьей
степени из числа — i имеет следующие значения:
V 3 i л У З i
2 2 ; 2 2 *

437 Формула Муавра. Кабинет Математики.

Околоadmin