§ 6. Натуральная степень бинома (формула Ньютона)

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 8
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Натуральная степень бинома (формула Ньютона)

Теорема. При любом натуральном п
(х 4 — a f = х п4 — Скх»-‘а +.С&х*-,а* 4 -. .. + (1)
Равенство (1) называется формулой Ньютона.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим в формуле (2) § 5
CL\ = #2 = •• • = CLn = CU
Тогда на основании свойства 3 § 4 имеем формулу (1).
Пример .
(х 4~ a f = х 9 Qx*a -j- С| ха* -\-а9 = лг3 4~ Зх*а 4~ Зха* + А
Пример.
(х + a f = дг5+ ф * а + Q A 2 + Q * V + С&а1 + а5 =
= дг54 “ 5х*а -f- ЮдА** — f — 10 лг2а3 4″ 5дга4 4 — А

§ 7. Свойства разложения по формуле Ньютона

1. Члены разложения расположены по убывающим степеням
буквы х и по возрастающим степеням буквы а. Показатели буквы х
последовательно уменьшаются на единицу, начиная от п (в первом
члене) и до нуля (в последнем члене). Показатели буквы а последовательно
увеличиваются на единицу, начиная от нуля (в первом
члене) и до п (в последнем).
Сумма показателей при х и а постоянна и равна в каждом члене
п — показателю степени бинома.
_ 2. Число членов разложения равно n-j- 1, т. е. на единицу больше
показателя степени бинома.

419 Натуральная степень бинома (формула Ньютона). Кабинет Математики.

3. Коэффициенты разложения суть
Cm С%,. • •, С*
т. е. коэффициент первого члена равен единице, а коэффициенты
членов, начиная со второго, равны числу сочетаний из п по k , где k—
число предшествующих членов.
4. Все члены разложения, начиная со второго, можно получить
по формуле
Тш = С*хГ*а*, (I)
придавая k последовательно значения 1, 2, . . . ,п.
Равенство (1) называется формулой общего члена разложения.
Например, при k = 1 получаем второй член разложения
Тъ = С1пх п’ 1а.
5. Коэффициенты крайних членов и членов, равноудаленных от
крайних, равны между собой. Действительно, коэффициенты первого
и последнего членов равны единице. Коэффициент члена тш , 6.
(А —{— 1 )-fo члена, считая с начала, равен С*. Коэффициент члена Г„_Л+1,
т. е. (A-f- 1)-го члена, считая с конца, равен С»~*. В § 3 показано,
что С*П = СП?~*.
Это свойство можно объяснить и так. Рассмотрим
(х + а)п = х п+ С 1пх п^ а + + . . . + ая, (2)
(а + х )п = a ^ C k a ^ x + С1аГ*х* + (3)
Коэффициенты членов разложения (2) равны коэффициентам соответствующих
членов разложения (3), т. е. А-й член разложения (2)
имеет тот же коэффициент, что и А-й член разложения (З)^Но разложение
(3) получается из разложения (2), если все члены разложения
(2) написать в обратном порядке, и следовательно, £-й член
разложения (3), считая с начала, есть £-й член разложения (2), счи-
v тая с конца.
6. Если показатель степени бинома есть нечетное число, разложение
содержит четное число членов. Коэффициенты второй половины
членов в этом случае те же, что и коэффициенты первой половины
членов, но расположены в обратном порядке.
Если показатель степени бинома есть число четное, разложение
содержит нечетное число членов. В этом случае в середине разложения
будет коэффициент, который не повторяется, а с обеих сторон
от него коэффициенты равны, но расположены в обратном порядке.
7. Вычисление коэффициентов разложения можно вести по следующему
правилу. Для того чтобы из коэффициента £-го члена разложения
получить коэффициент следующего (Л 1)-го члена, достаточно
коэффициент А-го члена умножить на показатель степени при

420 Натуральная степень бинома (формула Ньютона). Кабинет Математики.

х в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому.
Действительно, коэффициент А-го члена есть С * «1, а коэффициент
(А 4 — 1)-го члена есть С*:
_ _ п ( п— \ ) . . . ( п —А+1)
1-2. . .А ’
Г* — 1)…(я —А+2)
~ 1 *2.. .(А— 1) 1
§ 7] СВОЙСТВА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА 421
отсюда
С* л—А+1
а—г
т. е.
n k n k—\п А + 1
Число л — А4*1 есть показатель степени при х в А-м члене, А —
число членов, предшествующих определяемому (А 4 — 1)-му члену, —
Приме р . Определить все члены разложения
(х 4 — a f — лг64 “6лг 4 — 15#4аа 4» • • •
Решен ие . Чтобы найти коэффициент четвертого члена, достаточно
15 (коэффициент третьего члена) умножить на 4 (показатель
степени при х в третьем члене) и разделить на 3 (число членов,
предшествующих определяемому четвертому).
Имеем
Значит*
(х +■ a f = х* 4 — 6 .Л 4* * 5*4д2 4 — 20лЛг3 4* 15*2а4 4* блгд5 4 — я6-
Коэффициенты последних трех членов равны коэффициентам первых
трех, но расположены в обратном порядке.
8. Сумма всех коэффициентов разложения (х -\-а )п равна 2Л.
Положим в формуле Ньютона х = а = 1. Получим
(i + i r = i + a + a + . . . + c r 1+ b
2л= 1 + а + а + . . . 4 — с ^ + 1 .
9. Разложение (х — а)п получается из разложения (х 4 — а)п посредством
умножения на — 1 членов, находящихся на четных местах.
Имеем
(х — a f = [* + (— a ) f =
= + С’пх п-‘ ( — а) + С*пх™ ( — a f + a f ,

421 Натуральная степень бинома (формула Ньютона). Кабинет Математики.

4 2 2 СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА [ГЛ. V III
е’ (х — в)» = — С Ы ‘а + СЦх**а* 1)»а».
10. Сумма коэффициентов членов разложения (лг-j-a)”, находящихся
на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, находящихся
на нечетных местах. Рассмотрим разложение
( 1 _ 1 ) » = 1—c i + « —« + « —« + . . . + ( — лу1-
Так как левая часть этого равенства равна нулю, то
1 + с*п + с*п + .:. = с1 + с*п + с ьп + . . .
Упражнения
1. Найти коэффициент при *Лдля О ^ к ^ п в выражении 1 + ( ! + *) +
+ 0 + * ) 8 + . . . + ( 1+*)*.

422 Натуральная степень бинома (формула Ньютона). Кабинет Математики.

Околоadmin