ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Приколе селфи.
На рис. 79 изображены
три положении вектора АВ
относительно оси проекции L
Убедимся в том, что во всех
трех случаях теорема справедлива.
1) прг АВ = АВХ.
Из прямоугольного тре-
уг ольника «име ем ‘
АВХ = АВ cos а
или
прг АВ = АВ cos а. Рис. 79.
2) .Вектор АВ образует тупой угол с осью I.
Из прямоугольного треугольника АВХВ следует
\AByl ==■ АВ cos (я — а),

181 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

3) Вектор» AB образует с осью l угол а: — к ^ a < Ч р
Тогда /
IABX | = AB cos (a я ) 4 5c os ( j t — a) = — AB cos a,
| ABi | = — AB cos a. .
Но так как проекция’ AB, отрицательна, то ее абсолютная
величина равна {— АВг). Следовательно,
— АВХ = — АВ cos a,
или’
ЛВ, = 4# co s a. ‘

§ 95. Косинус в синус суммы двух углов

Проведем две взаимно1 перпендикулярные оси проекций:
Ох и Оу. Построим два угла: xON = а и угод £mNOP = р
(рис, SO). На стороне ОР построим единичный вектор ОМ;
из точки М опустим перпендикуляр ММг на ON. Из точки Мг
опустим перпендикуяяр на ось Ох.
v Вектор бЩчаамыкает векторную
“ “ ,»Г ЧЧМ> ■>
~ ломаную OAMtM-
По определению косинуса
. имеем
cos (/ а -fI — р) = -пурх_, О^М- ==,
IQM.U .
^ аР*.ОЙ- — Пр^. ОМ. (1)
Но ——
Рис. 80. ОМ О А — АМ] —|— М^М,
а потому на основании теоремы о сумме проекций можно
написать ,
пр-ОМ = прлОА-{-прх АМ1-^-прх М1М .’ (2)
К каждому слагаемому правой части равенс1®а (2) можно
применить теорему о проекциях из § 94, что дает
пр^ ОМ — ОА «>3 0 *4 — А ЖрсовЭО* 4 “ cos (90° -J- a),

182 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

так как вектор MtM образует с осью Ох угол < 9 0 °+ а), или
прх ОМ = ОА — A^jWsino. (3)
Из прямоугольного треугольника МгОМ следует
= ОМ sin р = sin р. (4)
OMi = ОМ cos Р = cos р. (5)
Из прямоугольного треугольника AOMlt применяя (5),
находим
ОА = OMj cos а = cos в • cos p. (6)
Заменяя в равенстве (3) отрезки О А и МгМ их значениями
из равенств (4£ получим
пр^ ОМ = cos a cos р— sin а sin р,
а так как прх СШ = cos (a -f-p), то окончательно
(I) cos (a Н- §) — cos a cos p — sin a sin p.
Косинус суммьС д ву х у гл о в равен произведению косинусов
этих двух углов минус произведение синусов
тех ж е углов.
Пример.
cos 75° =s= eos ( 4 5 ° + 30°) = cos45° • eos 30°— sfeHS55 • sin 3 0 °=
V~2 V~3 V? 1 _ Vb~Y~$
= —j —• jfc» ’ I f — *’4 »
Для получения- формулы синуса суммы двух углов спроектируем
ту же векторную ломаную ОАМхМ, а также ее
замыкающий вектор ОМ на ось Оу.
Щу. QJ& яру 0^ + пру AAfl — f — пру М$А,
Так как .
пруСШ = sin (a -f- р),
то
sin ( a — f -0) = ОА cos 9 0 ° -{-АМХ co s0°-{- MtM cps о»
или
s b (a -HP) = AMi cos a.

183  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Но используя снова равенства (4) И (5), будем иметь
АМХ = ОМг sin а = sin а cos р, МХМ = sin р.
Тогда равенство (7) окончательно примет вид
(II) sin (а + р) = sin tt cos Р+ cos а sin р.
Синус суммы двух углов равен произведению синуса
перваго угла на косинус второго плюс произведение
косинуса первого угла на синус второго.
Приме р . Дано: sina = -3j- , cosp = -1g-, где а — угол
во второй четверти, р — острый угол. Найти sin(a + P).
Находим:
cos a = — ■ |/» 1 fg- — — ^1Г~ ’
Sin р = 1 — =
Поэтому
sin (a + р) = sin a <?os p + cos a sin p =
3 1 V I У~8 _ з — 2У»й
— 4 ‘ 3 4 3 12
Примечание . Формулы (I) и (II) справедливы при
любых значениях углов a и-p, так как они основываются
на двух теоремах о проекциях вектора и векторной суммы
на ось, а эти теоремы имеют место при любом расположении
векторов относительно оси.
Разность двух углов можно представить в виде суммы
a — p==a + (— Р).
а потому „ — .ч,
cos (a — Р) = cos [a -f- (— P)] — cos a cos (— P) —* sin a sin (— p),
(III) cos (a — p) = cos a cos p + s in a sin p.
Косинус разности двух углов равен произведению
косинусов этих углов плюс произведение синусов тех ж е
углов.
Пример.
cos 15е = cos (45° — 30°) = cos 45° cos 3 0 ° + sin 45° sin 30°,
cos 15 — 2 — ~2~—г 2 Y — 4 ~ u.yoo.

184 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Подобным образом можно получить формулу для синуса
разности двух углов:
sin (а — р )’= sin [a;Tf — (•— Р)] = sin а cos (— р) -f- cos а sin (— р),
(IV) sin (a — Р) = sin a cos р — cos a sin р.
Синус разности двух углов* равен произведению синуса
первого у гл ам и косинус второго минус произведение
косинуса первого угла на синус второго.
Пример.
sin 15° = sin (60° — 45°) == sin 60° • Cos 45° — sin 45° • cos 60° =
УН У 2 V~2 1 У 6 — У 2 _.ЛОКОО
“ v~r2~ : » 2” — ~2~ ‘T —— 4———« 0 * 2 5 8 8 .

§ 96. Скалярное произведение двух векторов,
выраженное через их проекции

Векторы на плоскости чаще всего задают с помощью их
проекций на две взаимно перпендикулярные оси, а потому
большой практический интерес
представляет выражение
их скалярного произведения
только через проекции.
Пусть а — О А и Ь =
— 0 3 — два векторз^обра-
зующиег между собой угол <р
(рис. 81). Проекции первого
вектора на оси Ох и Оу
обозначим через а х, а у,
а второго через Ъх, Ьу.
Обозначим угол хОА Через
q>(, угол хОВ через qjg. Тогда угол ф между векторами
О А и ОВ равен «p = q>2 — ф(. По определению скалярного
произведения имеем:
об = ab соЗф — ab cos (ф2 — ф,) =
. = ab cos ф2 cos ф1 a6 sin ф2 sin фх =
== a cos ф^ cos ф2 — 1- a sin ф^ sin ф2 — axbx -f- a yby,

185 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

так как
Таким образом,
a cos ф! = а /, b cos ф2 = Ъх\
a sin ф4 = a cos = а /,
б sin ф2 = Ь cos ( j — фо^ = by.
a b = a xbx -\- a.yby.
У
6 ————- — л
■ ■ / А
3 ф^з 7 ‘
I / *
: / f J n
» Т ……….I е :
-3 0 1 е 7 х
Рис. 82. ‘ ‘ —
Скалярное произведете, двух векторов равно сумме
произведений их одноименных проекций.
При мер I . Вектор & имеет проекции: а х — 5; а у = — 2;
вектор Ь: Ьх — 3; Ьу — 2. Вычислить их скалярное произведение.
Находим
a b = 5 • 3 + ( —2) • 2 =
= 15 — 4 = 11.
;|Ш|Щ^;Мер,2. В прямоугольной
системе коорди-
нат векторы а = АВ и
6 = CD заданы коордн-,
натами начала и конца:
С (4:
1); D ( ? ;’© , Вычислить
скалярное произведение
_> вектора а на вектор 6.
Построим векторы АВ и CD по координатам их концов
(рис. 82).
Находим проекции каждого вектора на оси Ох и О у:,
1) npj. АВ — ах — х в — хА — 1 — (—§) = 4; а
пр, А8= е у= у в — Уд*~?$ — 2 = 1;
2) пржCD — bx T=xD — x c — 7~~4=z3;
npyCD = by = yD — Ус = 6— 1 = 5 .
Зная проекции каждого вектора на оси Ох и Оу, вычисляем
их скалярное произведение:
а& = 4 — 3 + 1 . 5 5 = 1 7 .
Примечани е . Если о+6, то угол между «ими Ф = тг*
cos = 0, а потому скалярное произведение a b = ab ops у =
= й &. 0 = 0.

186 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Обратно: если скалярное произведение обращается » нуль,
то векторы перпендикулярны, так как H3^a£cos<p = 0 следует,
что ф ~ .
Пример J . Показать что векторы а и Ь перпендикулярны
друг к другу, если а х = 8; а у — 4 Ьх = 5-,Ьу = — 10.
Образуем скалярыое дроизведеаие:
а& = 8 • 5 — J — 4 • (— 10)=s=0.

§ 97. Тангенс суммы и разности двух углов

Рассмотрим тангенс любого угла как частное от деления
синуса этого угда наего косинус;
t r (a I fit — stH — *tn a -СО? f t+ cos а • sin р _
s v Т Р/ cos (a + p) ’ cos a * cos p — sin ut- sin p
sin a-cos p . cob a • sin p
cosa-cosP cosa-cosp tgg-f-tgP
*= cos a — cos p sin a ■ sin p 1—tga-tgp ’
csta -co s# ~ case* cos p
(V) *g (« + ft) = r — i f f ^
Тангенс суммы двух углов равен дроби, числитель
кото рой есть сумма тангенсов, а знаменатель — р а з ность
между единицей и произведением тангенсов этих
углов.
Пример . Дано: Щсь— у , i g £ = y , а в р — острые
углы. Найти :>-~г .
tg(a-hP) = — i — r 1 F ==1-
l ~ Y 3
Следовательно. a,-f-A“ 45°.
Заменяя в формуле (V)yro,lJ р на (— р), получим
«ч & к 4 -Ъ ^ Р ) 1 tg e—tgp
g (a Р)— 1 — tga^tg(—ft/ ~ 1+ tga-tgp 1
(VI) * « . — » — ■
Тангенс — разности двух углов равен дроби, числитель
которой есть разность тангенсов, а знаменат
е л ь — с у м м а единицы в произведения тангенсов ш а х
двух углов

187  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пример.
tg 15° = tg (45° & 64 — 30°)> =а 1 + tg 45 •• tg 30 = 3//з~ =
1 + 1 . — у —
. 3 — V I -■ e — V ^ 1 ^ 1 г — L Q = 2— / 3 ^ 0,2679.
3 + / 3 6 6 г
Примечание, Нет необходимости выводить и запоминать
формулу котангенса суммы и разности двух углов;
для этого достаточно воспользоваться тем, что.
c t g ( a ±p ) = -W(tt1±p) .
§ 98. Формулы умножения
Рассмотрим частный случай формулы сложения:
sin (a — f -Р) = sin a cos p + sin p cos a;
когда p = a, тогда имеем
sin (a -f-a ) = sina cos a — } — sin a cos a,
или
(J) sin 2a = 2 sin a cos a.
Синус двойного угла равен удвоенному произведению
синуса данного угла на его косинус.
Пример. sina = y2 , 0 < a < ул . Найти sin2a.
sin 2a I 2 =3 2 sin a cos a | 2 = 2 • .*■1/ 1 — у ,
‘sine*-!- — — ° r а
sin 2a === 2 * у • — у Д в А уТГ.
Далее, из формулы
co s (a -j-P ) — cos a cos р— sin a sin р
ври р = а следует, что
(II) cos 2а = cos2 а — sin2 а.
Косинус двойного угла равен квадрату косинуса
данного угла минус квадрат его синуса.

188 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пример 1. c o s l2 0 °= c o s 260^-sin260 = -|- — -|- = — у —
В эхом можно убедиться и так:
cos 120? = cos (180° — 60°) = — cos 60° = — у .
С’ * я
‘ П р и м е р 2. Дано: sina == у , 0 < a < 90°. Найти cos 2a.
cos 2a = cos2 a — sin2 a = 1 — sin2 a — sin2 a;
cos 2a I = 1 — 2 sin2a| 3 = 1 — 2 ~ = — y .
sln a=y . …… . slna=-j-
Если в формуле
t g ( a + p ) = tge + tgP 1—tgatgp
положить p == a, то имеем
(III) tg 2 a— (tg a =£ ± 1).
Тангенс .двойного угла равен удвоенному тангенсу
данного угла, разделенному на разность между единицей
А. квадратом тангенса этого угла.
Прим ер. tg a = = -| , 0 < a < у . Найти tg2a.
tg 2a I = ■ ?.& ? .. 1 I s = ….. ____= ___— .
g tg8 «=l2 l — t g 2« l tga=3y l — 4 6
Примемана е . Всякий угол есть двойной по отношению
к половине этого.угла:
a — двойной угол по отношению к у ,
а о
2~ * * * 4 *
5_ а— » » » у5а ,
^Gt—|-Э5—Т * л-г V ~ 2 ^ ИТ, Д.

189 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 99. Формулы деления

Будем исходить из следующих двух тождеств!
1 = cos2 у — 1- sin2 у ,
cos а = eos2 y sin2 у .
(О
Почленно складывая эти два равенства, потом вычитая из
первого второе, получим
1 4 * сое а *=2 cos2 у , (2)
1 — cos а з= 2-sln2 у . (3)
Из формулы (2) находим cos у , а-из формулы (3) sin у .
(I) c o s | = ± / H p Z ,
(II)
Почленно разделим равенство (И) на (I);
,тттч (III) i.g — « = ± I y, 1 — cos а ’
Формулы (I), (II) я (III) выражают косинус, синус и тангенс
половинного угла через косинус «злого угла.
а
Если известно, в какой четверти оканчивается угол у ,
то перед радикалом берется соответствующий знак, в противном
случае двойной знак сохраняется.

190 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пример 1. Вычислить без таблиц sin~ . Угол у есть
половина угла уп , причем c o sяy = * -Уy~—2 , поэтому
s,n£ =j/ «E ^ L j/ l
у — острый угол, поэтому перед радикалом взят знак (-(-)■
— — 1 ‘v 3
Пример 2. Дано: sfna = — у , я < а < у я . Вычи?
слить c o s y . Сначала находим cos а:
cos a = — у 1 — у ,
■ cosa — — -Vу»у
(знак минус взят потому, что угол а оканчивается в третьей
Четверти, где косинус отрицательный); половинный угол у-
Заканчивается во второй четверти, поэтому
V»
c o s y ^ — F Г
v cos | = — m — 0,1694.
Пример 3i. Вычислить tg 15°.
Применяем формулу (III), считая угол 15° половиной
угла 30°! . ‘
_ W
. . . . /“ 1 „АП Wlf) . . . . . и / 1
tg 15“ =
7 » , У з
, 1 — СО8 30Р 1 / 2
“ Г 1 + со»30“ — у >^3
у / 2 -Й £ 3 — у / (2, -^ З У /у
К 2+ Г З *“ К , (2 а — ^ ( 2 + Г 5 ) “ V

191 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Для тангенса половинного, угла вместо формулы (III) можно
вывести две другие, более удобные для вычисления w не
содержащие радикалы:
Заметим, что sin а и tg-^. имеют один и тот же знак.
Пример.
При-м-еяание..-формулы, пр которым вычисляются синус,
косинус и тангенс половинного угла, по-другому называют
еще формулами деления

§ 100. Выражение синуса и косинуса через тангенс
половинного угла

При доказательстве тригонометрических тождеств, решений
тригонометрических уравнений, — а также в других случаях
существенную пользу приносят: формулы, выражающие
sinct и cos а через tg -гр:

192 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Синус угла равен удвоенному тангенсу половины
этого угла, разделенному на сум-му единицы и квадрата
тангенса половинного угла.
Формулы (I), (II) и (III) йршечатедьны тем, что их правые
части не содержат paiaKa^oe, поэтому говорят, что синус,
косинус и тангенс «рационально выражаются через тангенс
половинного угла; значения остальных трех тригонометрических
функций — котангенса, секанса и косеканса обратны’
по величине значениям тангенса, косинуса и синуса, а потому
также рационально выражаются через tg у .
Пример. Дано: tg х ==®-|, 0 < * < — j • Найти sin4x.
13 Р. А. Калвии

193 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Сначала найдем s in 2jc и cos 2 х :
_ 12 .
s i l l 2х ■— 1-+2 tt^g 2-* : з , , 9 ТсГ’
t g * = T l + j
1. 9
‘c° e 2* = T + l f ~
4 — 5
. з . , 9 “ Ж *
i — r i f
Угол 4дг является двбйшш но отношению к углу 2 * , потому
sin 4х — 2 sin 2х • cos 2л;.
Заменяя в этом равенстве sin 2х и cos 2jc их значениями,
получим
sin 4 * = 2 — -Щ — ^ =
§ 101. Доказательство тождеств
Пример 1. Доказать, что
1 #___ cos («— ft)
1 —iga g £ cos (o -f Р) V
Приведем правую часть к левой:
cos(a — Р) cos a cos Р + Йп a Sin р __
cos (a + P) cos a cos p — sin a sin p
cos a cosp . sin a sin p
cos a cos P ‘ cos a cos p 1 4 -tg a tg P
~~ cos a cos p sin n sin p’ 1-
— — cos a cos p cos a cos p
Пример 2. Доказать тождество
cosa-f-slna ’ \4 )
Приведем левую часть к правой:
1 -j- sin 2a sin2 a-fvCQS2 a + 2 sin a cos a
cos a 4-sin a cos a 4 — sin a

194 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 102. Преобразование суммы и разности
двух одноименных трмгонометрическнх функций
в произведение

1. Преобразование суммы и разности двух синусов:
sin(a-|-§) = sina • cosp-f-cosct • sin р, 1
sin ( а— р) == sin а * cos р— cos а — sin p. J ^
Почленно складывая равенства (1), а потом вычитая из первого
второе, получим
sin (a -f-p )-f- sin(« — Р) = 2 sin a cos p, (2)
» sin (a —|—P) — sin (a — p) = 2 sin p cos a. „ (3)
Полошим
a + p = = x , a — p==iyT (4)
Путем почленното сложения, а потом вычитания равенств (4)
найдем, что
4 (5)
В новых обозначениях равенства (2) » (3) окончательно
примут вид —/
(I) sin х —}— sin у = 2 sin’х у cos х ~ -у- ,
(II) siiurWidi»,>pss 2а1& са8, 4 ф £>
Равенство (1) обычно формулируется так: сумма синусов
двух углов равна удвоенному произведению синуса
полусуммы на косинус полуразности ш и х углов.
Примеры.
1) sin 40° + sin50° ==2 sin Co s— ~ ° ==
= 2 sin 45° • cos 5® = У 2 cos 5°;
я , . я я „ , я
_ , . -s—f-2x —~Т -я-—2х-\—г
2) sift-g:-4-ein|2jc—^ ==2 stn— ——^ c o s §——- —-
= 2 s t e ( x — ^ ) c o s ( x — — ^ ) .
Аналогично Читается и формула (11): разность синусов двух
углов равна удвоенному произведению синуса полуразности
на косинус полусуммы этих углов.

195 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пр имеры.
п 6 — 1) sin 75 — sin 15 ж 2 s•i■nW * —g1 S*’ cos7 5°- f 1-5—е
j 2sin30° • cos 45°——V-^*-.
2) sin ^лг- j — y j — sinj^f — -Tj^j —
. я . 2я , я , 2it
* + ■ § — — * + у X + j + X — — ^ —
■ 2 sin —— к COS ———— ——————-
==2 sin у cos { x— ^ = 2cos^jf — y j .
2. Преобразование суммы и разности двух косинусов.
Имеем
cos (№.-f- p.) ^,cps.^*,C0s^ .-r- sifH?. sin p.
cos (a — P)a=cosa • cosp-|-sin а • sinp (6)
Складывая и вычитая равенства (6). получаем
cos(a + p )-4 -eo s(a —p ):= = 2 cO sa -co sp i (7)
cos (a — j- p) —7 cos (a — P) = —2 sin a • sin p. (8)
или в обозначениях (5) > —
(HI) cos x -}- cos у == 2 cos- — y — ■ cos x у y ,
(IV) c o s *— cos у ==—2 s i n- у — sin — ~ y .
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению
косинуса полусуммы н а косинус полуразности
этих углов.:
Подобным же образом можно прочесть также и формулу
(IV).
Примеры.
1) cos 35°4- c o s 25° = 2 cos — ° ^ 35‘> • cos
— 2 cos .30° • cos 5° = j/3., • cos 5°;
— 2) cos^2jc — y j —.cos ^x — f r y j =
п . . 3x . . ( x n \ n . З х . / я je\ = ~-2 5»n — y an ^ y — r — 3 -j =» 2 ste — у — — y

196 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

3. Преобразование суммы и разности двух тангенсов.
Если cos х ф 0,. cos у 0. то имеем
t. g х -). -t. g у = — s-i—n—*- —.- —s—in— —у = ^ cos л ‘ cosy
sin x — cos у -f- sin у » COS X sin (X + y)
COS X • cos у COS X • cos у
Подобным же образом можно преобразовать разность:
t. g X — t. g у = —s-i-n- (1х— у) . ® ° * COS X c o s у
Пример.
«t0 7IVV — ttgr i10y — sci6ns ( 7755o° c—og 1 15*5*o} = cos 7s5lno 6c0o°8 15o _—
Уз — Уз о
2 cos 75° cos 15° 2 sin IS* Cos 15* ~ V 0 ‘
4. Преобразование произведения в алгебраическую
сумму. Каждое из равенств (2), (3), (7) и (8) можно читать
как слева направо, так и в обратном направлении. Разделим
в этих равенствах’ предварительно каждую часть на 2,
а потом перепишем их в обратном порядке, получим
sin a cos р = -g- lsin (а “Ь Р) s*n (а — p)J,
sin р cos а = у {sin ( а -f-P) — sin (а — P)J,
cos a cosp == — j [cos ( a — f p) + cos (a — p)],
sinasinp==s’~ -^-Icos{«-f*p>— co r(« — p)].

§ 103. Введение вспомогательного угла

Часто при преобразовании тригонометрических сумм
в произведение приходится вводить вспомогательный угол
с тем. чтобы такое преобразование было выполнимо,
Пример 1. Преобразовать в произведение 1 4 — 2 cos a.
Выносим множитель 2 за скобку: —
1 -|-2 cosa = 2^-i-H-cosaj =
s== 2 (cos 60°- j- cos a) = 4 cos cos ‘==
4c o s c o s ^30’ — — J ) —

197 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Принте р 2. Преобразовать в произведение I 3% г л:
1 — 3tg2JC = 3 ( i — tg2 * ) =
= 3 (tg2 i — tg2 = 3 (tg J — tg * ) (tg ^ + tg * ) =
• , sln (1 — ^ ) 5|п(1 + ^ )
COS2 X ‘
Пример 3. Преобразовать Y a 2-\-b2 в произведение
с помощью вспомогательного угла. Выносим множитель а
за знак радикала:
Y W T ^ = = | / ff2( 1+ — ^ ) = 1« | / ‘ + ( 1 ) ’ =
хз?[а | У\ + tg*f* я*.| а зе£’ф-|,
где положено tg ф = —Ь .
Пример. 4. Найти наибольшее значение суммы
sin JC ~4— cos
Stn JT 4 — C°S д: sin ces ^
= V2 (cos 45° • sfnx -f-sin 45° • cos дг) = \/1Гsin(x -}- 45°).
Так как наибольшее значение, которое может принимать
sin(jc-f- 45°), равно единице, то наибольшее аначение суммы
s in Jt-j-c o sх равно j/ T .

§ 104. Примеры на преобразование тригонометрических
выражений

В этом параграфе приводятся примеры на более сложные
тригонометрические преобразования.
Пример 1. Преобразовать а произведение
sin 5 * sin 4дг -f- sin i x sis 3js — sin 2x sin x .
Применяем тождество
s in^sinB — Y f c o s (A — B) — cos(A-f~ ^)];

198 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

тогда
Исходная сумма принимает вид:
-g- (cos к — cos 9 -r -j- cos л: — cos 7x — cos x -f- cos 3x) =
Tf (cos x 4~ cos Зле) — у (cos 7x cos 9лс) =
= cos 2x cos x — cos 8x cos x =
— cos x (cos 2x — cos 8л:) =
== cos x • 2 sin 5л: sin Зл: = 2 sin 5л; sin Зл: cos x.
Пример 2. Доказать тождество
4 sin a sin (60° — a)sin(60°-|-«) = sin3a.
Приведем левую %часть к правой преобразованием произведения
двух синусов в разность косинусов:
4 sin asio <60° — a) sin (60е -J- a) =
= 2 sina * 2sin(60p-^-o) • sin(#0B-f-a ) =я —
= 2 sin a (cos 2a — cos 120s) = 2 sina ^cos 2« + j ) ==
= 2 sine cos 2 a -f- sin a = sin 3 a— sin a + sina = sin 3a.
Пример 3. Доказать, что
(1 + tg«e)(l ЧкОДшяЗ* есди « 4-6 =
Выфразим угол ft через a: fРt = у — а; тогда tg р
=
у — a ) ~ r ip g a ‘ * ^ евая часть равенства примет вид:
о + « « > (1 + 4 U ) • т т е г = » •

199 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пример 4 . Показать.» что
sin2a = sing (sin Y-j-sinp). если a 4 -p + v * n и e=t*2jl.
Преобразуем правую часть и приведем ее к левой, учитывая,
что Р — -j- ■ Тогда
sinp (slny -f- sin р) = sin ^ [
s = s in y • 2 sin ( j — — cos (-|.— .e| s * .
= 2 sin-j- c o s — j • sin a = siij® a.

200 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 105. Простевшие тригонометрические уравнения

Оп р е д е л ен и е I. Уравнение называется тригонометрическим,
если оно содержит неизвестное только под знаком
тригонометрических функций.
Примеры. 1) sin2а:й—co sлг — 1 = 0 ;
2) tg х -f- ctg 2дг = 0;
3) cos Зле —f- sin xsssO. \
Уравнение tg x — 2jc i = О нельзя назвать тригонометрическим.
Здесь неизвестное х находится не t o j& k o под
знаком тангенса, но и без знака тригонометрической функции.
Такие уравнения мы пока рассматривать не будем.
Оп р е д е л е н и е 2. Решить тригонометрическое уравнение—
это значит найти все углы, удовлетворяющие данному
уравнению, т. е. обращающие уравнение в тождество после
подстановки на место неизвестного.
Так, например, уравнение 7
sin дг — cos х = 0 .
имеет корень х = -у , но оно имеет бесчисленное множество
и других корней; все они охватываются формулой
x=s=j + nk,
где к — любое целое числоположительное, отрицательное
и О, т. е. ± 1 , ± 2 , ± З Г . . .

201 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Решим сначала 8 часто встречающихся простейших уравнений.
1) sin х = 0.
Поскольку sin 0 ° = 0 , sin 180° = 0, sin 360° = 0, s in 5 4 0 °= 0
и т. д., а также sin (— 180°) = 0, sin (— 360°) в 0.
sin(— 540ч) = 0 и т. д., то решениями уравнения sinх = О
служат углы
. . . _ 540°, _ 360°, — 180°, 0°, 186°, 360’ , 540°, . . .
Все эти углы можно записать в виде
х = 180°й, где А = 0, ± 1. ± 2. . . . ,
или в радианнам измерении х — як, где к = 0, ± 1, ± 2, . . .
Если дано уравнение
sinx co sx = 0,
то его можно решить так; умножив обе части заданного
уравнения на 2, получим
2 sinx co sх>=О, или sin 2x ^=0,
рткуда 2х = яА, а х = у — , где к —О, ± 1; ± 2, . . .
2) tg х = 0.
Так как t gx = О и sinx = 0 при одних и тех же значениях
х ; то tg х = : 0 рри х = 180° А (х == як), где А = 0.
± 1, ± 2, . . ‘. ■ . »
3) cos х = 0.
Так как cos-j = 0, cos ^я + у
-| -^ = = c o s -^ -= 0, cos ^ З я — ) -^ — 0 и т. д.. а также
cos (— ==0, cos ^— — y j = 0, cos ^— -у-j = 0 и т. д., ТО
решениями данного уравнения служат углы
5я Зл я я Зл 5я
. . . у , Т ‘ ~ 2 ’ У ’ ~Т’ Т ’
Все эти углы охватываются формулой

202 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Если дано уравнение tg3 х:= 1 , то его можно реШй-п» так:
t£r2 v:__ 1 = О* Sin8-* 1 = 0 s inl -У COS2 -У _ _
° ’ COS2 X ’ COS2 X ’
cos2 х — sin2 x q, cos 2 x q
COS2 X ’ COS2 X ‘
Дробь обращается в нуль, если ее числитель равен нулю,
при условии, что знаменатель отличен от нуля. В данном примере
cos х Ф 0 (в противном случае не существовал бы tg х).
Таким образом,
cos 2х = 0.
Отсюда 2х = у -\-nk, а .х = — j — j — у k, где k = 0, ± 1 , ± 2 ,
± 3, . . .
4) ctg x = 0.
Так как c tg x = 0 и cosx=ss0 ври одних и тех же значениях
х, то c tg х ..= 0, если х = у -|-я&, где /г — 0, ± 1,
± 2 , ± 3 , . . .
5) sin лг == 1.
. Так как sin 90°== 1, sin (90° ± 360°) = 1, sin (90° ±
± ,2 • 360°) = 1, sin (90° ± 3 • 360°) = 1, . , ., sin (90° — f
-j- к • 360°) = 1, где * = О, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . . , то решениями
уравнения sin х = 1 служат углы х = 90э -f- 360°й
^y-j-2re!tj> где й = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . .
Если дано уравнение
sin3xcos3x = y ,
то его можно решать так:
\
2 sin Зх cos Зх = I , или sin6x = l,
л Л I л ( Я | 7bk откуда 6x = y — f 2ял, а х — -ц —+—3- .
6) sin х = — 1.
Поскольку sin|— y ) ^ sini^— у—}-2я^===-—1,
sin
то sin x = — 1 при X = — Y + 2nk, где к — О, ± 1, ± 2 ,
7) cos х = 1,

203 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Так как cos0° = 1, c o s (± 3 6 0 6) “ 1, co s(+ 2 • 360°) = 1,
cos ( ± 3 • 360°) = 1, . . . , cos ( ± n • 360°>= I ,
то co sx — l при л г= 3 6 (Р й , где fc = 0, ±1, ±2, ± 3 , . . .
8) cos x = — 1 .
Поскольку cos ( ± я ) = — 1, cos ( ± я 2я) = — 1, . . .
. . . , cos ( ± я -f- kn) = — 1, то решения уравнения cos x = — 1
имеют вид
х = я -| -2лА5, где k = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . .
Рассмотрим еще несколько примеров простейших тригонометрических
уравнений, в которых аргументы тригонометрических
функций имеют более сложный вид, чем в примерах
1) — 8).
а) c o s ( | x — f | — ) = — 1.
Используй решение примера 8), можно написать:
| * + -| = я (2* -Н ) .
откуда
х = — •| + ~ ( 2 А + 1 ) , где Л = 0, ± 1 . ± 2 , ± 3 . . . .
б) sin ^75° — y j = — 1 .
В силу нечетности функции sinx можно переменить знак
у аргумента и функции, т. е. вместо данного уравнения
решить равносильное ему уравнение
Следуя решению примера 5), получим:
v * 9 Г 4 -3 § 0 ° — * , »
откуда
x= = 3 3 0 ° -f-3 6 0 ° . 2k, где k = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . .
в) sin|3x — y j s = 0 .
Используя решение примера 1), можно написать:
Зх — у = nk,

204 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

откуда _ .
где 6 e O , ± 1 , ± 2 , + 3 , . . .
Вообще отыскание решений почти всякого тригонометрического
уравнения в конечном счете сводится к отысканию
решений простейших уравнений вида:
1) sin л =5 от или sin6x = /M, | in | < !1;
2) cos х = т или cos kx = т, \ т. 1;
3) tgx — m или tg kx = m, т любое число.

§ 106. Общий вид углов, соответствующих данному
значению тригонометрической функции

Приме р 1. sinx = -^-.
Простейший угол, синус которого равен , есть угол
(или 30°); кроме того, во Н четверти находится другой угол
с тем же значением си нуса : я ‘Л’. = -5gЯ- . Все остальные
углы найдутся прибавлением к этим углам любого целого
числа периодов; получим два вида углов:
4 = * 4 26л, ( 1)
jc2 = | я + 2яА = я — + 2яА = — — J — f я (2А-Ь 1).
* 2 = = _ | — + я ( 2 * + 1 ) . ( 2 )
Отметим, что при всяком^целом 6 число 26 — четное, а число
( 2 6 4 — 1 ) — нечетное. Углы, определяемые формулой (1), равны
простейшему углу ~ плюс угол я, взятый четное число раз.
Углы, входящие в формулу (2), составлены из нечетного числа
раз взятого угла я минус простейший угол.
Формула
^ * = ( _ ! ) » J 4 . ял (3)
содержит в себе оба вида углов, т. е. она объединяет предыдущие
две формулы в бдиу, так как при я четном (я ==26)
получим
Х ==(—I)2*- |-4- л .2 6 = -| 4 -2 л 6

205 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

— углы, даваемые формулой (1); при л = 2 6 -(- I имеем
х = ( — 1)“ +1 • £ + я(26 + i ) ^ _ ^ + „(26-1- I)
— эти углы содержатся в формуле (2),
VW Пример 2. 81’п 2х = -^2—.
Наименьший положительный угол, удовлетворяющий уравнению,
есть угол i , поэтому
■2х = — | (— 1}44- я * .
где 6 = 0, ± 1. ± 2, отсюда
x = f . ( — i ) ft+ f * .
Пример 3. sin у = ~ 2 ^ ■
Для данного отрицательного значения синуса берем про-
Я стейший угол— все углы содержатся в формуле
^ — ^ ( — Г ^ + яб,
где 6 = 0, ± 1, ± 2, откуда
V i= s= -^ J(— 1)* + 2я6.
Пример 4. sinр х = 0 (р Ф0).
Простейший угол есть 0. Поэтому
p x — nk, или х = — ~ (6 = 0, ± 1, ± 2, . . . ) .
У2 ‘ ‘
Пример 5. co sх =
Наименьший положительный угол, удовлетворяющий данному
уравнению, есть Так как косинус— четна* функция.
то угол — также служит решением данного уравнения; все
остальные углы получаются прибавлением к этим двум основным
углам любого целого числа периодов* Получим общую
формулу
х = ? ^ | — 4 — 2я6 (6 = 0, ± 1 , ± 2, . . . ) .

206 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Пример 6. cos 2x = — -i-. ! ; —
2л
Наименьший положительный угол равен , а потому
2х = ± ~ — ( — 2я6, 4
x = ± — J — f ^ ( * — 0, ± 1 , ± 2 . ± 3, . . . ) .
Пример 7. cos 3х = 0.
Косинус обращается в нуль, если аргумент Зх равен ,
Г _
и т. д. Общий вид таких углов
f ( 2 6 + 1 ) (6 = 0, ± 1, ± 2, . . . ) .
Следовательно,
Зх = | ( 2 6 -И ) , * = | Ч 2 6 -И ) .
Пример 8. t g x = ^ =1 -,**
В пределах первой полуокружности имеется только один
угол, соответствующий значению тангенса, равному
Это — угол -2-. Все остальные углы получаются прибавлением
к нему целого числа4 периодов, так что ,
х = -2- + я6 (6 = 0, ± 1, ± 2, ± 3 , . . . ) .
2х
Пример 9. tg-g- = — у 3. Решение!
— х + лб (6 = 0, ± 1 , + 2 , ± 3 ,
Пример 10. sin(2x— 1,5) = — ~ р
2х — 1,5 = — 2 • ( _ 1) *+ л А (6 = 0, ± 1 , . . . ) ,
2 х = — 2 — . ( — 1)* + я 6 + 1 , 5 .
x = — 2 — ( — l ) ft+ y 6 + 0,75.

207 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 107. Примеры более сложных тригонометрических

Пример 1. у Ssh ^ x -f-CG S * = 0.
В данное уравнение входят две функции одного и того же
аргумента, поэтому выразим slri2* через косинус, чтобы
уравнение содержало лишь одну^ функцию (cos я):
/ 2 ( 1 — COS2 X) —j- COS X = 0.
Получилось квадратное уравнение относительно cos xi
У~2 cos2 х — cos х — / 2 = 0, ‘
откуда
/ \ * 1 i 3 -*ч2 1
(COS * ) , _ 2 — — i7 = « . СОВХ^т * — 2 ^ 2
Xl = ± — | я + 2я/Ь (k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ;
что не дает решения.
Пример 2. sin2 * -|-c o s 0.
Приведем функции к одному аргументу:
2 sin х cos х —j—cos x = 0.
Разложим левую часть на множители
cos X (2 sin х -f- 1) = 0.
Приравниваем каждый множитель нулю:
1) co sx = 0, x l = ^{2k-\-\) ( £ = 0, ± 1, ± 2, . . . ) ;
2) 2 sinдс- f — 1 = 0, sinjc = — x 2 = — ~ (— 1)*+1-{-яА
(Л — 0, + 1, ± 2 , ….) .
Пример 3. 2 sin22л:— 1 = 0 .
Хотя это уравнение легко решается относительно sin 2л:,
£sin 2х = ± ’ выгоднее,’ однако, 2 sin2 2л: заменить на
1 — cos 4л:.

208 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

Упражнения

L Дано: sin a = -3g -; sinp = -g p7 i 0 < a < — ^л- ; r t < p < — g -3J t .
Найти: l)s in (a+ P ): 2) slli (a—(5)1 3) cos (a -f- p); 4) cos (a — p):
5) tg(a + p>; 6) tg (a — p). ■
2. tga = —2,4; tgP=*-^-; Y a < « < 2я; я < p < -ц-гс Вычислить
cos(« —P) и sln(c+p).
3. Упростить следующие выражения:
1) cos (a-r-b) — 2 cos a cos b — 2 sin a sin b;
2) sin (45° -j- a) sin (45° a )+ cos (45° + a) cos (45° — a);
3) cos л + co s (120° + ■*) + cos (240е + Л++-Sin x;-
4) (cosx cos у + sfnx siny);

209 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 10. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.