ФУНКЦИЯ | ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ФУНКЦИЯ.
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 1: ФУНКЦИЯ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

И не забывайте поделиться этой статьёй в соц. сетях, если она Вам помогла. Возможно она нужна кому то ещё!

ГЛАВА 1: ФУНКЦИЯ

§ 1.1. Чем занимается математический анализ?

Название «математический анализ»— сокращенное видоизменение
старого названия «анализ бесконечно малых».
Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное.
Название «анализ посредством бесконечно малых» характеризовало
бы предмет более точно.
Было бы лучше, если бы название отражало те объекты,
которые подвергаются анализу (изучению). В классическом
математическом анализе такими объектами являются
прежде всего функции, т. е. переменные величины,
зависящие от других переменных величин. Функции мы
всюду встречаем в практике, функции описывают движения,
физические явления. Они встречаются в технике,
геометрии, механике, химии, экономике. Изучая функции,
мы изучаем конкретные явления, которые они описывают.
Одна и та же функция может описывать явления совершенно
различной природы и тем самым объединять в себе
закономерности, которым эти явления подчиняются.
Математический анализ является средством изучения
функций, но тогда и средством изучения окружающих
нас явлений. Важными понятиями математического анализа
являются предел и непрерывность функции, производная
и интеграл. В этой главе читатель получит начальные
сведения об этих понятиях, их связи и их приложениях.

§ 1.2. Обозначение некоторых множеств чисел

Рациональные и иррациональные числа называются
действительными числами (см. гл. 10).
Пусть а и b— действительные числа (точки числовой
прямой), удовлетворяющие неравенству а < Ь.
Отрезком [а, Ь\ называется множество чисел (точек)
х, удовлетворяющих неравенствам a ^ x t ^ b . Интервалом
(а, Ь) называется множество чисел х, удовлетворяющих

неравенствам а < х < Ь. Интервалом (— оо, + оо) называется
множество всех действительных чисел х (точек
числовой прямой). Говорят еще, что это есть множество
чисел х, удовлетворяющих неравенствам — оо < х < + оо.
Интервалом (a, — f оо) называется множество чисел х,
больших числа а, или, как говорят, множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < л : < + оо. Интервалом
(— оо, Ь) называется множество чисел х, меньших
числа Ь, или, как говорят, множество чисел х, удовлетворяющих
неравенствам — оо < х < Ь.
Полуинтервалом [а, Ь) или (а, Ь] называется множество
чисел х, удовлетворяющих, неравенствам а ^ х < b
или а < х ^ Ь соответственно.
Отрезок, интервал или полуинтервал мы будем называть
еще промежутком.
Нам встретятся и другие множества (совокупности)
чисел, которые не обязательно имеют специальные названия.
Их обозначают разными буквами: Е, А, В, . . .

§ 1.3. Примеры функций

В окружающей нас действительности мы всюду наблюдаем
явления, органически связанные между собой.
Нередко эти явления сопровождаются связями между теми
или иными величинами, заключающимися в том, что
одна величина, вообще говоря переменная, зависит в силу
определенного закона от другой переменной величины.
В таких случаях говорят, что первая величина есть функция
второй. При этом вторую величину называют независимой
переменной или аргументом, а первую—зависимой.
Приведем примеры таких функций.
1. Пусть в начальный момент времени t — 0 материальная
точка находилась в покое, а затем (при t > 0) начала
падать под воздействием силы тяжести. Тогда путь
s, пройденный точкой за время t, выразится формулой
s = ( t> 0), (1)
где g — ускорение силы тяжести. В данном случае мы
имеем дело с двумя переменными величинами t и s.
Каждому значению времени t в силу закона, выраженного
формулой (1), приводится в соответствие определенное
значение s. Этим определена функция s — — ~ — на
множестве неотрицательных значений t.

2. Закон Бойля— Мариотта устанавливает связь между
давлением и объемом данного количества газа при
постоянной температуре;
P = i (у >°). (2)
где с— константа, v— объем, занимаемый данным количеством
газа, р — его давление. Здесь р является функцией
v и однозначно вычисляется по формуле (2).
3. Площадь круга радиуса г есть величина S, зависящая
от г. S вычисляется по формуле
S = л г 2 (г > 0).
Если изменять г, то соответственно будет изменяться
S. Поскольку здесь речь идет о площади круга, то данная
функция определена на множестве положительных
чисел г.

11

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

Околоadmin