§ 1. Функциональная зависимость
Г Л А В А III
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
В повседневной жизни и в практической деятельности постоянно
приходится иметь дело с величинами переменными, т. е. изменяющи-
мися с течением времени или в зависимости от обстоятельств. Это i
совершенно неизбежно, например, в учении о движении, т. е. в меха- ;
нике, так как величины, определяющие положение движущегося тела,
все время изменяют свои численные значения. В самом простом случае
механического движения — движения точки по прямой, положе- i
ние точки определяется алгебраической величиной расстояния от
точки отсчета, и это расстояние все время изменяется. Но и во всех
других отделах физики, в технике, в естествознании — всюду, где
только возможно применение методов математики, неизбежно появляется
идея переменной величины, ибо все в природе находится в i
состоянии постоянного изменения и развития.
Более того, и в самой математике иногда полезно рассматривать
данную постоянную величину как одно из значений переменной.
И это дает возможность полнее понять ту закономерность, которая i
описывается данной формулой. Само обозначение чисел буквами,
собственно говоря, отражает целесообразность такого рассмотрения.
Когда мы решаем задачу в общем виде, обозначая данные числа ;
буквами, мы затем вправе подставлять вместо букв различные численные
значения, т. е. считать их переменными, и следить за тем,
как изменяется ответ задачи в зависимости от изменения исходных
данных.
Часто приходится иметь дело с переменными, связанными функциональной
зависимостью. Это значит, что изменение одной перемен- i
ной влечет за собой вполне определенное изменение другой переменной.
Определение . Если каждому значению одной переменной
соответствует одно вполне определенное значение другой, то первая
из этих переменных называется независимой переменной или аргументом,
вторая — функцией от этой независимой переменной.
Например, площадь квадрата есть функция от длины его стороны;
алгебраическая величина пути, пройденного точкой, находя-
298 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. Функциональная зависимость. Библиотека учителя начальной школы
щейся в определенном прямолинейном движении, есть функция от
времени и т. д.
Необходимо заметить, что разделение ролей двух переменных,
связанных функциональной зависимостью, имеет условный характер
и зависит от обстоятельств исследования. Так, если мы должны следить
за изменением площади квадрата при изменении длины его стороны,
мы рассматриваем площадь как функцию и длину стороны —
как независимую переменную. Наоборот, если для нас важно изменение
длины стороны в зависимости от площади квадрата, роли
функции и независимой переменной меняются.
Чтобы задать функцию, нужно дать правило, при помощи которого
по данному значению независимой переменной может быть
вычислено соответствующее значение функции.
Наиболее удобным «правилом» является алгебраическая формула,
дающая выражение каждого значения функции через соответствующее
значение независимой переменной. Так, формула у = х 2 дает возможность
по любому значению переменной х вычислить соответствующее
значение переменной у , т. е. задает у как функцию от х.
Формулы
л: — 2 лг — 1 т г-т. «
У = — у Т > у ~ ^
и т. д. каждая выражает переменную у как функцию от переменной
х .
Функция, заданная посредством формулы, дающей выражение
каждого значения функции через соответствующее значение независимой
переменной, называется явно заданной.
Кроме явно заданных функций, часто приходится иметь дело с
функциями, заданными неявно. Под этим понимается задание уравнения,
связывающего соответствующие значения функции и независимой
переменной, но не решенного относительно значений функции.
Например, зависимость х у = 1 задает у как функцию от х, ибо
каждому значению х (кроме нуля) соответствует одно и только
одно значение у . Ту же функцию можно задать явно посредством
формулы у = у . Для этого достаточно решить уравнение х у = 1
относительно у.
При неявном задании функции возможно, что из уравнения, связывающего
значения двух переменных, всем (или некоторым) значениям
одной из переменных соответствует два или больше значений
другой переменной. В этом случае считается, что одно уравнение
задает многозначную функцию.
Например, решая уравнение у 1 — х 2 = 1 относительно у, мы получим
у = т. е. каждому значению х здесь соответствует
два значения у . Эту двузначную функцию можно считать
составленной из двух одназначных = ]/лг* -f- 1 и у = — У х 2-f* 1 •
299 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. Функциональная зависимость. Библиотека учителя начальной школы
Такого рода расщепления многозначной функции на однозначные ветви
часто применяются. Такое расщепление можно произвести разными способами,
и вопрос о наиболее естественном выборе способа расщепления решается
в каждом частном случае отдельно.
Функция может быть задана не только посредством формулы
или уравнения, но и при помощи какого-либо сформулированного
словами правила вычисления значений функции по значениям независимой
переменной.
Например, у как функция от х задается так:
у = Ъ, пока х меняется от 0 до 1,
^у = 6 — х , пока х меняется от 1 до 3.
Наконец, на практике часто приходится иметь дело с функциями,
заданными посредством таблицы, в которой ряду значений независимой
переменной сопоставлены соответствующие значения функции.
Однако табличное задание функции является менее полным, чем
задание посредством формулы или словесного описания, так как по
таблице мы можем находить только те значения функции, которые
находятся в таблице.
Правда, приемы так называемой интерполяции дают возможность вычислять
при помощи данной таблицы значения функции и не входящие в
таблицу, но сами приемы интерполяции основаны на дополнительных сведениях
о свойствах функции и применимы только для функций, изменяющихся
достаточно плавно при непрерывном изменении независимой переменной.
При задании функции необходимо указывать ее область зада-
ниЯу т. е. совокупность значений независимой переменной, при которых
рассматривается функция. Если функция возникает в связи с
исследованием какой-либо конкретной задачи, область ее задания
определяется смыслом задачи.
Пусть, например, известно, что периметр прямоугольника равен
20 см и надо выразить его площадь через длину его основания.
Пусть длина основания равна х см, высота равна h см. Тогда
2х + 2h = 20
и, следовательно, h = 10 — х. Площадь
s = xh — x (10 — лг).
Мы получили явную формулу для выражения значений интересующей
нас функции (площади прямоугольника) через значение независимой
переменной (длины основания).
Эта формула имеет смысл при всех без исключения вещественных
значениях переменной х. Однако, по смыслу задачи, числа х и
h должны быть положительными, и следовательно, 0<^лг<^10.
Эти неравенства и определяют область задания функции в данной задаче.
Если же функция задана формулой в отрыве от какой-либо
конкретной задачи, то за естественную область ее задания при
300 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. Функциональная зависимость. Библиотека учителя начальной школы
нимается совокупность всех значений независимой переменной, при
которых формула позволяет вычислять значение функции.
Например, функция, заданная формулой у = ~3 , имеет естественной
областью задания все значения х , кроме д; = 0; функция
у = у х — 1 имеет смысл при х ^ 1 .
Выяснение естественной области задания функций иногда представляет
довольно трудную задачу.
301 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. Функциональная зависимость. Библиотека учителя начальной школы
Околоadmin
Comments