§ 4. Геометрическое представление числовой последовательности

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Геометрическое представление числовой последовательности

Каждое вещественное число изображается точкой на числовой оси.
Последовательность чисел изображается последовательностью точек.
Если задана числовая последовательность, то тем самым задана и
изображающая ее последовательность точек и наоборот.

Каждому свойству числовой последовательности соответствует
определенное свойство изображающей ее последовательности точек и
наоборот, В силу этого вместо числовой последовательности можно
рассматривать соответствующую ей последовательность точек. Например,
если числовая последовательность ограничена, соответствующая
ей последовательность точек расположена вся на отрезке конечной
длины.
Принято для обозначения точек употреблять те же знаки, которыми
обозначаются соответствующие им числа. Например, точка 2
есть точка, изображающая число 2. Такой же смысл имеют выражения:
точка — 1 , точка 2, точка д.

§ 5. Предел числовой последовательности

Числовые последовательности имеют очень широкое применение
в математике и в ее приложениях. Главным образом применяются те
(бесконечные) последовательности, которые имеют предел.
Прежде чем дать определение, понятия «предел», рассмотрим следующие
примеры.
1. Рассмотрим последовательность
1 _ ± 1 _ ± 1
2 * 3 * 4 ’ 5 ’ *•••
общий член которой ип= -— ^на изображена на рис. 74. Наблюдая
за расположением точек последовательности, легко заметить,
, | )■ | ■■■■■.. .-и,-., >
7 7 i o i l t
г б з
Рис. 74.
что они все ближе и ближе подходят к нулю, накапливаются около
нуля. Пусть s — любое положительное число. Возьмем на числовой оси
отрезок длиной 2® с центром в точке 0. Найдется такой номер N,
что всякая точка последовательности с номером, большим N, будет
находиться внутри этого отрезка.
Число Л/, конечно, зависит от числа е. Чем меньше е, тем вообще
больше будет № Если, например, е = 1 , за N можно принять 10.
Действительно, точки
1 1 1 _ 1
11* ~ “ 12’ 13’ 14’
все находятся внутри отрезка а —

352 Геометрическое представление числовой последовательности. План работы кабинета математика.

Конечно, за N можно здесь принять и любое целое число, большее
10. Например, можно считать, что ZV= 100, так как точки
J _ 1_ J _ 1_
101′ 102′ 103′ 104’ ” •
опять все находятся внутри отрезка (—
Если е = ущ1 , ea N можно принять 1000 (а также любое целое
число, ббльшее 1000).
2. Рассмотрим последовательность
9 1 ± 1
‘ 2 ‘ 3 * 4 ‘ •*•’
общий член которой = ft 4“ 1 изображается на числовой оси последовательностью
точек, накапливающихся около 1 (рис. 75). Возьмем
на числовой оси отрезок длиной 2е с центром в точке 1. Здесь
(■— ни) Ь Ч I ■ ——
t 1 ± л г
4 з г
Рис. 75.
также найдётся такой номер N (N и здесь, конечно, зависит от е),
что всякая точка последовательности с номером, бблыним N, будет
находиться внутри этого отрезка или, что все равно, на расстоянии,
меньшем е от 1.
Пусть, например, 8 = 215 . Все точки ^27 , 2278 , 29 ••.находятся от
1 на расстоянии, меньшем чем Так, первая из этих точек находится
от 1 на расстоянии вторая на расстоянии ~ й т д Таким
образом, при за N можно принять 25 (а также любое целое
число, ббльшее чем 25).
Отличие рассматриваемой последовательности от последовательности,
рассмотренной в первом примере, заключается только в том,
что здесь точки последовательности накапливаются не около 0,
а около 1 и что все точки последовательности расположены справа
от 1, в то время как в примере (1) они располагались справа и слева
от 0.
3. Рассмотрим последовательность
1, 4, 9, 16, … ,
общий член которой ип = п\ Она изображается на числовой оси
последовательностью точек, которые нигде не накапливаются (рис. 76).

353 Геометрическое представление числовой последовательности. План работы кабинета математика.

Возьмем на числовой оси отрезок длиной 1 с центром в произвольной
точке. Здесь не удастся указать такой номер N, лто
—■ —t I» ■■ ■ fr…………….. — …Ги——-—■■> —
О / 4 9
Рйс. 76.
всякая точка с номером, ббльшим N, будет лежать внутри этого
отрезка.
4. Рассмотрим последовательность
О, 1, 0, 1, 0, 1,
1 4 ./ ]у»
общий член которой ип— ] ^ — . Она изображается последовав
тельностью точек Аь Л* . . . (рис. 77); Точки с нечетными номерами
Агк-t ^2К
■— | ^
о /
Рис. 77.
совпадают с, нулем, а точки с четными номерами совпадают с единицей.
\
Возьмем на числовой оси ^отрезок длиной */* с центром в произвольной
точке. Здесь не удастся указать такой номер М что всякая
точка с номером, ббльшим N, будет , лежать внутри этого^ отрезка.
Всегда либо точки, совпадающие с нулем, либо точки, совпадающие
с единицей, либо и те и другие будут лежать вне такого отрезка,
а номера у этих точек могут быть сколь угодно большие; Здесь
„каждый раз при переходе к следующему значению точка совершает
скачок от нуля к единице или наоборот.
Оп р е д е л ение . Число а называется пределом последовательности,
если для каждого положительного числа г, сколь бы мало
оно ни было, существует такой номер N, что все точки последовательности,
у которых номер больше N, будут находиться
от а на расстоянии, меньшем чем е. i
Для того чтобы точка b находилась на числовой оси на расстоянии,
меньшем е, от точки а, необходимо и достаточно, чтобы
| Ъ — а |< е .
На основании этого определение предела можно сформулировать так:
Число а называется пределом последовательности
U J, Ujj) • • • > ♦**;

354 Геометрическое представление числовой последовательности. План работы кабинета математика.

если для каждого положительного числа е, сколь бы мало оно ни
било, существуем такой номер N, что все значения uw у которых
номер п > N, удовлетворяют неравенству
Это же определение можно сформулировать и так:
Число а называется пределом последовательности
U\, Щ, • • • у иПу • • . ,
если члены последовательности, начиная с , некоторого места,
отличаются от а сколь угодно мало.
Тот факт, что а является пределом последовательности
Щ у Щ у • » , U n y • Г*
записывают так:
ип~?а> ес^и П~+ООу
или так:.
lim иЛ — а.
Знак оо Читается «бесконечность». Выражение д оо читается «п стремится
к бесконечности» и означает, что п растет неограниченно.
Оп р е д е л е н и е . Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся.
Если чиСло а является пределом последовательности* то говорят,
что последовательность сходится к а.
/ iy*+i
Пример. Доказать, что Jim -—~—- = 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что
§ 5 ] ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 3 5 5
( — 1)**1 0
п
Пусть е — произвольное положительное : число. Для того чтобы
достаточно, чтобы Поэтому за N можно принять любое
натуральное число, ббльшее или равное
п 1 2
П р и м е р. Доказать, что lim— — =s 1.
Д о к а з а т;е л ь с т в о. Ясно, что
п
Пусть е — произвольное положительное число. Для того чтобы
2 достаточно; чтобы 4 —2 * Поэтому за N можно принять лю-
бое натуральное число, ббльшее или равное —2 •

355 Геометрическое представление числовой последовательности. План работы кабинета математика.

Для каждой из указанных ниже последовательностей найти предел иди
установить, что предела нет. В случае существования предела найти N, если
t j_ jl JL J_
* * 10 * 30* 100’ 1000*
I. ип— — п. 2. »„ = (— 1)»«. a ttn = 2+ tzzl£ ‘
4. и„ = 4. 5. м„ = (~ Yf.
& Последовательность десятичных приближенных значений У ? с точностью
до (0.1 )п с недостатком, т. е. последовательность 1,4: 1,41; 1,414;
1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135;…

356 Геометрическое представление числовой последовательности. План работы кабинета математика.

Околоadmin