ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ
СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
БОРИСЕЖО В. П. (Москва)
Скачать или посмотреть книгу онлайн
в формате PDF можете на странице Учебники Скачать.
Главная страница ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.
В статье рассматриваются’ Способы .-йо*
Строения графиков функций Р՝(х) + Щх), P{x)՝Q{x),
^ для тех значений л՜, при которых Q(x)=£0. При
Q (л)
этом учащиеся получают представление 0′ новых
для них примерах использования простейших геометрических
преобразований.
1 .Построение графика функции y = P( x ) + Q(x)
по заданным графикам функций у=Р\х ) и у== Q(x)
Пусть даны графики функций у = Р(х) и y — Q(x)
(рис. 1). Построим график функции у = Р(х) + Q(x).
Для этого покажем прием
построения точки Л\
принадлежащей искомому
графику, для значе-
106
ահ, х т области онределения функций у*=Р(х) и
y ^ Q ( x ) .
Возьмем на оси Ох произвольную точку М и проведем
через нее вертикаль MN. Точка М может быть
взята произвольно. С помощью вертикали MN построение
искомой точки Л’ будем вьшолйять следующим
образом:
1) Через точку А, принадлежащую графику функции
у = Q (jc), проведем вертикаль, точку ее пересечение
с графиком функции у =*Р(х) обозначим через В,
2) Соединим точки А и М отрезком прямой.
3) Спроектируем ортогонально точку В на прямую
MN, основание перпендикуляра обозначим через
К.
4) Через точку К проведем прямую, параллельную
прямой МА, до ее пересечения с прямей АВ-, точка
пересечения, обозначим ее через А \ и будет искомой,
т. е. ока будет принадлежать графику функции
у = Р(х) + Q (х).
В самом деле,՛ из построения следует, Д LMA =*
= Л ВКА’, докажем теперь, что точка А’ действительно
принадлежит графику функции у = Р{х) + Q (х).
Из рисунка 1 следует, что
у = LA’ = LB + В A’ = LB + LA,
но точка В принадлежит графику функции у = Р(х),
а точка А — графику функции у = Q (х). Следовательно,
точка А’ принадлежит графику функции у — P(x)-j-
֊Ւ Q(x).
2. Построение графика функции y = P(x)-Q(x)
по заданным графикам функций у = Р ( х ) и y = Q(x)
Пусть даны графики функций у = Р{х) и у = Q (х)
(рис. 2). Требуется построить график функции^=Я(х)Х
X Q(x). Рассмотрим прием построения точки А’, принадлежащей
графику функции y = P(x)-Q (х).
Построение будем выполнять в следующем порядке:
1) Через точку А, принадлежащую графику функции
у ^ Q (x), проведем вертикаль до ее пересечения
с графиком функции у — Р(х). Точку пересечения обо
107
значим через В. (Примечание: построение, естественно,
выполняется на множестве значений х, для которых
обе функции определены.)
2) Через точку А проводим горизонталь до ее
пересечения с прямой х — 1, эту точку пересечения
обозначим через Мх .
3) Проводим прямую ОМх.
4) Через точку В проводим горизонталь до пересечения
ее с биссектрисой первого (или третьего)
координатного угла, эту точку обозначим через М2.
5) Через точку М, проводим вертикаль до пересечения
ее с прямой ОМ{ , эту точку обозначим через
М3.
6) _Точка пересечения прямой АВ с горизонталью,
проведенной через точку М3 точка А’ — и будет
искомой, т. е. она будет принадлежать графику функ-«՜՜՜
ции у = Р{х) • Q (х).
В самом деле, из построения следует, что ордината
точки А՛ в выбранном масштабе равна длине
отрезка Л^Л’:
у = NXA’ = N2M3 = ЕМХ • ON2 =
(это следует из подобия треугольников ОЕМ։ и
ON2M3)
= NXA-N^M2 = NXA՝NXB.
Но ЫЛА — ордината точки Л, a NXB — ордината точки В,
следовательно, точка А՛ принадлежит графику функции
у = P(x)-Q(x).
Рассмотрим некоторые примеры построения графиков
функций: .
1) Построить график функции у — xQ (х) по заданному
графику функции у — Q (х).
Из построения, приведенного на рисунке 3, следует:
у = NA’ = EM-ON = 7УЛ • ON = xQ (x).
2) Построить график функции у = P(x)՝Q{x)՝ Т(х)
по заданным графикам функций у = Р(х), y = Q(x),
у — Т (л:) и без предварительного построения графика :
функции вида у = А(х)՝В{х)\ Схема построения ‘
дана на рисунке 4.
108
3) В некоторых случаях удобно применить ‘следующий
прием для построения графика функции вида
y —P{x)՝Q (х) по заданным графикам функций у — Р(х)
K y = Q(x), представленный на рисунке 5.
Прежде всего, заметим, что точки М hN, точки пересечения
графиков с осью Ох, принадлежат искомому
графику. (Почему?)
Проведем прямую .у = 1. Предположим, что эта
прямая пересекает заданные графики в точках А, В
и С. Обозначим абсциссы этих точек через х А, х в ,
х с . Легко видеть, что при значениях аргумента
хА, х в и х с значения функции у = Р{х) • Q(х) будут
равны Р(хАЪ Q(xB), Р(х с) соответственно.
109
Аналогично могут быть построены точка искомого
трафика яри построении прямых у — 2 ,3 ,,.., ֊ 1 , —2 ,,…
3. Построение графика функции y = P(x) :Q(x)
по заданным графикам функций .у = />(.*) и y = Q ( x )
Пусть даны графики функций у = Р(х) и у = Q(x).
Рассмотрим построение точки, принадлежащей графику
функции у ■ Р(х)
Q(x)
(построение, естественно,
будем выполнять для тех значений аргумента, при
которых определены обе функции, причем Q (л:) ф 0).
Этапы построения приведены на рисунке 6.
1) Через точку А, принадлежащую графику функции
y — Q(x), проведем горизонталь до пересечения
ее с прямой х — 1, полученную
точку обозначим
через Мх.
2) Проведем прямую
ОМ,.
3) Через точку В,
принадлежащую графику
функции у = Р(х), проведем
горизонталь до
пересечения ее с прямой
ОМх. Точку пересечения
обозначим черезМ3.
У,
/
Հ И Л .
/ Г ՜ *
; у = а
А’
0 Е X1 «х
Рис. 8. Рис. 9.
4) Через точку М3 проведем вертикаль до пересечения
ее с прямой у —х, точку пересечения обозначим
через М2 .
5) Искомая точка, точка А’, находится как точка
пересечения прямой АВ <с горизонталью, проведенной
через точку Мг .
110
До tfa за те<#ь Cfed*
у = NXA’ = N2M2 = ON2 == 7V2M3 : £Л*, = N jfi: NxAt
откуда и следует доказмваежов утвевждение,
р(х\ Для построения графика ф^гни^ий j r = —^ удобно
Q ix)
также ттльэбвагь идею пршемз, рассмотренного на
стр. 109 (пример 3), схема построения дана на рисунке
7.
На рисунках 8^-9 показаны приемы построения
графиков функций
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Околоadmin
