§ 5. Графическое решение уравнений с одним неизвестным
ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Как уже было сказано, алгебраические методы решения систем
уравнений далеко не всегда применимы. Но для целей практики бывает
важно находить решения систем уравнений хотя бы приближенно.
Эта цель хорошо достигается применением графических методов.
Сначала рассмотрим применение графиков к приближенному решению
одного уравнения с одним неизвестным.
Пусть дано уравнение х 2 — 4 л г -|-1 = 0 . Для того чтобы графически
решить такое уравнение, рассматриваем неизвестное х как независимое
переменное, а левую часть уравнения как функцию этой
переменной, т. е. введем в рассмотрение функцию у = х 1 — 4лг-|-Ь
Решить предложенное уравнение — значит узнать, при каких значениях
независимой переменной х функция у обращается в нуль.
Точки графика, соответствующие у
таким значениям независимой переменной,
лежат на оси абсцисс, j (
ибо ордината каждой такой точки \ /
равна нулю. Следовательно, инте- V /
ресующие нас точки графика явля- \ /
ются точками пересечения графика Л I
с осью абсцисс, а корни урав- ^ /
нения х 2 — 4 л г-{ -1= 0 являются —- •——А-—■————i—
абсциссами этих точек пересече- 4 0 \ 1 3 / &
ния. При этом абсцисса каждой 1 \ !
точки пересечения графика с осью \ /
абсцисс является корнем уравне* V J
ния х* — 4лг-|-1 = 0. ^
Строим график функции у = Т
= х 2— 4 je -j-l. Он имеет вид Рис. 68.
параболы с вершиной в точке (2,
— 3) (рис. 68). По чертежу находим, что х х 0,3; х а 3,7. В дей*
ствительности
х { = 2 — j/»3 = 0 ,2 6 8 …
^ 2 = 2 + ) /3 = 3 ,7 3 2 …
333 Графическое решение уравнений с одним неизвестным. План кабинета математики.
Совершенно такие же рассуждения можно применить к любому
уравнению ^ = 0, где у есть алгебраическое выражение от неизвестной
х . Именно, для графического решения такого уравнения нужно
построить график выражения у , рассматриваемого как функция от
переменной х , и найти точки пересечения этого графика с осью абсцисс.
Абсциссы точек пересечения будут корнями уравнения. Конечно,
при графическом решении уравнений корни получаются приближенно
и довольно грубо, так как на чертеже произвести измерение абсцисс
с высокой степенью точности невозможно.
Пример. Решить уравнение
х г — 4х -{- 1 = 0.
Решение. Строим график функции у = х 3 — 4jc-{-1, вычислив
предварительно таблицу значений:
X — 3 — 2 — I 0 1 2 3
У — 14 1 4 1 — 2 i 16
По результатам этих вычислений мы видим, что при изменении
от — 3 до — 2 функция переходит от отрицательных значений
к положительным, на
участке от 0 до 1 переходит
от положительных
значений к отрицательным
и на участке от
1 до 2 снова от отри-
Рис. 70.
нательных значений к положительным. На этих участках и следует
ожидать, что график пересечет ось абсцисс.
334 Графическое решение уравнений с одним неизвестным. План кабинета математики.
Проводим вычисления для некоторых промежуточных значений х,
взятых на этих участках с целью уточнения хода функции:
1 I , 1
X — 2 2 2* т
У — 4
7
8 8
Теперь построим график по всем вычисленным точкам, соединив их
плавной линией (рис. 69).
Из этого чертежа мы получаем: х хя&— 2,1; лга^ 0 ,3 ; лг3я^1,8.
Для того чтобы уточнить значения корней, следует построить
в ббльшем масштабе участки графика, примыкающие к корням, вычислив
дополнительно значения функции на этих участках. Например,
для уточнения корня х$ проведем следующее вычисление;
X 1,8 1,9
У — 0,368 0,259
Изобразим эти точки на чертеже, приняв большую единицу масштаба
(рис. 70).
На таком малом участке изменения .г мы вправе считать, что
график очень близок к прямой линии. Исходя из этого предположения,
получим jtr3 1,86-
Упражнения
Решить графически уравнения с одним неизвестным:
1. ~ x z—л; + “ 0. 2. л:2+ 1 ——- 0. З .х3—х — 0.
335 Графическое решение уравнений с одним неизвестным. План кабинета математики.
Околоadmin
Comments