§ 17.  Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами.

Глава II. Положительные и отрицательные числа.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

От геометрического изображения чисел в виде точек на числовой
оси легко перейти к геометрическому изображению зависимости между
двумя переменными величинами, применяя тот же прием, который применяется
в курсе арифметики при построении диаграмм.
Рассмотрим один пример для того, чтобы напомнить это построение.
П р и м е р . Температура воздуха измерялась в течение суток через
каждые два часа. Результаты измерения сведены в следующую таблицу:

Построить диаграмму изменения температуры в течение суток.
Р е ш е н и е . Делается это следующим образом. На прямой линии,
которую мы расположим горизонтально (рис. 11), строятся на одинаковых
расстояниях точки, изображающие моменты времени измерений.

Таким образом, отрезки между этими точками изображают промежутки
времени между двумя измерениями. На рис. 11 на горизонтальной
оси нанесены деления, соответствующие двухчасовому промежутку
времени.
От каждой из точек, изображающих моменты измерения, строится
вверх перпендикуляр, длина которого в выбранном масштабе равна
числу градусов температуры. Мы получаем чертеж, состоящий из ряда
отрезков, длины которых наглядно показывают величину температуры

71 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

в момент измерения. Этот чертеж и есть диаграмма, изображающая
изменение температуры в зависимости от времени. Для сравнения длин
отрезков с масштабом мы на перпендикуляре к оси, проведенном через
точку, соответствующую нулю, нанесем деления, соответствующие
градусам в выбранном масштабе.
П р и м е р . Пусть температура в течение суток изменялась согласно
следующей таблице:

Как построить диаграмму в этом случае?
Р е ш е н и е . Очевидно, что отрезки, изображающие отрицательную
температуру, следует строить не вверх, а вниз, откладывая на перпендикулярах
абсолютные величины числа градусов температуры. Диаграмма
для рассматриваемой таблицы приведена на рис. 12, где точками
изображены концы отрезков, соответствующих температуре.
Таким образом, при помощи диаграммы можно изобразить зависимость
между величинами, принимающими как положительные, так
и отрицательные значения. Диаграмма не теряет наглядности, если
отбросить перпендикулярные отрезки, сохранив только их концы.
Представим теперь себе, что мы измеряем температуру не каждые
два часа, а каждый час. При геометрическом изображении результатов
этих измерений на чертеже появятся новые точки, расставленные
между прежними. Если же производить измерения каждую минуту,
точек будет настолько много, что различать их придется в сильную
лупу — они будут отстоять друг от друга на yi- миллиметра.
Если же представить себе, что измерение производится непрерывно,
то точки диаграммы сольются в одну, более или менее плавную,
линию. Эта линия носит название графика зависимости темпера-+

72 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

туры от времени. Так называемый самопишущий термометр (термограф)
чертит именно график температуры.
Прибор этот (в схематическом описании) состоит из вертикально расположенного
барабана, который медленно вращается под действием часового
механизма. На барабан навертывается разграфленный лист бумаги. К этому
листу прикасается перо, которое под влиянием температуры поднимается и
опускается, подобно уровню жидкости в трубке термометра. Таким образом,
в каждый момент времени перо стоит на высоте, соответствующей температуре
в этот момент. При вращении барабана с течением времени перо чертит
на бумаге линию, которая и представляет собой график температуры.

Подобно тому, как строится график зависимости температуры от
времени, строятся графики, изображающие зависимость между двумя
любыми переменными величинами, если значение второй переменной
определяется, как только известно значение
первой. Для этого на плоскости
берутся две взаимно перпендикулярные |
оси (рис. 13). Точка их пересечения при- ^
нимается за начало отсчета на обеих §.
осях. На одной из осей изображается 3
значение первой переменной. В. каждой ___ Ось абсцисс
—————————————
из построенных точек проводится прямая,
параллельная второй оси, и на
этой прямой откладывается отрезок,
длина (в своем масштабе) которого Рис. 13.
равна абсолютной величине соответствующего
значения второй переменной; отрезок откладывается в направлении,
совпадающем с направлением второй оси или в противоположном
в зависимости от знака значения второй переменной.
Вторые концы этих отрезков и отмечаются на чертеже. Сами
отрезки лучше не строить, так как это усложняет чертеж. В этом и
нет необходимости, если бумага разграфлена на достаточно малые
клетки.
Чем чаще брать значения первой переменной, тем чаще расположатся
точки на чертеже.
Построенные точки соединяются линией, вообще говоря, искривленной.
При соединении надо следить за тем, чтобы линия была
по возможности плавной.
Построенная таким образом линия называется графиком зависимости.
Оси, по отношению к которым строится график, носят название
осей координат. Одна из осей называется осью абсцисс, другая —
осью ординат. Ось абсцисс обычно располагают горизонтально и
направляют слева направо. За направление оси ординат обычно принимается
направление снизу вверх. Алгебраические величины отрезков,
откладываемых параллельно осям координат при построении
точки, называются координатами точки, Одна из координат называется

73 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

мы получили правильный результат. Точно так же при х = 6 мы из
чертежа читаем, что у приближенно ‘ равно 4. В действительности,
при х = 6, j/ = 4 точно.
Таким образом, вычислив несколько значений, мы получили правильное
представление о зависимости между переменными х и у.

74 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

П р и м е р 2. Дано уравнение у =х2. Построить график, выражающий
зависимость между числами х и у.
Р е ш е н и е . Примем за единицу масштаба по обеим осям 1 см.
Строим таблицу

Мы не берем значения лг больше 3 по абсолютной величине, так
как значения у очень быстро растут, и мы были бы не в состоянии
поместить график на чертеже в выбранном масштабе.
Построив точки, соответствующие этой таблице, мы можем подумать,
что две ветви графика сходятся в начале координат под углом.
На всякий случай пополняем таблицу еще двумя промежуточными значениями
х = 0,5 и х = — 0,5:

75 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

Построив соответствующие точки, мы видим, что в действительности
график около начала координат плавно закругляется. Теперь
мы можем соединить точки.
Линия, изображающая зависимость
у = х2, называется параболой
(рис. 15).
П р и м е р 3. Сумма длин
двух сторон прямоугольника,
сходящихся в одной вершине,
равна 10 см. Построить график
зависимости площади этого
прямоугольника от длины
одной из его сторон.
Р е ш е н и е . Обозначим буквой
лг длину одной из сторон.
Тогда длина другой
стороны будет равна 10 — х.
Площадь у, очевидно, равна
х(10 — х). Таким образом,
нам нужно построить
график зависимости у =
= х(10-^-х). При этом, по
смыслу задачи, л; есть поло-
х жительное число, не большее
10.
Рис. 15. Вычислим таблицу, придавая
д: целые значения от
0 до 10, включив и крайние значения, хотя они и не имеют геометрического
смысла в данной задаче:

После вычисления мы видим, что для того чтобы график поместился
на чертеже, следует, выбрав единицу масштаба по оси абсцисс, принять
за единицу масштаба по оси ординат меньший отрезок. Мы
примем за единицу по оси ординат отрезок, в 5 раз меньший, чем
единица по оси абсцисс (рис. 16).
Что мы можем прочитать из этого графика»?
Во-первых, мы видим, что наибольшая площадь прямоугольников
равна 25 сж‘2, и она получается при х = Ъ см, т. е. когда прямоугольник
превращается в квадрат, сторона которого равна
5 см.

76 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

Во-вторых, мы видим, что ветви графика опускаются к оси абсцисс при
приближении к краям. Это значит, что если сторона прямоугольника
очень мала или очень близка к 10 (тогда вторая сторона очень мала),
то и площадь будет очень малой.

Поставим следующий вопрос. Как нужно выбрать сторону прямоугольника,
чтобы его площадь равнялась 12 см2? Алгебраическое
решение этой задачи сводится к решению относительно буквы л;
уравнения лс:(10 — х)=12. Такого рода уравнения мы решать еще
не умеем. Однако из графика мы можем, хотя бы приближенно, определить
х. Именно, х приближенно равно 1,4 или 8,6. В первом случае
вторая сторона приближенно равна 8,6, во втором 1,4. Таким
образом, прямоугольник со сторонами 1,4 и 8,6 приближенно удовлетворяет
условию. Действительно, 1,4-8,6=12,04.
На основании рассмотренных примеров мы можем сделать следующие
выводы:
В о — п е р в ы х , график является очень наглядным изображением
зависимости. После построения графика формула «оживает», настолько
ясным становится ход изменения одной переменной в зависимости от
изменения другой.
В о — в т о р ы х , график дает средство для приближенного решения
задач, точное решение которых затруднительно.

Упражнения
1. На рис. 17 изображен график температуры. Прочитать по графику,
какая температура была в 13 часов? в 17 -g- часов? в 2 часа?
2. По графику на рис. 17 прочитать, в котором часу температура была
равна 5°? В котором часу температура была равна 0°? В котором часу температура
была равна —2°? В котором часу температура была наибольшей? В котором»
часу наименьшей?

77 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

3. На аэростате были подняты два самопишущих прибора. Один из них
записывал температуру, а другой высоту аэростата над поверхностью земли.
Полученные графики изображены на рис. 18.

Рис. 18.
Какая температура воздуха была на высоте в 1000 ж? На высоте в 2000 ж?
На высоте в 3000 ж? На высоте в 4000 ж? На высоте в 5 000 ж?
Построить график зависимости температуры от высоты.

78 Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами. 

Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами