§ 6. Графическое решение систем двух уравнений с двумя
неизвестными

ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными

Пусть дана система уравнений с двумя неизвестными х и у.
Каждое из этих уравнений, взятое отдельно, определяет зависимость
между величинами х и у.

Построим на одном чертеже графики этих зависимостей. Числа
(х0, у 0), образующие решение системы, должны удовлетворять обоим
уравнениям системы, а следовательно, точка с координатами (х0, _у0)
должна лежать на графиках обеих зависимостей, т. е. должна являться
точкой пересечения этих графиков.
Обратно, координаты (х 0, j>0) любой точки пересечения построенных
графиков удовлетворяют обоим уравнениям системы, т. е. образуют
решение системы.

335 Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Паспорт учебного кабинета математики.

Таким образом, для того чтобы графически решить систему двух
уравнений с двумя неизвестными, нужно построить график для каждого
из уравнений и найти точки пересечения этих графиков. Координаты
каждой точки пересечения образуют решение системы.
Пример. Решить графически систему уравнений
= 9,
у — 2 х2 — 2х — •3.
Решение . Алгебраическое решение этой системы затруднительно.
Хотя неизвестное у и легко исключается посредством подстановки
в первое уравнение его
выражения через х из второго
уравнения, но в результате
такого исключения получается
уравнение четвертой степени
относительно х, решение которого
выходит за рамки элементарного
курса алгебры.
Обратимся к построению
графиков. Графиком зависимости
х 2 = 9 является,
как мы видели (гл. III, § 3,
третий пример), окружность с
центром в начале координат
и радиусом, равным 3. Графиком
зависимости у = 2 х2 —
— 2х — 3 является парабола,
которую легко построить по
таблице значений (рис. 71).
Г рафики пересекаются в
четырех точках, координаты которых
суть приближенно (— 1,2; 2,7); (0; — 3); (1,1; — 2,8) и (2,2: 2,0).
Следовательно, данная система имеет четыре решения

Второе решение оказывается точным. Остальные три — приближенные.
Графическое решение системы двух уравнений с двумя неизвестными
почти не сложнее графического решения одного уравнения
с одним неизвестным, а иногда даже проще.Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Паспорт учебного кабинета математики.

336 Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Паспорт учебного кабинета математики.

Поэтому часто бывает полезно преобразовать посредством введения
нового неизвестного одно уравнение с одним неизвестным в систему двух
уравнений с двумя неизвестными, а затем решать эту систему графически.
При таком преобразовании следует заботиться о том, чтобы построение
графиков обоих уравнений полученной системы было как можно проще.
Рассмотрим несколько примеров на применение этого приема.
При ме р . Решить графически уравнение
х 2 —х — 1 = 0 .
Р еше н и е . Представим предложенное уравнение в виде лг* = л г+ 1 .
Мы видим, что в левой и правой частях уравнения находятся некоторые
функции от х. Решить уравнение — значит найти, при каких значениях
независимого параметра обе функции принимают равные значения. Графически
это означает, что нужно найти абсциссы точек пересечения графиков
функций .у =лг* и = лг -{- 1.
Действительно, если при х = а я2 = а + то это значит, что точка
(я, я2) совпадает с точкой (я, я + 1 ) и, следовательно, принадлежит как графику
функции у = х 2, так и графику функции у = лг + 1.
Очевидно и обратное. Если графики функций у = х 2 и.у = л: + 1 пересекаются
в точке (я, b), то £ = я2 = я + 1 и, следовательно, при лг = я обе
функции принимают равные значения. Все
сказанное можно коротко изложить так.
Вводим новую неизвестную у = х 3. Тогда
данное уравнение переходит в уравнение
у — х — 1= 0 , которое вместе с введенной
зависимостью дает систему
Г У=х * .
\ у — х + 1,
Графиком зависимости у = лг3 является
,парабола, графиком зависимости у = х + 1—
прямая линия (рис. 72). Решение задачи
дают абсциссы точек пересечения. Они равны
приближенно: x t ^ — 0,6; лг2^ 1 ,6 .
Любое приведенное квадратное уравнение
х 2 -(-р х + q = 0 может быть решено
тем же образом, посредством преобразования
в систему
/ ^ * 2’ Рис. 72.
i y + p x + q=:0.
Это удобно тем, что графиком первой зависимости является одна и та же
парабола, а графиком второй зависимости является прямая линия, которую
очень легко построить в каждом частном случае по двум точкам. Поэтому,
тщательно построив в большом масштабе параболу у = л:3, мы получаем возможность
быстро решать любое приведенное квадратное уравнение.
Подобным образом для решения кубического уравнения, имеющего вид
х я-\-рх 4- £ = 0, достаточно заготовить график функции у = X s. Абсциссы точек
пересечения этого графика с прямой у -{-рх + q = 0 дают корни уравнения
* 3 + р х + Я = 0.
Пр име р . Превратив в систему, решить графически уравнение
х я —■ 4х + 1 = 0.
Р еше н и е . Это делают приемом, указанным выше. Однако это можно
сделать и иначе. Именно, перепишем уравнение в виде лг (лг2 — 4) + 1 = 0

337 Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Паспорт учебного кабинета математики.

и положим х 2 — 4 = ву. Уравнение заменится системой
( у = х 3 — 4,
\ х у + 1 = 0 .
Графиком первого уравнения системы является парабола, графиком второго
— гипербола (рис. 73). Абсциссы точек пересечения суть Xi^» — 2,2;
х% ^ 0,3; х$ ^ 1,9.
Этим приемом можно решить любое кубическое уравнение
Графиком первого уравнения является парабола, графиком второго — гипербола.
Решение уравнения четвертой степени ах4 -)- Ьх2 -}- сл: + d = 0 при с^Ь 0
легко сводится к определению точки пересечения двух парабол. Для этого
Из рассмотренных примеров ясно, что каждое данное уравнение с одним
неизвестным можно преобразовать в систему двух уравнений с двумя неизвестными
многими способами и при выборе какого-нибудь способа следует
заботиться о наиболее выгодном расположении графиков на чертеже.
Решить графически уравнения с одним неизвестным, превратив их в
системы: ‘
ах3 — f bx2 + сх + d = 0,
сведя его к системе
<
у = ах2 -f- Ьх + с,
х у + d = 0.
вводим новое неизвестное у = х *
и уравнение заменяем системой
5 ющей с осью ординат. Графиком
второго уравнения тоже является
х парабола, но только ее ось параллельна
оси абсцисс. Действительно,
решив второе уравнение относительно
лг, мы получим
т. е. лг является квадратичной
функцией от у , графиком которой
является парабола с осью, параллельной
оси абсцисс.
Графиком первого Сравнения
является парабола с вершиной в
начале координат и осью, совпада-
( У = ЛГ8,
I ay* { + by + d + сх = 0.
Рис. 73.
Упражнения
Решить графически системы уравнений:
3. х 3 — 2лг — I = 0 . 4. х 4 + 2лг2 — х — 3 = 0.

338 Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Паспорт учебного кабинета математики.

Околоadmin