§ 3. График функции
ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Графиком функции называется геометрическое место точек,
координатами которых являются соответствующие значения независимой
переменной и функции.
Обычно значения независимой переменной откладываются по оси
абсцисс, значения функции — по оси ординат.
Построение графика данной функции практически возможно лишь
приближенно с той точностью, которую допускают чертежные средства
и выбранный масштаб. Чем больше выбрана единица масштаба, тем точнее
можно построить выбранный участок графика функции. Но даже несовершенный
график вносит наглядность и дает возможность понять и
ощутить ход изменения функции при изменении независимой переменной.
Рассмотрим несколько примеров на построение графиков.
Пр име р . Построить график функции у = 2цх — ^-.
Прежде всего построим таблицу значений функции по обе стороны
от нуля, придавая независимой переменной целые значения:
Мы ограничиваемся значениями х от — 4 до 4, так как дальнейший
ход изменения функции ясен. При возрастании абсолютной
величины х числитель и знаменатель дроби —-р будут расти по
абсолютной величине, но рост знаменателя будет значительно опережать
рост числителя, и абсолютная величина дроби будет подходить
все ближе и ближе к нулю.
Перенеся на чертеж вычисленные точки, мы видим, как их соединить
более или менее плавной линией. Неясно только, как соединять
точки (— 1, — 1), (0, 0), (1, 1). Они явно лежат на одной прямой.
Но можно ли их соединять прямой линией? Для выяснения
этого вопроса добавим новые точки графика:
302 График функции. Паспорт кабинета математики.
Теперь вопрос ясен (рис. 44; пунктиром отмечено продолжение
ветвей графика за пределами значений, вычисленных в таблице).
Пр име р . Построить график функции у = —л:2 4~—-1 .
Естественной областью задания функции у = л—:2^4—- 1 является вся
совокупность действительных чисел, за исключением нуля. Для по
строения графика прежде всего составим таблицу значений, включив
в нее целые значения для х. При этом удобно формулу у = —х 2′ А1—-1 •
преобразовать к виду у — х — Получим:
Перенеся эту таблицу на чертеж, мы получим ряд точек, которые
естественным образом соединяются плавной линией, за исключением
участка от х = — 1 до х = \ .
На этом участке изобразить график плавной линией заведомо
нельзя, так как на графике не существует точки с абсциссой нуль.
Для того чтобы уточнить поведение функции на этом участке, следует
вычислить еще ряд ее значений при значениях х, близких к
нулю. Строим дополнительную таблицу:
Мы видим, что при значениях х , близких к нулю, значения у становятся
очень большими по абсолютной величине, положительными
при положительных х и отрицательными при отрицательных х.
Поэтому при приближении х к нулю справа — ветвь графика безгранично
поднимается, при приближении лс к нулю слева — ветвь
графика безгранично опускается.
303 График функции. Паспорт кабинета математики.
В целом график выглядит так, как показано на рис. 45. Он как
бы «разорван» осью дг = 0 на две отдельные ветви.
Пример. Построить график
функции
у — 9 —дг2.
Естественной областью определения
этой функции является
совокупность значений переменной
дг, заключенных между числами
— 3 и -J- 3, включая сами
эти числа.
Действительно, если абсолютная
величина дг не превосходит
3, то лг2< 9 и разность 9 — дг2
не отрицательна. Если же х больше
3 по абсолютной величине
(т. е. дг^>3 или дг<^— 3), то
дг2 9, разность 9 — дг2 отрицательна
и ] /9—дг2 смысла не имеет.
Составим таблицу значений
функции, включив в нее значения
дг, близкие к 3 и — 3, для
того чтобы узнать, что происходит
с функцией вблизи границ ее естественной области определения:
Построив вычисленные точки и соединив их, получим график (рис. 46).
Легко убедиться в том, что этот график есть верхняя полуокружность
радиуса 3 с центром в
начале координат. Действительно,
если М есть точка на графике
с координатами (х, у ),
70 ее расстояние от начала координат
легко определяется по
теореме Пифагора:
ОМ2 = CW2 + NJVP —
= х 2 — f У = / )2 =
= лг2 —j— 9 — дг2 = 9,
откуда ОМ=Ъ,ъ каком бы месте графика ни находилась точка Ж Обратно,
304 График функции. Паспорт кабинета математики.
если М лежит на указанной полуокружности, то, по теореме Пифагора,
9 = ОМ2 = 0№ + NM2 = х 2 + / ,
бткуда
у = -j- У 9 — х 2 или у — — ]/9 — л;2.
Вторая возможность должна быть отброшена, ибо для всех точек
рассматриваемой полуокружности ординаты не отрицательны.
Полную окружность радиуса 3 мы получили бы, присоединив
к графику функции у = У 9 — х 2 график функции у — — У 9 — х 2.
Обе эти функции являются ветвями двузначной функции, определяемой
неявным уравнением х 2-\-у2— 9. Таким образом, окружность
радиуса 3 есть график зависимости х 2- \- у 2 — 9.
Совершенно такими же рассуждениями легко убедиться, что
окружность любого радиуса г с центром в начале координат является
графиком зависимости х 2-\-у 2 = г2т
Пр име р . Построить график функции у 2 = х 2(9 — х 2).
Данное уравнение определяет у как двузначную функцию х, именно
У = + ) / » i r ( 9 — **) или y =
Обе выделенные ветви имеют естественной областью задания значения
х у заключенные между — 3 и 3.
-д-(9—лг2) таблицу значений:
Для второй ветви соответствующие значения у отличаются только
знаком. На рис. 47 изображен график данной зависимости. Он напоминает
восьмерку, положенную
горизонтально. Ветвь
У = + У ( 9 — ^ )
изображается той частью графика,
которая лежит выше оси абсцисс.
Ветвь
у = — У 1ST (9 — **)
изображается нижней половиной
графика.
Обе эти ветви имеют графики с резким изломом в начале координат.
Любопытно отметить при этом, что правая половина гра-
305 График функции. Паспорт кабинета математики.
фика у = V i (9 — х 2) плавно переходит в левую половину
графика у = — 1 / -^ -(9— х г). Обе эти части вместе образуют,
график функции у = ^ ] / 9 — х г, ибо о
при положительном х и
f 1^9 — лг’2 = -Ь -|/~^ (9 — ж2)
МХИ
= — у Л’ | ( 9 — х’О
при дг отрицательном.
Упражнения
Построить графики зависимостей
306 График функции. Паспорт кабинета математики.
Comments