дома » Алгебра в школе » Группы гомоморфизмов

Группы гомоморфизмов

21. Группы гомоморфизмов.

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF. 

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

knigi728x90

21.17. а) Ограничение гомоморфизма a: ф Ai ^ C на Ai — это гомоморфизм ai: Ai ^ C. Таким образом, получается
гомоморфизм р: a ^ (… , ai, …) группы Нот(ф Ai, C) в группу ]^[ Hom(Ai, C). Легко проверить, что р — изоморфизм

б) Если через ni обозначить г-ю координатную проекцию Ci ^ Ci, то каждый гомоморфизм a 6 Hom(A, f^Ci) будет
определять гомоморфизмы nia 6 Нот (A, Ci). Отображение a ^ (… ,ni a, …) есть искомый изоморфизм.
21.24. 1) Чтобы проверить, что Im в* есть р-чистая подгруппа в Hom(B, G), возьмем п 6 Hom(B, G) и х 6 Hom(C, G), для
которых рпп = хв. Из Im a С Ker хв = Ker рпп следует, что Imрпa С Ker п. Существует прямое разложение B/рn(aA) =
aA^^aA) ф B’^^aA), где B’ — некоторая подгруппа в B. Обозначив через п проекцию на второе слагаемое, положим
рЬ = п’п(Ь + рnaA), где п’ (b + рпaA) = пЬ. Это дает гомоморфизм р: B ^ G, для которого рпр = рпп. Так как aA С Ker р,
то существует такое 9: C ^ G, что р = 9в. Из рп(9в) = рпр = рпп = хв вытекает, что последовательность (2) р-чисто
точна.
Перейдем к последовательности (3). Пусть рпп = aх, где п 6 Hom(G, B), х 6 Hom(G, A). Тогда рпп отображает группу G
в aA, а п отображает G в рФnaA. Подгруппа aA служит прямым слагаемым в р~naA, т.е. р~naA = aA ф B’. Если п —
проекция на первое слагаемое, то для р = aф1пп 6 Hom(G, A) выполнено рпap = aх, т.е. (3) р-чисто точна.
21.26. Можно ограничиться случаем р-групп. Поэтому покажем, что если A есть р-группа, то группа H = Hom(A, G)
полна в своей р-адической топологии. Предположим, что элемент п 6 H делится на любую степень числа р. Если a 6 A
имеет порядок рк и ркх = п, то пa = ркхa = 0, откуда п = 0, т.е. группа H хаусдорфова. Пусть, далее, п1, п2, … —
последовательность Коши в группе H. Можно считать, что она чистая: пп+ 1 — пп = рпхп 6 рпH для любого n. Положим
п = п1+ (п2 — п0 + … + (пп+1 — пп)+ Это гомоморфизм A ^ G. Кроме того, п — пп = (пп+1 — пп) + (пп+2 — пп+1) + … =
рп(хп + рхп+1 + …), где хп + рхп+1 + … снова принадлежит H, т.е. п — предел данной последовательности. Следовательно,
H — полная группа.
21.27. Точная последовательность 0 ^ B -—-+ A ^ A/B ^ 0 индуцирует точную последовательность

192  ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Группы гомоморфизмов. 

Значит, Hom (A, C) можно рассматривать как подгруппу группы Hom(B, C). Осталось показать, что соответствующая
факторгруппа есть группа без кручения. Если pnп = xa, где х 6 Hom (A, C), п 6 Hom (B, C), то можно определить 9: A — C
как 9 a = xg + пЬ, если a 6 A и a = png + ab (g 6 A, b 6 B). Нетрудно проверить, что 9 является гомоморфизмом со свойством
9a = п. Это и требовалось.

22. Группы расширений. Тензорные и периодические произведения

22.7. Если a1, … , an — эндоморфизмы группы A, то (a1 + .. . + an)* = (a1)* +… + (an)*. Так как, очевидно, 1a индуцирует
1Ext(c, A), выбрав a1 = … = an = 1a, получим требуемое. Доказательство для случая группы C аналогично.
Умножение на целое p-адическое число £ в группе A индуцирует эндоморфизм £* группы Ext(C, A). Число £ является
пределом последовательности ni 6 Z (i = 1, 2, …) в p-адической топологии, p% \ £ — ni для каждого i, по доказанному, £* —
предел умножений на ni. Значит, £* можно отождествить с умножением на £.
22.9. Возьмем точные последовательности 0 — Gi — Fi — Ci — 0, где Fi — свободные группы. Эти последовательности
индуцируют точную последовательность 0 — фGi — фFi — фCi — 0. Имеем
Hom(Fi, A) — Hom(Gi, A) — Ext(Ci, A) — Ext(Fi, A) = 0.
Это дает коммутативную диаграмму с точными строками
П Hom(Fi, A) — П Hom(Gi, A) — П Ext(Ci, A) — 0
I I
Hom^Fi, A) — Hom(фGi, A) — Ext(фCi, A) — 0,
где вертикальные изоморфизмы естественные. Следовательно, существует естественный изоморфизм ]^[ Ext(Ci, A) = Ext(фCi, A).
Доказательство второго изоморфизма проводится двойственным образом.
22.10. а) Последовательность 0 —— Z -—-— Z —— Z/mZ = Zm —— 0 (где m — умножение на число m) точна. Поэтому последовательность
Hom(Z, A) —— Hom(Z, A) — Ext(Zm, A) — 0
также точна (m* также действует как умножение на m). Так как существует естественный изоморфизм Hom(Z, A) = A, то
группа Ext (Zm, A) изоморфна группе A/mA, причем это опять естественный изоморфизм.
б) Так как последовательность 0 — A [m] — A -—— mA — 0 точна, получаем индуцированную точную последовательность
Ext(mA, Zm) —— Ext(A, Zm) — Ext(A[m], Zm) — 0.
Образ первого отображения здесь нулевой, откуда получается требуемый изоморфизм.
22.13. 1) Последовательность 0 — C -—— C точна. Поэтому точна последовательность Ext (C, A) —— Ext (C, A) — 0.
2) Пусть D — делимая оболочка группы A. Тогда D/A — периодическая группа с нулевой p-компонентой, откуда Hom (C, D/A) =
0. Теперь утверждение вытекает из точности последовательности
Hom(C, D/A) — Ext(C, A) — Ext(C, D) = 0.
22.14. Из точной последовательности 0 — A — D — D/A — 0 (так как D — группа без кручения) получаем точную
последовательность
0 = Hom(C, D) — Hom(C, D/A) — Ext(C, A) — Ext(C, D) = 0,
откуда следует справедливость требуемого утверждения.
22.15. Пусть B — p-базисная подгруппа группы A. В точной последовательности 0 — B — A — A/B — 0 факторгруппа
A/B p-делима и имеет нулевую p-компоненту. Поэтому Hom(Zp^, A/B) = 0 и Ext(Zp^, A/B) = 0. Следовательно, точна
последовательность 0 — Ext(Zp^, B) — Ext(Zp^, A) — 0, т.е. Ext(Zp^, A) = Ext(Zp^, B). Здесь B — свободная группа
ранга m, ее делимой оболочкой является группа ф Q. Факторгруппа делимой оболочки по подгруппе B — это группа ф Q/Z.
Это и свойства группы гомоморфизмов дают требуемый изоморфизм.
22.16. 1) Имеем точную последовательность 0 — T — C — C/T — 0, где T — периодическая группа, C/T — группа без
кручения. Поэтому индуцированная последовательность
0 = Hom(T, A) — Ext(C/T, A) — Ext(C, A) — Ext(T, A) — 0
точна. Группа Ext (C/T, A) делима. Значит, эта последовательность расщепляется: Ext (C, A) = Ext (C/T, A) ф Ext (T, A).
Второе слагаемое алгебраически компактно, что доказывает данное утверждение.
2) Без ограничения общности можно предполагать, что группа A редуцированная. Значит, A служит прямым слагаемым
для прямого произведения циклических p-групп. При умножении на pn группа Ext (C, Zp«) обращается в нуль, поэтому она
является ограниченной группой. Согласно 22.9 группа Ext(C, A) — прямое слагаемое прямого произведения таких групп,
поэтому она алгебраически компактна.
22.22. Из чисто точной последовательности 0 — A — А — A/A — 0 получите точную последовательность

193 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Группы гомоморфизмов. 

22.30. 1) Если G — копериодическая группа и G — H — 0 — точная последовательность, то точна последовательность
0 = Ext (Q, G) — Ext (Q, H) — 0. Откуда Ext (Q, H) = 0.
2) Точная последовательность 0 — H — G — G/H — 0 дает точную последовательность
0 = Hom (Q, G) — Hom (Q, G/H) — Ext (Q, H) — Ext (Q, G) = 0.
Откуда Ext (Q, H) = Hom (Q, G/H). Вторая из этих групп равна нулю, если и только если G/H — редуцированная группа.
4) Получите точную последовательность
0 = Ext (Q, H) — Ext (Q, G) — Ext (Q, G/H) = 0.
22.31. 2) Получите точную последовательность
0 = Hom (Q, G) — Hom (Z, G) = G — Ext (Q/Z, G) — Ext (Q, G) = 0.
22.33. Пусть G — редуцированная копериодическая группа. Точная последовательность 0 — G — D — D/G — 0, где D —
делимая группа, дает точную последовательность
Hom(Q/Z, D/G) — Ext(Q/Z, G) — Ext(Q/Z, D) = 0.
Здесь Hom (Q/Z, D/G) — алгебраически компактная группа, тогда как средняя группа изоморфна группе G.
22.35. 1) Пусть G — периодическая копериодическая группа. Тогда G/G1 — редуцированная периодическая алгебраически
компактная группа, поэтому она является ограниченной группой. Значит, mG С G1 для некоторого натурального числа m.
Откуда mG С nmG для любого n, т.е. mG = G1 — делимая группа, что доказывает необходимость. Достаточность очевидна.
2) В группе без кручения G подгруппа G1 делима. Поэтому G = R ф G1, где подгруппа R = G/G1 является алгебраически
компактной.
3) Точная последовательность 0 — A — D — D/A — 0, где D — делимая группа, дает точную последовательность
Hom(C, D/A) — Ext(C, A) — Ext(C, D) = 0.
Здесь первая группа алгебраически компактна, а группа Ext (C, A) является ее эпиморфным образом.
22.38. Получите точную последовательность 0 = Hom(Q, T) — Hom(Z, T) = T — Ext(Q/Z, T) — Ext(Q, T) — Ext(Z, T) =
0. Теперь утверждение вытекает из того, что Ext(Q, T) — делимая группа без кручения.
22.39. Точная последовательность 0 — T — A — J — 0 дает точную последовательность 0 = Hom(Q/Z, J) — Ext(Q/Z, T) —
Ext(Q/Z, A) — Ext(Q/Z, J) — 0. Здесь последняя группа изоморфна группе Hom(Q/Z, D/J), где D — делимая оболочка
группы J. Поэтому группа Ext(Q/Z, J) является прямым произведением групп Hom(Zp^ , D/J), где p пробегает все простые
числа, эти группы являются группами без кручения. Так как Ext(Q/Z, T) есть копериодическая группа, то последняя точная
последовательность расщепляется. Отсюда получается требуемый изоморфизм.
22.40. Существует чисто точная последовательность 0 — H — F — T — 0, где F и, значит, H — прямые суммы конечных
циклических групп. Так как Pext(F, A) = 0, то точна последовательность
0 — Hom(T, A) — Hom(F, A) — Hom(H, A) — Pext(T, A) — 0.
Алгебраически компактная группа Hom(T, A) служит прямым слагаемым для группы Hom (F, A). Отсюда получается точная
последовательность
0 — G — Hom(H, A) — Pext(T, A) — 0,
где G и Hom(H, A) — редуцированные алгебраически компактные группы. Получаем точную последовательность
0 = Hom(Q, Hom(H, A)) — Hom(Q, Pext(T, A)) — Ext(Q, G) = 0.
Это показывает, что Pext (T, A) и, значит, Ext (T, A) — редуцированные группы.
22.46. Достаточно рассмотреть случай, когда группа A редуцированная. Получите точную последовательность 0 — A —
Ext(Q/Z, A) — Ext(Q, A) — 0, где Ext(Q, A) — делимая группа без кручения. Достаточно взять G = Ext(Q/Z, A).
22.51. 2) Элементы группы Z 0 C могут быть приведены к виду
(ni 0 «) = £ (1 0 nici) = 1 0 nici = 1 0 c
для некоторого c 6 C. Отображение р: c — 1 0 c является эпиморфизмом группы C на Z 0 C. Отображение (m, c) — mc
является билинейным. Поэтому существует такой гомоморфизм ф: Z 0 C — C, что ф : 1 0 c — c. Отображения р и ф взаимно
обратные.
Отображение р: c — 1 0 c является эпиморфизмом группы C на группу Zm 0 C, mC С Ker р. Билинейное отображение
(n, c) — nc + mC индуцирует такой эпиморфизм ф: Zm 0 C — C/mC, что фр является каноническим отображением C —
C/mC. Откуда Ker р = mC.

194  ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Группы гомоморфизмов. 

22.64. Пусть A, C — периодические группы и B, D — их базисные подгруппы соответственно. Тогда A 0 C = B 0 D. Здесь
B и D — прямые суммы циклических групп, то же должно иметь место для B 0 D .
22.65. Точная последовательность 0 — B — A — A/B — 0 индуцирует точную последовательность
0 — B 0 C — A 0 C — (A/B) 0 C — 0.
Здесь (A/B) 0 C есть p-делимая группа без кручения, т.е. p-базисные подгруппы группы B 0 C одновременно являются p-
базисными подгруппами группы A 0 C. Повторяя эти рассуждения, получаем, что B 0 D есть p-базисная подгруппа группы
A 0 C.
22.66. Проверьте сначала, что ядро естественного эпиморфизма A0C — A/t(A)0C/t(C) является подгруппой, порожденной
подгруппами A 0 t(C) и t(A) 0 C (покажите, что последние группы можно отождествить с подгруппами группы A 0 C).
Далее, обоснуйте, почему
A 0 t(C) o [t(A) 0 t(C)] ф [A/t(A) 0 t(C)],
t(A) 0 C o [t(A) 0 t(C)] ф [t(A) 0 C/t(C)].
Доказательство вытекает из того, что пересечение последних групп совпадает с t(A) 0 t(C).
22.68. 5) Если (ait + … + aik, m, c) (ai 6 Ai) — образующий элемент группы Tor( A, C), то m(ait + … + aik) = 0 = mc.
Значит, mail = … = maik = mc =0. Поэтому в группе Tor(A, C) выполнено равенство
(ait + … + aik, m, c) = (a^, m, c) + … + (aik, m, c).
Тройки вида (ai, m, c) при фиксированном i порождают подгруппу группы Tor (A, C), изоморфную группе Tor (Ai, C). Эти
подгруппы порождают подгруппу, являющуюся их прямой суммой и совпадающую с группой Tor (A, C).

195 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Группы гомоморфизмов.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика