Группы расширений. Тензорные и периодические произведения

128 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. 

D — делимая часть группы G, C — урегулированная копериодическая группа, A — редуцированная алгебраически
компактная группа без кручения. Это разложение определено однозначно с точностью до изоморфизма, так как
D и C 0 D — однозначно определенные подгруппы группы G. Группы A и D можно полностью охарактеризовать
с помощью инвариантов, являющихся кардинальными числами. Следовательно, структурная проблема для
копериодических групп сводится к случаю урегулированных копериодических групп. В силу следующей теоремы
структурная проблема для этих групп эквивалентна такой же проблеме для редуцированных периодических групп.
Теорема 22.2. Соответствие T — Ext (Q/Z, T) = G дает взаимно однозначное отображение класса редуцированных
периодических групп T на класс урегулированных копериодических групп G. Обратное отображение
является взятием периодической части группы G.
Эта теорема сопоставляет группе G те же инварианты, какими обладает группа T, поэтому ее можно считать
структурной теоремой для урегулированных копериодических групп в тех случаях, когда группа T известна.
Пусть A — редуцированная группа. Обозначим A• = Ext (Q/Z, A). Существует естественный мономорфизм x: A —
A*. Поэтому A можно отождествить с подгруппой группы A• такой, что A*/A — делимая группа без кручения.
Группа A — копериодическая в том и только в том случае, когда x является изоморфизмом. Кроме того, A** = A•
для любой группы A. Если G — такая редуцированная копериодическая группа, что A С G, то A• С G• = G.
Отсюда следует, что A• — минимальная редуцированная копериодическая группа, содержащая группу A. Поэтому
группу A• можно рассматривать как копериодическую оболочку группы A. Если A — не редуцированная группа
и D — ее делимая часть, то D 0 A• является копериодической оболочкой группы A. Копериодическая оболочка
определяется однозначно с точностью до изоморфизма над A.
Ряд упражнений и важнейших свойств тензорного произведения модулей включены в § 18. Для абелевых групп A,
C (как Z-модулей) вместо A 0z C пишут A 0 C. Группа A 0 C называется тензорным произведением групп A и C.
Функция g: AxC — G, где G — произвольная группа, называется билинейной, если для любых элементов a, aj, a2 €
A, c, cj, C2 € C имеют место равенстваg(aj + a2, c) = g(aj, c)+ g(a2, c), g(a, cj + C2) = g(a, cj)+g(a, C2). Билинейная
функция является Z-сбалансированной в смысле § 18. Главные факты о сбалансированных отображениях собраны
в теореме 18.1. Для удобства использования частично повторим ее.
Теорема 22.3. Если g: A x C — G — какая-то билинейная функция, то имеется единственный гомоморфизм
Ф: A 0 C — G, для которого коммутативна диаграмма
A x C -— A0C
i g i V
G G,
где e: (a,c) — a 0 c — так называемое тензорное отображение.
Из теоремы 22.3 выводится, что всегда A 0 C = C 0 A (см. 18.3).
Пусть a: A — A’ и y : C — C’ — гомоморфизмы групп. Существует однозначно определенный гомоморфизм ф: A 0
C — A’ 0 C’, для которого ^>(a 0 c) = aa 0 yc. ф обозначают как a 0 y и говорят еще, что он индуцируется a и y.
Более кратко иногда пишем a* = a 0 1с, Y* = 1a 0 Y.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 22.4. Тензорное произведение является аддитивным бифунктором из категории Ab x Ab в категорию
Ab, ковариантным по обоим аргументам (более общая формулировка приведена в 18.14).
Теорема 22.5. (Ср. с упр. 18.11). Если A -— B C — 0 — точная последовательность и G — произвольная
группа, то индуцированная последовательность A 0 G -— B 0 G -U C 0 G — 0 точна.
Теорема 22.6. Если 0 — A -— B -U C — 0 — чисто точная последовательность, то для любой группы G
последовательность 0 — A 0 G -— B 0 G C 0 G — 0 чисто точна.
В случае, когда один из множителей является периодической группой, вопрос о строении тензорного произведения
решается до конца, задачи 22.62 — 22.64. О строении тензорных произведений групп без кручения известно по
существу мало. Лучшее, что в общем случае можно сделать, — найти некоторые инварианты для группы A 0 C.
Если даны группы A и C, то их периодическим произведением Tor (A, C) называется абелева группа, образующие
которой — все тройки (a, m, c), где a € A, c € C, m € Z и ma = mc = 0, а определяющие соотношения:
(aj + a2, m, c) = (aj, m, c) + (a2, m, c), если maj = ma2 = mc = 0,
(a, m, cj + c2) = (a, m, cj) + (a, m, c2), если ma = mcj = mc2 = 0,
(a, mn, c) = (na, m, c), если mna = mc = 0, (a, mn, c) = (a, m, nc), если ma = mnc = 0.
Очевидно, что Tor (A, C) = Tor (C, A). Элементами группы Tor (A, C) являются конечные суммы вида ^ (ai, mi, ci),
где miai = mici = 0.
Если a: A — A’ и y : C — C’ — гомоморфизмы, то соответствие (a, m, c) — (aa, m, yc) между образующими
однозначно продолжается до гомоморфизма Tor (a, y) : Tor (A, C) — Tor (A’, C’).

129 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. 

Теорема 22.7. Периодическое произведение является аддитивным бифунктором из категории Ab х Ab в категорию
Ab, ковариантным по обоим аргументам.
Пусть E : 0 — A —а— B —в— C — 0 — короткая точная последовательность и (с, т, д) — образующий элемент
группы Tor (C, G). Существуют такие элементы b Е B, а Е A, что /3b = с, аа = mb (так как тс = 0). Отображение
E*: (с, т, д) — а 0 д продолжается до гомоморфизма E*: Tor (C, G) — A 0 G.
Теорема 22.8. Если последовательность E точна, то для любой группы G точна индуцированная последовательность
0 — Tor (A, G) ^ Tor (B, G) —— Tor (C, G) —
—— A 0 G —— B 0 G —— C 0 G — 0.
Здесь а*, в* — сокращенные обозначения отображений Tor (а, 1g), Tor (в, 1g).
Задачи
22.1. 1) Если E — расширение из диаграммы (1), то расширения p.E и Ev расщепляются.
2) Если (а, в, y) : E — E’ — морфизм в категории E, то аE = E’y.
22.2. Группа G обладает тем свойством, что для любого эпиморфизма в: B — C индуцированное отображение
в*: Ext (C, G) — Ext (B, G) является мономорфизмом тогда и только тогда, когда G — делимая группа.
22.3. Группа G является свободной тогда и только тогда, когда для любого мономорфизма а: A — B отображение
а*: Ext (G, A) — Ext (G, B) — мономорфизм.
22.4. Если в: B — C — эпиморфизм, и в*: Ext (C, G) — Ext (B, G) — мономорфизм при любой группе G, то Ker в
служит прямым слагаемым для группы B.
22.5. Если а: A — B — мономорфизм, и а*: Ext (G, A) — Ext (G, B) — мономорфизм при любой группе G, то
аA — прямое слагаемое группы B.
22.6. Имеют место изоморфизмы: Ext (Q, Z) = П Q и Ext (Zp^, Zp) = Zp.
Ко
22.7. Умножение на целое число n в группе A или в группе C индуцирует умножение на n в группе Ext (C, A). То
же имеет место для целых р-адических чисел.
22.8. 1) Для группы C имеет место Ext (C, A) = 0 при любой группе A в том и только в том случае, когда C —
свободная группа.
2) Для группы A имеет место Ext (C, A) = 0 при любой группе C в том и только в том случае, когда A — делимая
группа.
22.9. Существуют естественные изоморфизмы
Ext (0 Ci, A) = fi Ext (Ci, A), Ext (C, Ai) = Ext (C, Ai).
iei iei iei iei
22.10. Для любой группы A и любого целого числа т имеют место изоморфизмы:
а) Ext (Zm, A) = A/mA и б) Ext (A, Zm) = Ext (A [m], Zm).
22.11. 1) Если mA = 0 или mC = 0, то m Ext (C, A) = 0.
2) Если mA = A, то mExt (C, A) = Ext (C, A).
22.12. 1) Автоморфизм а группы A индуцирует автоморфизм а* группы Ext (C, A).
2) Автоморфизм y группы C индуцирует автоморфизм Y* группы Ext (C, A).
22.13. 1) Если C [m] = 0, то mExt (C, A) = Ext (C, A), в частности, если C — группа без кручения, то Ext (C, A) —
делимая группа.
2) Если A является р-делимой группой, а C есть р-группа, то Ext (C, A) = 0.
22.14. Покажите, что если A — группа без кручения, C — периодическая группа, то Ext(C, A) = Hom (C, D/A),
где D — делимая оболочка группы A. Следовательно, Ext (C, A) — редуцированная алгебраически компактная
группа.
22.15. Если A — группа без кручения, р-базисная подгруппа которой имеет ранг m, то группа Ext (Zp^, A) изоморфна
р-адическому пополнению группы 0 Zp.
22.16. 1) Если A — группа без кручения, то группа Ext (C, A) алгебраически компактна для любой группы C.
2) Если группа A алгебраически компактна, то Ext (C, A) — редуцированная алгебраически компактная группа.

130 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. 

или равна 0.
22.18. Равенство рExt (C, A) = Ext (C, A) справедливо тогда и только тогда, когда C [р] = 0 или рA = A.
22.19. Ext (Qp, Z) = Zp« 0 П Q.
Ко
22.20. 1) Ext (Qp, Qp) = 0 и Ext (Q, Qp) = П Q.
Ко
2) Ext (Zp, Z) = Zp« 0 П Q и Ext(Zp, Qp) = Ext (Zp, Z).
2*0
22.21. 1) Группа A обладает свойством, что Pext (C, A) = 0 для любой группы C тогда и только тогда, когда A
алгебраически компактна.
2) Для группы C выполнено Pext (C, A) = 0 при любой группе A тогда и только тогда, когда C — прямая сумма
циклических групп.
22.22. Если A — такая группа, что A1 = 0, то Pext (Q/Z, A) = Hom (Q/Z, A/A), где A есть Z-адическое пополнение
группы A.
22.23. Расширение 0 — A —— B —— C — 0 лежит в подгруппе Фраттини группы Ext (C, A) тогда и только тогда,
когда Im л — слабо чистая подгруппа группы B.
22.24. Последовательность 0 — A —— B —— C — 0 является р-чисто точной тогда и только тогда, когда она
представляет элемент из рш Ext (C, A).
22.25. Имеют место естественные изоморфизмы:
Pext ( 0 Ci, A) = fi Pext (Ci, A), Pext (C, Ai) = Pext (C, Ai).
iei iei iei iei
22.26. Если группа A алгебраически компактна, и T — периодическая часть группы C, то имеет место естественный
изоморфизм Ext (C, A) = Ext (T, A).
22.27. Если A — группа без кручения, и T — периодическая часть группы C, то
Ext (C, A) = Ext (T, A) 0 Ext (C/T, A).
22.28. Если A — группа без кручения, и C — периодическая группа с базисной подгруппой B, то
Ext (C, A) = Ext (B, A) 0 Ext (C/B, A).
22.29. Группа G алгебраически компактна тогда и только тогда, когда Ext (Q, G) = 0 и Pext (Q/Z, G) = 0.
22.30. 1) Эпиморфный образ копериодической группы является копериодической группой.
2) Если G — редуцированная копериодическая группа, то ее подгруппа H является копериодической группой тогда
и только тогда, когда G/H — редуцированная группа.
3) Если G — редуцированная копериодическая группа, то для любого эндоморфизма <р группы G как Ker <р, так и
Im ф, — копериодические группы.
4) Если H — подгруппа группы G, причем H и G/H — копериодические группы, то группа G копериодическая.
5) Прямое произведение П Gi является копериодической группой тогда и только тогда, когда каждая Gi — копе-
риодическая группа.
22.31. 1) Если G — копериодическая группа, то Hom (A, G) является копериодической группой при любой группе
A.
2) Если G — редуцированная копериодическая группа, то существует естественный изоморфизм Ext (Q/Z, G) = G.
22.32. Редуцированная копериодическая группа G однозначно записывается в виде G = Gp, где Gp для каждого
p
простого числа р есть копериодическая группа, являющаяся р-адическим модулем (т.е. Zp-модулем).
22.33. Группа является копериодической тогда и только тогда, когда она — эпиморфный образ алгебраически
компактной группы.
22.34. Редуцированная копериодическая группа алгебраически компактна тогда и только тогда, когда ее первая
ульмовская подгруппа равна нулю.
22.35. 1) Периодическая группа является копериодической тогда и только тогда, когда она — прямая сумма делимой
группы и ограниченной группы.
2) Группа без кручения является копериодической тогда и только тогда, когда она алгебраически компактна.

131 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. 

3) Для любых групп A и C группа Ext (C, A) является копериодической.
22.36. Если G — редуцированная копериодическая группа и H — ее подгруппа, то существует единственная
минимальная копериодическая подгруппа группы G, содержащая H.
22.37. Если D — делимая оболочка копериодической группы G и E (С D) — делимая оболочка подгруппы G1, то
E + G — алгебраически компактная группа, являющаяся чисто инъективной оболочкой группы G.
22.38. Если T — редуцированная периодическая группа, то периодическая часть группы Ext (Q/Z, T) изоморфна
группе T, а факторгруппа по ней — делимая группа без кручения.
22.39. Если T — периодическая часть смешанной группы A, то
Ext (Q/Z, A) = Ext (Q/Z, T) 0 Ext (Q/Z, A/T).
22.40. Для любой периодической группы T группа Ext (T, A) является редуцированной.
22.41. Если T — периодическая группа, то Ext (Q/Z, T) — урегулированная копериодическая группа.
22.42. Пусть A, C — урегулированные копериодические группы и S, T — их периодические части. Тогда:
а) существует естественный изоморфизм Hom (A, C) = Hom (S, T);
б) Hom (A, C) — алгебраически компактная группа;
в) всякий гомоморфизм S — T может быть единственным образом продолжен до гомоморфизма A — C.
22.43. Если G — урегулированная копериодическая группа, и T — ее периодическая часть, то соответствие a —
a \ T есть изоморфизм между группами автоморфизмов групп G и T.
22.44. Редуцированная копериодическая группа является урегулированной тогда и только тогда, когда для каждого
простого числа p ее p-базисная подгруппа периодическая.
22.45. Пусть G — урегулированная копериодическая группа и T = t(G). Тогда \G\ ^ \T|^0, а если T = Tj 0 T2, то
существует прямое разложение G = Gj 0 G2 со свойством t(Gj) = Tj, t(G2) = T2.
22.46. Всякую группу A можно вложить в копериодическую группу G так, что G/A будет делимой группой без
кручения. Если группа A редуцированная, то группу G можно также выбрать редуцированной.
22.47. Если A и B — редуцированные группы, то гомоморфизм A — B можно единственным образом продолжить
до гомоморфизма A• — BV
22.48. Если A С G, где G — редуцированная копериодическая группа и G/A — делимая группа без кручения, то
группа G изоморфна над A группе A*.
22.49. 1) Если m\ a и n\ c, то mn\ a 0 c .
2) Если ma = 0 и nc = 0, то (m, n) (a 0 c) = 0.
3) Если m\ a и mc = 0, то a 0 c = 0.
22.50. 1) Если группа A или группа C является p-делимой (делимой), то A 0 C есть р-делимая (делимая) группа.
2) Если группа A или группа C является р-группой (периодической группой), то A0C есть р-группа (периодическая
группа).
3) Если A есть p-делимая группа, а C есть р-группа, то A 0 C = 0.
4) Если при некотором m € Z имеют место включения a € mA и c € C [m], то a 0 c = 0 в группе A 0 C.
5) Если hp(a) = то, а C есть p-группа, то a 0 c = 0 в группе A 0 C для любого c € C.
22.51. 1) hp(a 0 c) ^ hp(a) + hp(c).
2) Существуют естественные изоморфизмы Z 0 C = C и Zm 0 C = C/mC.
22.52. Если B — подгруппа, порожденная всеми гомоморфными образами группы A в группе C, то существует
эпиморфизм A 0 Hom(A, C) — B.
22.53. Существует естественный гомоморфизм A 0 П Ci — П (A 0 Ci), который в общем случае не является
iei iei
изоморфизмом.
22.54. Если A — группа без кручения, то a — 1 0 a — естественное вложение группы A в Q 0 A. В частности,
Q0A можно рассматривать как делимую оболочку группы A.
22.55. Если a: A — B — такой мономорфизм, что a 0 1g : A 0 G — B 0 G является мономорфизмом для любой
группы G, то Im a — чистая подгруппа группы B.
22.56. Последовательность 0 — A — B — C — 0 является чисто точной тогда и только тогда, когда для любого
натурального числа m индуцированная последовательность 0 — A 0 Zm — B 0 Zm — C 0 Zm — 0 точна.
22.57. Если A’, C’ — чистые подгруппы групп A и C соответственно, то при естественном вложении A’ 0 C’ в
A 0 C получается чистая подгруппа группы A 0 C.

132 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. 

22.58. Если всегда из точности последовательности 0 — A — B — C — 0 следует точность последовательности
0 — A 0 G — B 0 G — C 0 G — 0, то G — группа без кручения.
22.59. Если A или C есть р-адическая группа (т.е. Zp-модуль), то A 0 C есть р-адическая группа. Если п — целое
р-адическое число, то п(а 0 с) = па 0 с или п(а 0 с) = а 0 пс в зависимости от того, что имеет смысл.
22.60. Пусть A и C — группы без кручения и {а^iei, {с}jeJ — их максимальные независимые системы элементов
соответственно. Покажите, что {аi 0 сj }i,j — максимальная независимая система элементов группы A 0 C.
Проверьте равенство ro(A 0 C) = ro(A) ro(C) для произвольных групп A и C.
22.61. Пусть A и C — группы без кручения, и пусть рг | а0 с для некоторых а Е A, с Е C. Тогда существуют такие
неотрицательные целые числа r, s, что r + s = t и рг | а, рв | с.
22.62. Если C есть р-группа, а B есть р-базисная подгруппа группы A, то имеет место естественный изоморфизм
A 0 C = B 0 C.
Утверждение 22.62 позволяет определить строение тензорного произведения A0C для любой периодической группы
C. Если Bp есть р-базисная подгруппа группы A, а Cp есть р-компонента группы C, то A 0 C = 0 (A 0 Cp) =
p
0 (Bp 0 Cp). Полученный изоморфизм показывает, в частности, что A 0 C = t(A) 0 C 0 (A/t(A)) 0 C для любой
p
периодической группы C.
22.63. Если B — чистая подгруппа группы A и C — периодическая группа, то имеет место изоморфизм: A 0 C =
B 0 C 0 (A/B) 0 C.
22.64. Тензорное произведение периодических групп является прямой суммой циклических групп.
22.65. Если A и C — группы без кручения с р-базисными подгруппами B и D соответственно, то A0 C — группа
без кручения, р-базисная подгруппа которой изоморфна B 0 D.
22.66. Для любых групп A, C имеют место изоморфизмы
t(A 0 C) = [t(A) 0 t(C)] 0 [t(A) 0 C/t(C)] 0 [A/t(A) 0 t(C)],
(A 0 C)/t(A 0 C) = A/t(A) 0 C/t(C).
22.67. Если A/t(A) — делимая группа, то A 0 C = t(A) 0 C для любой периодической группы C.
22.68. 1) Tor (A, C) является периодической группой, это р-группа, если р-группой является A или C.
2) Имеет место естественный изоморфизм Tor (A, C) = Tor (t(A), t(C)).
3) Если nA = 0, то n Tor (A, C) = 0 для любой группы C.
4) Если A есть р-группа, а C есть g-группа, р, q — различные простые числа, то Tor (A, C) = 0.
5) Существует естественный изоморфизм Tor (0 Ai, C) = 0 Tor (Ai, C).
6) Если Ap и Cp — р-компоненты групп A и C соответственно, то имеет место изоморфизм Tor (A, C) = 0 Tor (Ap, Cp).
p
7) Умножение на целое число n в группе A или в группе C индуцирует умножение на n в группе Tor (A, C).
8) Для любой группы C существуют естественные изоморфизмы
Tor (Zm, C) = C [m], Tor(Zp«, C) = Cp и Tor (Q/Z, C) = t(C).
22.69. Tor (A, C) = 0 для каждой группы C в точности тогда, когда группа A не имеет кручения.
22.70. Если A’, B’ — чистые подгруппы групп A и B, то Tor (A’, B’) — чистая подгруппа группы Tor (A, B).
22.71. 1) Если последовательность 0 — Tor (A, G) — Tor (B, G) — Tor (C, G) — 0 точна для любой точной последовательности
0 — A — B — C — 0, то G — группа без кручения.
2) Если для точной последовательности 0 — A — B — C — 0 последовательность 0 — Tor (A, G) — Tor (B, G) —
Tor (C, G) — 0 точна при любой группе G (при любой группе G = Zm), то исходная последовательность чисто
точна.
22.72. Докажите законы ассоциативности:
(A 0 B) 0 C = A 0 (B 0 C) и Tor (Tor (A, B), C) = Tor (A, Tor (B, C)).

133 Группы расширений. Тензорные и периодические произведения.