§ 8. Исследование квадратного трехчлена

ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Исследование квадратного трехчлена

Содержание этого параграфа является дальнейшим развитием
тех сведений, которые изложены в § 7 гл. II.
Те о р ема 1. Если дискриминант квадратного трехчлена
отрицателен, трехчлен при всех значениях независимого пере-
менного имеет тот же знак> что и его старший коэффициент.
До к а з а т е л ь с т в о .
0**+ »* + c = a ( * ‘ + ! * + — i ) = a [ ( * + i ) ’ + ‘ J — ‘ £ . ] = ,
< ’ »
Так как b* — 4ас<[[0, выражение в,квадратных скобках представляет
собой сумму квадрата и положительного числа, т. е. при
всех значениях х является положительным числом. В силу этого
трехчлен имеет при всех значениях х тот же знак, что и коэффициент
а.
Доказанная террема имеет следующий геометрический смысл.
Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, график
его целиком расположен в верхней полуплоскости (т. е. в полуплоскости,
в которой ординаты положительны), когда а ]> 0, и в нижней
полуплоскости, когда а<^0. Напомним, что график квадратного
трехчлена называется параболой (рис. 101 и 102).
Т е о р ема 2. Если дискриминант квадратного трехчлена
равен нулю, трехчлен равен ну Лю при х — — а при всех

467 Исследование квадратного трехчлена. Кабинет Математики.

остальных значениях независимого переменного имеет тот же
знак, что и его старший коэффициент.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При Ь2 — 4 а с = 0 равенство (1) принимает
вид
+ + c = *
Выражение равно нулю при х — — а при
остальных значениях х имеет тот же знак, что и а.
Доказанная теорема имеет следующий геометрический смысл.
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, график его
касается оси Ох в точке х = — и расположен в верхней полуплоскости,
когда а^> 0, и в нижней , полуплоскости, когда О
(рис. 103 и 104).
Т е о р ема 3. Если дискриминант квадратного трехчлена положителен,
трехчлен обращается в нуль в двух различных
точках х г и х %. Во всех точках, лежащих вне промежутка
(x lt х%), трехчлен имеет знак своего старшего коэффициента,
а во всех точках внутри этого промежутка имеет знак, противоположный
знаку старшего коэффициента.
До к а з а т е л ь с т в о .
а х* -\-Ь х -\-с = а ( х — х { )(х — лг2). (2)
Трехчлен обращается в нуль при x = x t и х = ^ х ь причем х х ^ х ^
Пусть x t <^x^. Выясним сначала знак трехчлена вне промежутка
( х х, лг9), т. е. при x < ^ x t и при х ^> х ^.
Если х < ^ х ь то х<^Хъ и произведение ( х — х х) ( х — дг9) положительно.
Значит, правая часть равенства (2) имеет тот же знак,
что и коэффициент а.

468 Исследование квадратного трехчлена. Кабинет Математики.

Если лг^>лг2, то х Х \ и произведение (лг— лг^лг— лг2) опять
положительно и правая часть равенства (2) опять имеет тот же знак,
что и коэффициент а.
Осталось рассмотреть, какрй знак имеет трехчлен при лг, лежащем
внутри промежутка между корнями.
Пусть X i< ^ x< ^ x ^ В этом случае лг — х г^>0, а лг — лг2< 0 .
Произведение (лг — х±)(х — х%) отрицательно, и правая часть равенства
(2) имеет знак, противоположный знаку коэффициента а.
Доказанная теорема имеет следующий геометрический смысл. Если
дискриминант квадратного трехчлена положителен,, график его пересекает
ось Олт в двух точках. Если при этом старший коэффициент
трехчлена положителен, график .трехчлена, за исключением дуги, отсекаемой
осью Ох, находится в верхней полуплоскости. Если же
старший коэффициент трехчлена отрицателен, график его, за исключением
дуги, отсекаемой осью Ох, находится в нижней полуплоскости
(рис. 105 и 106).
у-ах2- Ьх-с
а<0. Ъ*-<кхс>0
Рис. 106.
Задача. Моторная лодка, пройдя по течению реки расстояние
S км от пункта А до пункта В, повернула обратно в пункт А.
Не доехав до А р км, лодка остановилась. На весь путь от А до В
и обратно до остановки лодка потратила t часов. Определить собственную
скорость лодки (скорость в стоячей воде), если скорость
течения реки а км/час.
Реше н и е . 1. Пусть собственная скорость лодки равна лт км/час.
Тогда скорость лодки, идущей по течению, (лг-|-а) км/час; скорость
лодки, идущей против течения, (лг — а) км/час.
Путь,, пройденный лодкой по течению, S км. Путь, пройденный
лодкой против течения, (S—р) км. Время движения лодки по тече-
нию —5г— час. Время движения лодки против течения —S—— — ■— о х «j- а х ~ час.

469 Исследование квадратного трехчлена. Кабинет Математики.

Так как лодка находилась в движении t часов, то получаем следующее
уравнение:
470 н е р а в ен с т в а [гл . к
х +
2. Посмотрим, какие ограничения для неизвестного и параметров
вытекают из условия задачи. Собственная скорость лодки должна
быть больше скорости течения реки, так как иначе лодка не сможет
плыть против течения реки, следовательно, х~^>а. Очевидно, что
5 > Г » Р > 0; < > 0 .
3. Составим систему уравнений и неравенств, которым должно
удовлетворять решение задачи:
S t S—P
х + а 1 х — а
х > 0 ,
при условии S^>p; р^> 0; / > 0.
4. Решим систему:
-t,
/ (лг9 — а9) = S (лг — a )4 — (S—р) (лг -f- и),
/лг9 — (2S — р ) х — и (at — р) = О,
(Ж- р ) ± y№ — p ) * + 4at(at-p)
х — : 5
Теперь нужно выяснить, действительны ли корни квадратного
уравнения и удовлетворяют ли они требованию лг^>а. С этой целью
рассмотрим квадратный трехчлен
/(лг) = /лг9 — (2S—р ) х — а (at — р).
Определим знак трехчлена при х = а:
f (a) = — 2 Sa -f- 2 ар = — 2а (S — р),
следовательно, f(a )< ^ 0, Старший коэффициент / трехчлена положителен.
Из теорем, доказанных в этом параграфе, легко вывести утверждение:
если квадратный трехчлен при лг = а имеет отрицательное
значение, а старший коэффициент трехчлена положителен, то дискриминант
трехчлена положителен и число а находится между корнями
трехчлена.
Поэтому корни лг£ и лг2 уравнения (3) действительны и
Бблыиий корень уравнения удовлетворяет всем условиям задачи.

470 Исследование квадратного трехчлена. Кабинет Математики.

Если бы мы не пользовались свойствами квадратного трехчлена,
то решение было бы сложнее. Тогда следовало бы представить
дискриминант уравнения в виде
4S(S— p) + (2at— p)\
показать, что он положителен, и, кроме того, доказать, что x t ^>a;
Ответ. х = У — р > + У ( Я — р Г + * ° т — р ) . _

471 Исследование квадратного трехчлена. Кабинет Математики.

Околоadmin