дома » Алгебра в школе » Изоморфизмы групп. Смежные классы

Изоморфизмы групп. Смежные классы

4. Изоморфизмы групп. Смежные классы.

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

litres728_90

Две группы (A, о) и (B, х) называются изоморфными, если они изоморфны как группоиды, т.е. если существует
биекция f: A B со свойством f (a о b) = f (a) х f (b) для всех a,b Е A.
Доказано, что всякая счетная группа может быть вложена в группу с двумя образующими, а множество всех
неизоморфных групп с двумя образующими имеет мощность континуума. Множество всех неизоморфных групп
бесконечной мощности m имеет мощность 2m. Построены примеры бесконечных p-групп с конечным числом k
образующих, здесь p — любое простое число, k — любое натуральное число ^ 2 .
Изоморфизм группы на себя называется ее автоморфизмом. Множество автоморфизмов группы G относительно
операции композиции образует группу Aut G, она является подгруппой группы биекций S(G).
Пусть H — подгруппа группы G. Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество gH
элементов вида gh, где g — фиксированный элемент из G, а h пробегает все элементы подгруппы H. Элемент g
называется представителем смежного класса gH. Аналогично определяется правый смежный класс Hg. Между
множествами левых смежных классов группы G по подгруппе H и правых смежных классов по той же подгруппе
имеется биективное соответствие: gH Hg_1. Мощность множества левых смежных классов G/H называется
индексом подгруппы H в G и обозначается символом (G : H).
Задачи
4.1. Пусть на множестве G определены две алгебраические операции о и * такие, что x о y = y * x для всех x, y Е G.
Тогда если одна из пар (G, о) и (G, *) — группа, то группой является и вторая, причем (G, о) = (G, *).
4.2. Множество G всех пар (a, b) таких, что a Е R и b Е R \ {0}, с операцией (a, b) * (c, d) = (a + bc, bd) является
группой. Найдите в G два подмножества, каждое из которых относительно ограничения на нем операции * есть
группа, причем одна из них изоморфна группе R, другая — R*. Укажите в G все инволюции. Имеет ли G элементы
конечного порядка, большего двух?
4.3. На полуинтервале [0, 1) определена операция * следующим образом: a * b есть дробная часть числа a + b.
Получаемая таким образом группа изоморфна мультипликативной группе U всех комплексных чисел, имеющих
единичный модуль.
4.4. Пусть G = {x Е R\ \x\ < 1}. Определим на G операцию * следующим образом:
( x + y, если — 1 < x + y < 1,
x * y = < x + y — 1, если x + y ^ 1 ,
I x + y +1 , если x + y ^ —1 .

32 Изоморфизмы групп. Смежные классы.

Покажите, что (G, *) — группа и она не изоморфна группе U из 4.3.
4.5. Множество G = {e, a, b, c} является группой относительно операции, заданной следующей таблицей умножения:

Эта группа коммутативна, но не циклическая. Каковы порядки ее неединичных элементов? Покажите, что G = V4
(см. 3.8 е)), V4 = (a,b \ a2 = b2 = e, ab = ba) и V4 изоморфна группе из 3.10 а).
4.6. Если 0 = a Е Q, то отображение f: x ^ ax является автоморфизмом группы Q. Найдите все автоморфизмы
этой группы.
4.7. Пусть G — ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном
промежутке содержится лишь конечное число ее элементов. Тогда G = Z.
4.8. Установите изоморфизм между группой комплексных корней степени n из 1 и группой вычетов по модулю n.
4.9. Пусть G = {1, —1, i, j, k, —i, —j, —k} (здесь знак «—» служит лишь для различения некоторых элементов)
и • — бинарная операция на G, заданная таблицей:

Эта группа часто обозначается через Qs, а всякая изоморфная ей группа называется группой кватернионов.
4.10. Какие из групп (g), порожденные элементом g Е G, изоморфны:
а) G = С*, g = — -L + ^i;
б) G = GL(2, С), g = ( 0 0
в) G = S6 , g = (32651); г) G = C*, g = 2 — i;
д) G = R*, g = 10; е) G = C*, g = cos |n + i sin 6 n;
ж) G = Z, g = 3?
4.11. Найдите смежные классы:
а) группы Z по подгруппе nZ, где n — натуральное число;
б) группы С по подгруппе Z[i] целых гауссовых чисел;
в) группы R по подгруппе Z;
г) группы С по подгруппе R;
д) группы С* по подгруппе чисел с модулем 1;
е) группы С* по подгруппе R*;
ж) группы С* по подгруппе R+;
з) группы подстановок Sn по стационарной подгруппе элемента n;
и) аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе
многочленов степени не выше 3;

33 Изоморфизмы групп. Смежные классы.

к) циклической группы (a) порядка 6 по подгруппе (a4).
4.12. Пусть g Е GL(n, С) и H = SL(n, С). Смежный класс gH состоит из всех матриц a Е GL(n, С), определитель
которых равен определителю матрицы g.
эквивалентны.
4.14. Пусть K — правый смежный класс группы G по подгруппе H. Тогда если x, y, z Е K, то xy_1z Е K.
4.15. Пусть K — непустое подмножество в группе G, причем, если x, y, z Е K, то xy_1z Е K. Тогда K является
правым смежным классом группы G по некоторой подгруппе H.
4.16. Пусть (G, •) — группа. Зафиксируем в G элемент x и зададим в G операцию a о b = a • x • b. Эта операция
задает на G новую группу, изоморфную (G, •) (см. 2.14).
4.17. Пусть x,y — элементы группы G и A, B — подгруппы в G. Тогда если xA П yB = 0 , то это множество
является левым смежным классом группы G по подгруппе A П B.
4.18. 1) Никакая группа не может быть произведением двух своих собственных сопряженных подгрупп.
2) Если в группе G индексы двух ее подгрупп A и B конечны и взаимно просты, то G = AB.
4.19. Пусть A и B — подгруппы группы G. Следующие условия равносильны:
а) AB С BA; б) AB = BA;
в) AB — подгруппа в G;
г) Ab П Ba = 0 для любых a Е A и b Е B.
4.20. Пусть A, B, C — подгруппы группы G, причем каждая из них содержится в произведении (в некотором
порядке) двух других. Тогда AB = BC = CA, кроме того, эти произведения являются подгруппами в G.
4.21. Если A, B, H — подгруппы группы G со свойством G = AB и A С H , то H = A(B П H).
4.22. Пусть A и B — подгруппы группы G. Тогда различные двойные смежные классы AgB (g Е G) попарно не
пересекаются и G разбивается в объединение двойных смежных классов по A и B.
4.23. Найдите все изоморфизмы между группами Z4 и Z|.
4.24. 1) Всякая группа порядка 6 либо циклическая, либо изоморфна S3 .
2 ) Z6 = (a,b \ a3 = b2 = e, ab = ba), а S3 = (a, b \ a2 = b3 = (ab) 2 = e) = (a, b \ a2 = b2 = (ab) 3 = e) и S3 изоморфна
группе из 3.10 б).
3) Группа A4 не содержит подгрупп порядка 6 , хотя число 6 делит ее порядок 12.
4.25. Если A — подгруппа группы G и g Е G, то gAg С A в точности тогда, когда A U gA — подгруппа в G.
4.26. Пусть G — множество всех пар элементов (a,b), a = 0, из поля P. На G задана операция (a,b) о (c, d) =
(ac, ad+b). Докажите, что G является группой, изоморфной группе всех линейных функций x ^ ax+b относительно
композиции.
4.27. 1) Группа R+ изоморфна группе R.
2) Группа Q+ не изоморфна группе Q.
4.28. Найдите все (с точностью до изоморфизма) группы, каждая из которых изоморфна любой своей неединичной
подгруппе.
4.29. Подгруппа H индекса 2 любой группы G содержит квадраты всех элементов из G.
операцией умножения матриц.
4.31. Группы QXl и QX 2 не изоморфны при П1 = П2 .
4.32. Группа Q не содержит собственных подгрупп конечного индекса, а также максимальных подгрупп.
4.33. Пусть A, B — подгруппы группы G конечного индекса. Тогда:
а) если A С B и (B : A) = n, а (G : B) = m, то (G : A) = nm;
В частности, пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса — снова подгруппа конечного индекса. Приведите
пример бесконечной группы, в которой пересечение всех подгрупп конечного индекса совпадает с единичной
4.13. Пусть x,y — элементы группы G и A, B — подгруппы в G. Свойства: а) xA С yB и б) A С B и y 1x Е B
4.30. Группа С* изоморфна группе всех невырожденных матриц вида x
y
б) (A : A П B) ^ (G : B);
в) (G : A П B) ^ (G : A)(G : B).
подгруппой.

34 Изоморфизмы групп. Смежные классы.

4.34. С точностью до изоморфизма существует лишь конечное число групп данного порядка n.
4.35. Матрицы:
±е=± ( 0 0), ±=± ( 0 -i), ± J = ± ( — — 1 1 ) , ± K = ± ( 0 0
относительно умножения образуют группу, изоморфную Qg.
4.36. Докажите, что Aut Z3 0 = Aut Z1 5 .
4.37. Если \G\ > 2, то \ Aut G\ > 1.
4.38. Найдите с точностью до изоморфизма группы, которые: а) не имеют, б) имеют только одну, в) имеют только
две, г) имеют только три нетривиальные подгруппы.
4.39. Найдите с точностью до изоморфизма конечные группы, которые имеют только одну максимальную подгруппу
(только две максимальные подгруппы).
4.40. 1) Группа SL(2, С) имеет только одну инволюцию.
2) Найдите все инволюции группы GL(2, С).
4.41. Пусть группа G порождается любыми двумя своими неединичными элементами. Тогда G = Zp для некоторого
простого числа р, или \G\ = 4.
4.42. Пусть A — группа. Положим M = {(a, s) \ a Е A, £ = ±1}. Зададим на M операцию * следующим образом:
(ab £1 ) * (a2′, £2 ) = (a1 a2 1, £1 £2 )-
Докажите, что:
а) D(A) = (M, *) — группа тогда и только тогда, когда группа A коммутативна;
б) если группа A коммутативна, то D(A) = A+ U A_, где A+ = {(a, 1) \ a Е A}, A_ = {(a, —1) \ a Е A}, причем
A+ относительно ограничения на ней операции * есть группа, изоморфная A, а A_ состоит из инволюций;
в) каждый элемент группы D(A) есть либо инволюция, либо произведение двух инволюций;
г) группа D(A) коммутативна тогда и только тогда, когда каждый неединичный элемент группы A есть инволюция;
д) если A и B — коммутативные группы и A = B, то D(A) = D(B).
4.43. Группа G с конечным числом образующих a1 , … , an может иметь лишь конечное число подгрупп данного
конечного индекса j.
4.44. 1) Sn = ((12), (12 . . . n ) ) .
2) Всякая конечная группа может быть вложена в группу с двумя образующими.

35 Изоморфизмы групп. Смежные классы.

,

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика