§ 5. О воспитании мировоззрения при
изучений математического анализа
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Ф. Энгельс говорил: «Поворотным пунктом в математике была
Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику
вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же
стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное
исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и
целом завершено, ^ не изобретено, Ньютоном и Лейбницем?1.
Далее он подчеркнул: «Лишь дифференциальное исчисление дает
естествознанию возможность изображать математически не только
состатщ, но п процессы; движение»2.
В этих двух цитатах содержится комплекс вопросов, которые
заслуживают освещения учителем в школе. Прежде всего следует
указать на то, что именно математический анализ ввел в математику
диалектику. Затем требуется осветить мысль о значении
математического анализа для естествознания и инженерного дела.
Наконец, заслуживает разъяснения замечание о том, что математический
анализ был не изобретен Ньютоном и Лейбницем, а завершен.
Мы перейдем теперь к осуществлению намеренной программы.
В § 3 мы изложили общую картину формирования математических
понятий на примере понятия числа. Оказалось, что математическое
понятие проходит длительный путь развития от первых
идей, связанных с рассмотрением частных примеров, до окончательно
формализованного и строго сформулированного определении.
Этот процесс можно проследить и на понятиях, с которыми
1 Э и т е л ь с Ф, Диалектика природы. — М а р к q К . , Э н г е л ь с Ф*
Соч., 2-е изд«, т, 20, с. 573,
2 Там же, с. 587.
46 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
связан математический анализ. Его основные идеи прослеживают
ся с времен Древней Греции и вновь широко начали разрабатываться
рядом математиков XVII столетия, получив достаточно
глубокое развитие.
Известно, что древнегреческий философ Демокрит (ок. 460—
ок. 370 гг. до н. э.) был одним из создателей стереометрии! Юн
нашел формулы для вычисления объема пирамиды и усеченной
пирамиды, предложил фактически метод неделимых, который
практически был переоткрыт двадцать с лишним веков спустя
Б. Кавальери. Демокрит представлял себе каждое тело составленным
из пластин очень малой высоты. Объем тела при таком представлении
являлся не чем иным, как суммой объемов этих пластин.
Эти же элементарные объемы, вычислялись по формуле объе-
. ма цилиндра. В конечном счете близкая идея положена в основу
вычисления площадей и объемов тел в интегральном исчислении.
Позднее великий Архимед использовал идеи Демокрита при
вычислении объема шара, тел вращения,.а также площади параболы.
Только Архимед дополнил рассуждения Демокрита новым
действием—переходом к пределу. Таким образом, в зачаточной
форме переход к пределу следует • отнести к временам Древней
Греции.
Знаменитый И. Кеплер (1571—1630) был велик не только своими
астрономическими работами, он внес большой вклад в развитие
стереометрии, найдя объемы 92 тел вращения, использовал
идеи метода неделимых. Почва для создания интегрального исчисления
Кеплером была хорошо подготовлена.
Б. Кавальери (1598—1647) вновь пришел к идее неделимых и
использовал ее для определения площадей плоских фигур и объе-
‘мов тел. Несомненно, что это уже было началом интегрального
исчисления. ‘
IT. Ферма (1601—1665) фактически ввел операцию разыскания ‘
производной и применил ее к разысканию экстремума функций
от одной независимой беременной. Сохранилась изящная формулировка
необходимого условия для экстремума функции, принадлежащая
П. Ферма: если дифференцируемая функции с непрерывной
первой производной имеет экстремум, то в точке экстремума
производная обращается в ноль. Он применил понятие производной
к задаче о разыскании уравнения касательной, нашел формулу
производной от степенной функции для случая отрицательных и
дробных показателей. Одновременно с Р. Декартом разрабатывал
идеи аналитической геометрии,, ввел несколько раньше Декарта
прямоугольные координаты, доказал, что прямая задается уравнением
первой степени, а конические сечения — уравнениями
второй степени, рассмотрел задачу преобразования координат
(перенос начала, поворот осей).
с Р. Декарт (1596—1650) вместе с П. Ферма является основоположником
аналитической геометрии, он ввел в рассмотрение понятия
переменной величины и функции, введением системы коорди-
47 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
доказал, что степень уравнения кривой не зависит от выбора декартовых
координат, решил задачу проведения касательной к
кривой.
И. Барроу (1630—1677) — учитель И. Ньютона по Кембриджскому
университету. Он является одним из основных предшест-
— веннико’в Г. Лейбница и И. Ньютона по разработке основ мада
матического анализа. Барроу установил «язи между операциями
дифференцирования и интегрирования. Им были найдены общие
формулы для длины дуги плоской кривой как в декартовых, так
и в полярных координатах. Его формулы сохранились и поныне,
нй, к сожалению, авторы учебников не упоминают имя их подлинного
автора.
Мы йидим, таким образом, насколько точно и глубоко основоположники
марксизма оценили вклад Ньютона и Лейбница в создание
математического анализа. Они действительно ^завершили
начальную стадию его формирования, что явилось огромным вкладом
р развитие математики и оказало решающее воздействие на
дальнейшее ее развитие. Однако ни Ньютон, ни Лейбниц не творили,
отправляясь от пустого места. Им предшествовали исследования
крупных представителей научно» мысли, уже наметившие
перспективные пути развития и получившие результаты первоклассного
значения.
К XVI столетию изучение движения превратилось в одну из
центральных задач естествознания. К этому наука была подведена
многочисленными вопросами практики и самой науки. Великие
географические открытия конца XV—XVI вв. вызвали к жизни
многочисленные актуальные проблемы, связанные в первую очередь
с морещаванием и необхбдимостьюориентации: в открытом океане.
Проблемы падения тел под влиянием силы тяжести приобрели
особое значение в связи с развитием’артиллерии. Развитие производства
также толкало мысль на изучение проблем движения,
в первую очередь механического. Пожалуй, первый,, кто к изучению
движения подошел с новых позиций, был Г. Галилей (1564-—
-1642). Он для этой цели использовал серьезные экспериментальные
данные и математический аппарат. Открытый им закон свободного
движения, согласно которому путь s, пройденный сво-
бодно падающим телом за время /, равен явился образцом
для последующих исследователей. Но при этом выяснилось, что
точная формулировка законов движения нуждается во введении в
рассмотрение нового ‘ объекта математического исследования
понятия функции.
Но, как постоянно подчеркивали классики марксизма, понять
существо процесса движения с метафизических позиций невозможно,
поскольку процесс движения противоречив и снять эта
противоречие может только диалектическйй подход к рассмотрению
вопроса.
48 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
В «Философских тетрадях» В. И. Ленин записал следующие
мысли: «Движение есть нахождение тела в данный момент в данном
месте, в другой, следующий, момент в другом месте — таково
возражение, которое Чернов повторяет (см. его „Философские этюды»)
вслед за всеми „метафизическими» противниками Гегеля’.
Это возражение неверно: (1) оно описывает результат движениям
а не само движение; (2) оно не показывает, не содержит в
себе возможности движения; (3) оно изображает движение как
сумму, связь состояний покоя, т. е. (диалектическое) противоречие
им не устранено, а лишь прикрыто, отодвинуто, заслонено, занавешено
»1.
Далее В. И. Ленин пишет:
«Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения,
не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разде—
лив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть
всегда огрубление, омертвление,—и не только мыслью, но и
ощущением, и не только движения, но и всякого понятия..
И в этом суть диалектики. Этугто суть и выражает формула;
единство, тождество противоположностей»2.
В сочинении Ф. Энгельса «Анти-Дюринг» вопросам движения,
как основной философской категории, уделено большое внимание.
Согласно Энгельсу, «Движение само есть противоречие; уже просг
тое механическое перемещение может осуществиться лишь в силу
того, что тело в один и тот же момент времени находится в данном
месте и одновременно — в другом, что оно находится в одном
и том же месте и не находится в нем. А постоянное возникновение
и одновременное разрешение этого противоречия — и есть именно
движение»3.
‘ Само собой разумеется, что, когда в математике возникла задача
количественного изучения движения и введения точно определенных
понятий,,с помощью которых можно описывать его характерные
особенности, старой математики, приспособленной для
описания статических ситуаций, стало уже недостаточно. Со всей
настойчивостью возникла необходимость создания методов,, приспособленных
для математического описания именно движения,
изменения. Эту задачу и был призван решать математический»
анализ и, как мы теперь знаем, превосходно с ней управился. Но
при этом в математику проникли многие глубокие проблемы философского
характера. И это естественно, поскольку: «В мире нет
ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не
может двигаться иначе, как в пространстве и во времени»4. Об этом
же писал и Ф. Энгельс: «Материя без движения так же .немыслима.
1 Л е н и н В. И. Философские тетради. Поли. собр. соч., т. 29, с. 232.
; ? Там же, с. 233.
• Э н г е л ь с Ф. Анти-Дюринг. — М а р к с K — v Э н г е л ь с Ф. Соч.,
.■£%, с. 123. V
‘ 4_Л е нин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. ‘— Поли. собр. соч.,
т. 18, с. 181.
49 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
как и движение без материи. Движение поэтому так же несотвори-
мо и неразрушимо, как и сама материя…»1.
Немудрено, что математический анализ с первых дней существования
подвергался философской критике со стороны философов-
идеалистов. Эта критика касалась не только несовершенства изложения
и первоначальных представлений, с какими сталкивались
ученые во времена Ньютона и Лейбница, но и сами принципы.
В этом отношении характерна статья известного представителя
субъективного идеализма епископа Джорджа Беркли (1685—1753)
под названием «Аналитик, или рассуждение, адресованное неверующему
математику, где исследуется, являются ли предмет,
принципы й заключения современного анализа более отчетливо
познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные
таинства и положения веры»2.
Мы уже говорили о том, что ни новые теории, ни новые.понятия
не появляются сразу в готовом виде. Они проходят свой путь развития,
и’каждый следующий шаг прогресса подготавливается предыдущим
движением науки и требованиями практики. И каждое
продвижение в той или иной области знаний связано с движением
мысли, появлением новых представлений, отказом от старых ограниченных
взглядов, открытием ранее неизвестных связей и аналогий.
Так, до появления дифференциального исчисления не
могло возникнуть мысли о наличии даже только чисто формальной
связи между задачам» нахождения скорости движения в данный
момент и проведением касательной к кривой.
Первоначально в математике начали рассматривать вполне
определенные функции, например функцию s = которая в
руках Г. Галилея получила определенное физическое истолкование
— длина пути, пройденного свободно падающим телом за
время t. Позднее, когда выяснилось, что эта же функция может
иметь и другие физические Истолкования — кинетическая энергия
тела массы g и скорости t и т. д., — стали рассматривать и изучать
все квадратические функции вида у = ах2. Но это только первичная
стадия отвлечения, с которой столкнулись в новой математике.
Далее начали рассматривать любые функциональные зависимости
вида у ** f (х)„ Предметом математики1 стали не только вполне
определенные функции, но функции вообще. Однако математический
анализ XVIII и XIX вв. ограничивал себя рассмотрением
только функций непрерывных и обладающих нужным числом
производных. Долгое время понятие функции не было столь всеобъемлющим,
как это принято сейчас. —
Сказанное убедительно показывает, что включение математического
анализа в курс математики средней школы открывает ши-
1 Э н г е л ь с Ф. Анти-Дюринг.— М а р к с К « Э н г е л ь с Ф. Соч.,
т. 20, с, 59v
2 Б е р к л и Дж. Сочинения. М.: Мысль, J978, с. 397—442,
50 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
диалектического мировоззрения учащихся. Это обстоятельство неоднократно
высказывалось крупными учеными и педагогами. Мне
хотелось бы воспроизвести здесь слова А’. Я. Хйнчина, которые
были им высказаны в статье «О воспитательном эффекте уроков
математики»: .
«Маркс и Энгельс с полным основанием утверждали, что математика
не только дает для законов диалектики богатейший иллюстративный
материал, но систематически способствует развитию
диалектических навыков мыслительного процесса. Однако, как
это неоднократно отмечалось, в полной мере это может быть отнесено
лишь к так называемой «высшей» математике, т. е. к математике
переменных величин. Именно здееь мы приучаемся к математическому
исследованию явлений природы и процессов техники
в их живой изменчивости, а не статической неподвижности. Именно
здесь величины исследуются в их взаимной зависимости (поня-
’ тие функции), а не в отрыве друг от друга. Нигде с такой наглядностью,
как здееь, мы не видам в‘ действии переход количества в
качество, диалектический синтез первоначально антагонистических
противоположностей и другие основные законы диалектики.
И это — одна из важнейших причин, впрочем, далеко не единственная,
заставляющих нас признать абсолютно необходимым введение
элементов высшей математики в курс средней школы… Что
же касается преподаваемой в школе «элементарной» математики
то и она, конечно, как всякая подлинная и живая наука, не лишена
диалектических элементов»1.
Для воспитания мировоззрения учащихся огромное значение
имеет действенный показ значения математического анализа для
развития естествознания, техники, экономики, для создания но-
Ёых подходов к решению сложнейших проблем физики, механики, >
инженерного дела, самой математики. Только математический анализ
позволил точно сформулировать законы механики Ньютона,
развить методы небесной механики и продвинуться в познании
движения планет солнечной системы до возможности предсказания
наличия никогда ранее не наблюдавшихся небесных тел, И не
только предсказать наличие этих небесных тел, но и указать их
местоположение для определенных моментов времени на небосводе.
Математически й анализ дал возможность построить грандиозное
здание современной физики, гидродинамики, теории упругости
и множества других направлений современного естествознания.
В конечном счете дифференциальное и ийтегральное исчисления
являются теоретическим базисом космонавтики. Без понятий предела,
производной, интеграла, решения дифференциального
уравнения были бы невозможны расчеты прочности корпуса
ракеты-носителя; тех скоростей, которые необходимо придавать
1 X и н ч я н А. Я. Педагогические сочинения. М.: АПН РСФСР, 1963,
с. 145—146.
51 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
космической станции, чтобы она могла выполнить порученное ей
задание; невозможно осуществить управление ее полетом.
Математический анализ превратился в мощнейшее орудие’познания
законов природы и использования этих законов для практики
научной, производственной, конструкторской. Математический
анализ позволил математике занять то ответственное положение
непосредственной производительной силы, которое она cefitekc
занимает.
Конечно, математический анализ теперь значительно отличает—
ся от своего первоначального состояния, в которое его привели
пионерские работы Кавальери, Ферма, Кеплера, Барроу, Ньютона
и Лейбница. Огромную роль в этом развитии сыграли исследования;^.
Эйлера (1707—1783), П. Лапласа, О. Коши (1789—
1857), М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева и. многих других.
Дифференциальные уравнения, как часть математического анализа,
появились уже на заре развития новой математики. Они с
самого своего возникновения Н до наших дней играют роль одного
из основных методов математического исследования, явлений природы
и технических процессов. К ним постоянно обращаются
механика, физика, теория управления, теория вероятностей и
другие дисциплины, имеющие непосредственное отношение к познанию
окружающего нас мира и к задачам общественной практики.
Вариационное исчисление, появившееся в результате работ
Л. Эйлера, Ж- Л. Лагранжа (1736—1813), М. В. Остроградского
и- ряда других исследователей, в прошлом веке превратилось в
основное орудие механики, позволившее сформулировать основные
ее принципы. В наши дни оно получило новое развитие в работах •
Л. С. Цонтрягина (род. 1908) и его учеников в связи с решением
проблем оптимального управления процессами.
Математический анализ продолжает развиваться и в наши дни,
как под влиянием внутренних ‘задач математики, так и под мощным
воздействием практики. Хотя математика и изучает, как
говорил об этом Ф. Энгельс, пространственные формы и количест- ~
венные отношения в чистом виде, но совершенно отбросить реальное
содержание математика при своем развитии не может и ни в
коем случае не должна. Реальная проблема является стимулом не- —
прерывного развития .математики. Она выдвигает перед математиками
новые задачи и принуждает создавать новые понятия, новые
методы и новые теории. На наших глазах математика испытала
бурное развитие* и задачи практики сыграли при этом значительную
роль.
52 О воспитании мировоззрения при изучений математического анализа.
Околоadmin
Comments