§ 1. Определение действия извлечения корня
ГЛАВА IX. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Упрощение дроби
Корнем я-й степени из числа а называется число х, я-я степень которого
равна а. Например, число 2 есть корень пятой степени из 32,
ибо 25= 3 2 . Корень второй степени иначе называется квадратным
корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.
Определение действия извлечения корня
Действие, посредством которого по данному числу а и показателю
п находится корень я-й степени из ау называется извлечением корня.
Показатель я называется показателем корня. Извлечение корня есть
действие, обратное действию возведения в степень. Корень я-й степени
из числа а обозначается следующим образом:
V I
В случае квадратного корня показатель не указывается, так что
квадратный корень из числа а обозначается а.
Из определения корня следует, что (п/ а ) п = а, в частности
§ 2. Арифметическое значение квадратного корня
Допустим, что нам дано положительное число а такое, что для
него существует квадратный корень, например а — 4. Мы видим, что
не одно, а целых два числа удовлетворяют определению квадратного
корня из 4, именно числа 2 и —2. Действительно, 2а = 4 и (—2)2 = 4.
Таким же образом обстоит дело и для всякого другого положитель-
202 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ, Школьное методическое объединение учителей математики
ного числа а: если лг удовлетворяет условию х 2 = а, то и число — х
удовлетворяет этому условию, именно (—х )2 = а. Поэтому каждое
из двух противоположных чисел х и —х с одинаковым основанием
может быть названо квадратным корнем из числа а. Из этих двух
чисел одно положительно, другое отрицательно. Однако положительное
значение квадратного корня из положительного числа может
существовать только одно.
Действительно, допустим, что
х’2 = а и у 2 — а,
причем х и у оба положительны. Тогда
лг2— у % = 0.
Разлагая на множители левую часть, мы придем к равенству
С* —у ) (-* 4~-v)= О-
Произведение двух чисел лг—у и лг-f- у равно нулю. Следовательно,
равен нулю один из сомножителей. Однако лг-|- у есть
положительное число, как сумма двух положительных чисел.
Следовательно,
лг —у = 0, лг = у .
Положительное значение квадратного корня из положительного
числа называется арифметическим значением квадратного корня.
Условимся знаком ]/а» обозначать именно арифметическое значение
квадратного корня. Это условие вносит определенность при
пользовании знаком корня. Так, согласно этому условию, |/*4 = 2 ;
]/36 = б и т. п.
Однако приняв это условие, о нем необходимо помнить, чтобы
не делать ошибок при пользовании знаком квадратного корня.
Так, У (—2)2 = 2, а не —2, что, казалось бы, более естественно.
Равенство У а* — а есть верное равенство только при а ^ 0.
При а<^0 мы должны считать У а1 = .—а. В то же время равенство
У а *= \а \ будет верно всегда.
203 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ, Школьное методическое объединение учителей математики
§ 3. Постановка вопроса о приближенном вычислении корня
Извлечение квадратного корня из данного числа выполнимо далеко
не всегда, если ограничиться рассмотрением рациональных чисел. Так,
извлечение квадратного корня из отрицательного числа есть действие
невыполнимое, ибо квадрат любого рационального числа не может
быть отрицательным.
Более того, далеко не из каждого рационального положительного
числа можно извлечь рациональный квадратный корень. Действительно,
рассмотрим таблицу квадратов целых чисел:
Мы видим, что квадраты целых чисел очень быстро возрастают, так
что промежутки между квадратами соседних целых чисел тоже довольно
быстро растут. Целые числа, находящиеся внутри таких промежутков,
не являются квадратами целых чисел. Докажем, что они
не являются и квадратами дробных чисел.
Для этого достаточно установить, что квадрат дробного числа
не может быть числом целым.
Действительно, каждое дробное число а может быть представлено
в виде несократимой дроби , т. е. в виде частного от деления дв^ух
целых чисел р и q, не имеющих общих простых множителей, причем
q^> 1.
Если а = —, то а* — 2-г. Очевидно, ч т о т о ж е есть несокра-
Я Я Я
тимая дробь, ибо р содержит только те простые множители, которые
входят в /?, a <f — только те простые множители, которые входят в q,
а р и q общих множителей не имеют. Таким образом, а% не может
быть целым числом.
Итак, числа 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12… не являются ни квадратами
целых чисел, ни квадратами чисел дробных. Следовательно, извлечение
квадратного корня из этих чисел есть действие невыполнимое,
если оставаться в области рациональных чисел.
Рассмотрим теперь более подробную таблицу квадратов, придавая
числу а значения через Ограничимся при этом рассмотрением промежутка
от а = 1 до а = 2:
204 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ, Школьное методическое объединение учителей математики
Промежуток между двумя соседними квадратами в этой таблице
в среднем в 10 раз меньше, чем промежуток между соседними квадратами
1 и 4 в предшествующей таблице.
Рассмотрим теперь таблицу квадратов, придавая числу а значения
через-Щ)-, ограничившись промежутком от а— 1,4 до а = 1 ,5 :
По сравнению с предыдущей таблицей, промежутки между соседними
квадратами еще уменьшились, в среднем в 10 раз.
Таким образом, если брать значения а все более «густо», у. е.
делая промежутки между соседними значениями для а все меньше
и меньше, то и промежутки между соседними значениями а2 будут
становиться все меньше и меньше. Поэтому, если взять промежутки
между соседними значениями для а достаточно малыми, мы можем
приблизиться посредством значений а2 к любому положительному
числу b с любой степенью точности.
Проследим, например, за приближениями к числу 2 посредством
квадратов на протяжении составленных таблиц. Из первой таблицы
мы находим, что наиболее близкие к числу 2 квадраты имеют числа 1 и 2;
1 * = 1 <^2; 22 = 4^>2. Во второй таблице числами, дающими наиболее
близкие к числу 2 квадраты, являются 1,4 и й>5, причем 1,4*= 1,96 2;
1,52 = 2,25^> 2. Третья таблица дает еще лучшие приближения:
1,412 = 1,9881 < 2; 1,422 = 2,0164 > 2.
Если мы пожелаем еще улучшить приближения, мы можем рассмотреть
квадраты чисел между 1,41 и 1,42, взяв их через 0,001.
Это рассмотрение нам даст
1,4142= 1,999396 < 2 ; 1,4152 = 2,002225 > 2.
Таким образом, среди рациональных чисел не существует числа, квадрат
которого равен 2, но существуют числа, квадраты которых сколь
угодно близко подходят к 2.
То же самое можно сказать о любом другом положительном числе,
для которого точное извлечение корня в области рациональных чисел
невозможно. Поэтому имеет смысл ставить вопрос о приближенном
вычислении квадратного корня с некоторой наперед заданной точностью.
Так, числа 1 и 2 являются приближенными значениями для у» 2
с точностью до 1; числа 1,4 и 1,5 являются приближенными значениями
для }/2 с точностью до 0,1; 1,41 и 1,42 — приближенные
205 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ, Школьное методическое объединение учителей математики
значения с точностью до 0,01; 1,414 и 1,415 — приближенные
значения ] /2 с точностью до 0,001 и т. д.
Дадим теперь строгое определение приближенных значений квадратного
корня из данного положительного числа.
Приближенным значением с недостатком для квадратного корня
из данного положительного числа b с точностью до а называется
такое положительное число а, что а*<^Ь, но {а-{-а)2 Ь.
В свою очередь, число а -|- а называется приближенным значением
с избытком для ]ГЬ с точностью до а.
Для практических целей в качестве меры точности а принимаются
числа 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. В этих случаях за приближенное значение
корня принимаются десятичные дроби с соответствующим числом
цифр после запятой.
Приближенные значения корня можно находить посредством испытаний,
постепенно увеличивая точность до той, которая требуется
в задаче. Рассмотрим еще один пример.
Пример. Вычислить ] /3 с точностью до 0,01.
Решение. Приближения с точностью до 0,1. мы находим из приведенной
выше таблицы. Приближение с недостатком есть 1,7 ибо
1,72 = 2.89<^3, а 1,82 = 3,24]> 3. Для вычисления приближения с точностью
до 0,01 испытываем 1,71*=-2,9231; 1,72* = 2,9574; 1,73* =
= 2,9919; 1,74* = 3,0266. Таким образом, с точностью до 0,01 (с недостатком)
У Т ъ * 1,73
Способом испытаний мы можем приближенно вычислять корень
из любого положительного числа с любой степенью точности. Однако
этот способ требует хотя и простых, но утомительных вычислений.
В следующих параграфах мы познакомимся с более удобными способами
вычисления квадратного корня.
Отметим, что ставить вопрос о приближенном вычислении квадратного
корня из отрицательного числа бессмысленно, так как приближаться
к данному отрицательному числу посредством квадратов
рациональных чисел невозможно.
Упражнения
1. Посредством испытаний вычислить У»7,2 с точностью до 0,01.
§ 4. Извлечение квадратного корня при помощи графика
Выведенные в предшествующих параграфах свойства и особенности
действия извлечения квадратного корня становятся особенно наглядными,
если перейти от рассмотрения таблицы квадратов к графику
зависимости у = х \ Этот график нами уже рассматривался в § 17 глЖ
206
Приводим снова этот график (рис. 26). Он имеет вид кривой линии,
состоящей из двух бесконечных ветвей, симметричных относительно
оси ординат. Эти ветви сходятся в начале координат, плавно переходя
одна в другую. Как уже было сказано,
эта кривая называется параболой.
Задача извлечения квадратного
корня заключается в определении
числа х из зависимости
х * = у при данном у . Для решения
этой задачи при помощи
графика нужно на параболе найти
точки, имеющие данную ординату
у , и определить абсциссы
этих точек.
Очевидно; что при у< ^ 0 таких
точек нет, ибо весь график
расположен выше оси абсцисс,
касаясь ее лишь в начале координат.
При j/ = 0 такая точка
единственна, это начало координат.
Абсцисса ее равна тоже
нулю. При j/]> 0 таких точек
оказывается две, расположенных
симметрично относительно оси «3 -2 — / 0 / 2 3
ординат. Это соответствует тому, риа 2б.
что квадратный корень из положительного
числа имеет два значения,
имеющие одинаковую абсолютную величину, но отличающиеся
знаками. Выбор арифметического значения квадратного корня соответствует
тому, что из двух ветвей параболы мы рассматриваем только
одну, именно правую ветвь. На этой ветви точка о заданной ординатой
оказывается уже единственной. Измерив абсциссу этой точки, мы
получим приближенное значение }f y с той точностью, которую допускает
график.
Таким образом, из графика зависимости у — х* мы видим, что
корень из отрицательного числа не существует и что корень из любого
положительного числа существует и имеет два значения.
Увеличивая масштаб, мы можем построить график с любой заданной
степенью точности. Следовательно, и само извлечение корня из
данного положительного числа можно осуществить с любой точностью.
График зависимости у = х 8 может служить для фактического
вычисления квадратных корней с небольшой точностью.
С этой целью следует тщательно построить график на миллиметровой
бумаге, приняв за единицу масштаба 10 см и придавая перемен-
207
ной х значения от 0 до 1 через каждые 0,1 (рис. 27). Тогда непосредственно
по графику находятся квадратные корни чисел, заключенных
между 0 и 1.
При помощи этого графика можно также находить значения корня
из любого положительного числа Ъ. Для этого нужно найти какое-
либо число а, удовлетворяющее
условию аа^>£. Затем,
найдя частное Ь которое
будет меньше единицы, извлечь
из него корень при
помощи графика и умножить
этот корень на а. Результат
даст |f b . Действительно,
{ ‘ V V —
= » ’ ( / •7′)’= “’ 4 =
Следовательно,
« у Т = ^ г —
■ Ь.
что
Если подобрать а
Ъ ^ 1
так,
а* >^ 2 то точность
при применении этого способа достигает 1 — 2% величины искомого
корня.
Пусть, например, требуется найти У б • Возьмем а — 3; = —
0,67. По графику, ‘[/0,67 я« 0,82, и следовательно, У 6 = 3*0,82 =
= 2,46. Ручаться за точность второго знака после запятой здесь нельзя,
возможна ошибка на 0,02 — 0,03 в ту или другую сторону. В действительности
с точностью до 0,001 У 6 2,449.
§ 6. Извлечение квадратного корня из числа, заключенного
между 1 и 100, с точностью до 0,1
Приступим к объяснению одной удобной арифметической схемы
для приближенного извлечения квадратного корня с заданной точностью.
Допустим, что нам уже известно, что число 7,236 есть приближенное
значение квадратного корня из числа А = 52,365, взятое с недостатком,
с точностью до 0,001. Тогда числа 7; 7,2; 7,23 и 7,236
представляют собой приближенные значения У А с недостатком,-, и
208
каждое последующее из этих приближений является более точным,
чем предыдущее. Мы можем считать, что каждое последующее получается
из предыдущего прибавлением некоторой поправки. Именно,
7,2 = 7 + 0,2; 7,23 = 7,2 + 0,03; 7,236 = 7,23 + 0,006.
Мы сможем вычислять квадратные корни с любой степенью точности,
если нам удастся указать способ вычисления поправки к уже
известному приближению с недостатком так, чтобы после прибавления
этой поправки получалось бы снова приближение с недостатком, но
значительно более точное.
Для вывода удобного способа вычисления таких поправок рассмотрим
задачу в общем виде.
Пусть а есть приближенное значение с недостатком для квадратного
корня из положительного числа А, и пусть b есть поправка,
которую нужно добавить к числу а> чтобы получить более точное
приближение к корню, тоже с недостатком. Предположим, что эта
поправка мала по сравнению с самим числом а.
Примем сначала, что я + 6 есть точное значение У А . Тогда
имеет место равенство (а-\-Ь)% — А. Раскрывая скобки, получим
а2 + 2я£ + 62 = Л,
откуда
»(2а + Я = А — Л 6 = Е Т ? —
Вспомним теперь, что поправку Ъ мы ищем только приближенно.
Ввиду сделанного предположения, что искомая поправка мала по сравнению
с числом а, мы можем отбросить в знаменателе слагаемое Ъ,
и тогда получим для b приближенное равенство
В знаменателе мы отбросили положительное слагаемое, тем самым
мы уменьшили знаменатель, а всю дробь увеличили. Следовательно,
число — больше истинной поправки. Поэтому если мы хотим
получить значение корня снова с недостатком, то мы должны взять в
качестве поправки число, несколько меньшее, чем А— — а-*, например округлить
это частное, приняв во внимание только первую значащую
цифру.
Для того чтобы проверить, что вычисленная таким способом
поправка дает после прибавления к а снова приближение с недостатком,
надо проверить, что разность А — (а + &)2 положительна.
Эту разность удобно представить в виде (А — а2) — (2а + £)&.
Действительно, число А — а2 уже вычислялось при вычислении
поправки, а вычисление произведения (2а+& ) b выполняется без
209
труда. Если исследуемая разность все же окажется отрицательной,
то это обозначает, что вычисленная поправка велика и ее следует
еще уменьшить.
Рассмотрим пример на применение этих соображений.
Приме р . Вычислить 1^92,43 с точностью до 0,1.
Решен и е . В качестве первого приближения возьмем а = 9. В качестве
поправки следует взять число, немного меньшее, чем
Л —я8 92,43 — 98 11,43
2а 2 • 9 ~ 18 “ ’
Берем поправку £ = 0,6. Эта поправка дает значение с недостатком,
ибо
А — (а + £)2 = (А —я*) —(2а + £)£ = 11,43 — 18,6 • 0,6 =
-= 1 1 ,4 3— 11,16 = 0,2 7 > 0 .
Таким образом, число а -{-£ = 9,6 есть приближение к 1^92,43
с недостатком. Число 9,7 является приближением с избытком, ибо
поправка = 0,63, в силу сказанного выше, уже больше истинной,
а поправка 0,7 и подавно. Итак, с точностью до 0,1, |/ 9 2 ,4 3 ^
я^9,6 (с недостатком).
Все вычисления очень удобно производить по следующей схеме:
у 92,43 :
81
18,6 11,43
0,6. 11,16
0,27
Порядок действий следующий:
1) пишем данное число под знаком корня;
2) определяем целую часть корня 9, возводим ее в квадрат и
вычитаем из подкоренного выражения;
3) слева от полученной разности проводим вертикальную черту
и слева от нее запишем 2*9 = 18;
4) приближенно делим разность 11,43 на 18 с точностью до 0,1
с недостатком. Получаем 0,6;
5) к числу 18 добавляем 0,6 и сумму умножаем на 0,6. Произведение
записываем под ранее вычисленной разностью 11,43 и вычитаем из
нее. Так как последняя разность 0,27 оказалась положительной, то
вычисление заканчивается. Число 0,6 присоединяется к числу 9 в качестве
поправки. Напоминаем, что последняя разность 0,27 есть разность
чисел 92,43 и 9,6*.
210
Пример. Вычислить У 14 с точностью до 0,1.
Решение. Решаем этот пример, пользуясь той же схемой:
У Т Т = 3
9
6 |’5
При делении числа ‘б на 6 мы получим, после округления, 0,8. Однако
такая поправка слишком велика, так как 6Д • 0,8 = 5,44 5. Примем
в качестве поправки 0,7.
у т г = 3,7
9
6,7 5,00
0,7 4,69
0,31
Поправка 0,7 оказалась подходящей.
Последняя разность 0,31 есть 14 — 3,7®. К числу 5 мы приписали
нули после запятой, чтобы было удобнее производить вычитание.
Пример. Вычислить 1^3,41 с точностью до Q,l.
Решен и е .
у ш = 1
1
2 | 2,41
При делении числа 2,41 на 2 получается с точностью до 0,1 число
1,2, которое явно велико в качестве поправки. Такой плохой результат
получается потому, что здесь поправка совсем немала по сравнению
с первым приближением, и поэтому приближенное равенство
а —А —2а—а* оказывается очень груб*ым.
Даже 0,9 велико в качестве поправки, ибо 2,9 • 0,9 = 2,61 ^>2,41.
Берем 0,8.
211
§ 6. Извлечение квадратного корня из числа, заключенного
между 1 и 100, с точностью до 0,01
Пример. Извлечь квадратный корень из числа 92,4317 с точностью
до 0,01.
Реше н и е . Сначала извлекаем корень с точностью до 0,1, пользуясь
уже рассмотренным способом:
Легко сообразить, что следует делать дальше. Примем а = 9,6
за исходное приближение и ищем для него поправку по прежнему
правилу. Вычислять снова разность А -г- а*=92,4317 — 9,6* нам не
нужно, ибо эта разность уже вычислена, ©на равна последней разности
0,2717. Мы должны поделить эту разность на 2*9,6 = 19,2
с точностью до 0,01. Получившуюся поправку 6 = 0,01 добавить
к 2а = 1 9 ,2 , полученное число 2а -(-6 = 1 9 ,2 1 умножить на 6 = 0,01
и сравнить с разностью 0,2717. Все эти действия удобно провести
по прежней схеме. Полная запись будет выглядеть так:
Последняя разность 0,0796 есть 92,4317 — 9,61®.
Заметим, что мы могли бы не записывать в третьей строчке две
последние цифры, так как их роль сказывается только в пятой строчке.
Далее, для упрощения записи можно было бы не писать запятых и
нулей перед значащими цифрами, имея при этом в виду, что тогда
212
при делении последнюю цифру делимого нужно отбрасывать,
выполняя деление с точностью до целого.
Принимая все это во внимание, запись можно провести так:
§ 7. Извлечение квадратного корня из любого
данного числа с любым заданным числом
десятичных знаков
Способ извлечения квадратного корня, изложенный в .§ 5 и 6,
применялся там только к числам, заключенным между 1 и 100, т. е.
к числам с однозначной или двузначной целой частью. Однако этот
способ легко распространяется на любые положительные числа, целые
или заданные десятичной дробью. Это следует из того, что при умножении
подкоренного числа на 100 корень увеличивается в 10 раз,
а при делении подкоренного числа на 100 корень уменьшается в 10 раз.
Действительно, если У у = л г, то У 100у = 10х, так как (10х)2 =
= 100*2= 1 0 0 у , а __
VУ loo —ю ’
* ( х У — х 2 — у
и0° V ю У 100 100 •
Умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой
на два разряда вправо или влево. Умножение или деление на 10 равносильно
перенесению запятой на один разряд. Повторное умножение
или деление на 100 равносильно перенесению запятой на четное число
у р яд о в . Очевидно, что за счет такого перенесения запятой в под
213
коренном числе можно добиться того, чтобы целая часть нового подкоренного
числа оказалась однозначным или двузначным числом.
К этому числу можно применить указанный прием для извлечения
квадратного корня. Чтобы получить корень из исходного числа, нужно
в полученном корне перенести запятую в обратном направлении на
вдвое меньшее число разрядов.
Например, чтобы извлечь корень }А),924317, мы сначала перенесем*
запятую на два разряда вправо. 1^92,4317 мы вычислили; он
равен 9,61 (с точностью до 0,01). Следовательно, ]A),924317 ==0,961
(с точностью до 0,001).
Сформулируем теперь общее правило для извлечения корня из
данного числа с данным числом десятичных знаков, обобщив в этом
правиле все высказанные выше соображения.
Пра вило . Чтобы извлечь квадратный корень из данного
положительного целого или записанного в виде десятичной дроби
числа с: данной точностью, нужно:
1. Записать это число под знаком квадратного корня и разбить
его цифры на «грани» по две цифрй в каждой, начиная от
запятой, вправо и влево. Если требуется вычислить корень с
точностью до 1, то грани, расположенные направо от запятой,
можно отбросить. Если требуется вычислить корень с точностью
до 0,1, следует справа от запятой сохранить одну грань,
при вычислении с точностью до 0,01 оставить две грани и т. д.
Если при этом окажется, что цифр для заполнения нужного
числа граней не хватает, приписать надлежащее количество нулей.
2. Извлечь корень из старшей грани с точностью до \, с недостатком
(или точно, если это возможно). Полученное число
принять за первую цифру искомого корня.
3. Из старшей грани вычесть квадрат первой цифры и к полученной
разности приписать вторую грань. Слева от полученного
результата провести вертикальную черту.
4. Слева от черты записать удвоенную первую цифру.
5. Найти целую часть частного от деления числа десятков
первой разности на число, записанное слева. Если полученное число
окажется больше 10, заменить числом 9.
6. Полученное однозначное число подвергнуть следующему испытанию:
приписать его в качестве цифры к числу, записанному
слева, получившееся число умножить на испытуемое однозначное
число и сравнить произведение с разностью, записанной справа
от черты. Если это произведение больше указанной разности,
уменьшить испытуемое число на одну единицу и вновь подвергнуть
испытанию.
7. Если после испытания произведение окажется меньше указанной
разности, подписать его под ней и вычесть. Испытанное
однозначное числд принять за вторую цифру корня.
214
8. К вновь полученной разности приписать следующую грань
и определить третью цифру тем же приемом, каким била
определена вторая цифра.
9. Продолжать аналогичные вычисления до тех пор, пока не
будет достигнута требуемая точность.
10. Запятую в результате нужно поставить после того, как
будут исчерпаны грани, предшествующие запятой в подкоренном
числе.
Целая часть, вычисляемая в п. 5 правила, может оказаться больше 9 только
на первом шагу вычислений, т. е. при вычислении второй цифры.
Отрицательный результат испытания в п. 6 правила довольно часто имеет
место на первом шагу вычислений, когда поправка еще не очень мала, по
сравнению с первым приближением. На дальнейших шагах вычислений отрицательный
результат испытания получается крайне редко.
Если подкоренное число имеет 0 целых и вслед затем следует нуль,
корень имеет тоже 0 целых и затем столько нулей, сколько граней из нулей
следует за запятой в подкоренном числе. Первая значащая цифра корня есть
целая часть корня из первой значащей грани подкоренного числа.
215
§ 8. Применение графиков для приближенного решения
уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными
Мы уже не раз пользовались графиками для приближенных вычислений.
Графический способ решения задач является очень полезным
для приложений вследствие большой простоты и наглядности. Конечно,
им следует пользоваться только в тех случаях, когда не требуется
очень большой точности результата. Достоинством графического
способа является также его большая общность. В частности, с помощью
графиков можно решать приближенно даже довольно сложные
уравнения и системы уравнений. Не вдаваясь в общую теорию построения
графиков и их применений* ограничимся рассмотрением двух
примеров.
Приме р 1. Решить приближенно уравнение
* 8 — З л г + 1 = 0 .
Реше н и е . Построим сначала график зависимости
у — лг8 — Ь
а затем найдем на этом графике точки, для которых у = 0. Абсциссы
этих точек и дадут решения уравнения.
Прежде всего вычислим таблицу значений:
216
По этой таблице строим график (рис. 28), соединяя точки возможно
более плавной линией. Из этого графика мы видим, что интересующих
нас точек имеется три. Их абсциссы приближенно равны — 1,8; 0,3 и
1,5. Следовательно, уравнение
лг3 — З л г + 1 = 0
имеет три решения
х х ^ — 1,8; Хъ 0,3; x s ^ 1,5.
Чтобы найти более точные значения для корней уравнения, нужно
построить с большей точностьнэ
и в большем масштабе участки
графика, примыкающие к интересующим
нас точкам.
Пример 2. Решить приближенно
систему уравнений
у — х* — 3, 1
х = у * — 4. J
Решение . Для решения задачи
строим на одном чертеже
графики зависимостей у = х* — 3
и х — у 2 — 4. Нас интересуют
точки, координаты которых связаны
обеими зависимостями, т.е.
точки, принадлежащие обоим
графикам. Такими точками, я&ляются точки пересечения графиков.
Вычислим таблицы значений.
Графики по этим таблицам изображены на рис. 29. Мы видим,
что графики пересекаются в четырех точках. Следовательно, система
имеет четыре решения.
217 ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ, Школьное методическое объединение учителей математики
Околоadmin
Comments