Отгадать день рождения

Отгадать день рождения.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

ЗАДАЧА
Уменье решать неопределенные уравнения дает
возможность выполнить следующий математический
фокус.
Вы предлагаете товарищу умножить число даты
его рождения на 12, а номер месяца — на 31. Он

стр. 109 Покупка фруктов.

сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вы-
числяете по ней дату рождения.
Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля,
то он вшюлнает
9×12=108,
2×31=62,
108 + 62=170.
Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы
определяете задуманную дату, Как?

РЕШЕНИЕ
Задача сводится к решению неопределенного
уравнения
12х+31у=170
в целых и положительных числах, причем число ме-
сяца х не больше 31, а номер месяца у не больше

Покупка фруктов

февраля.
Можно предложить и другое решение, не исполь-
зующее уравнений. Нам сообщено число а = 12х+31у.
Так как 12лг+24y делится на 12, то числа 7у и а
имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умно<
жив на 7, найдем, что 49у и Та имеют одинаковые
остатки от деления на 12. Но 49y=48y+y, а 48у де-
лится на 12. Значит, у я 7а имеют одинаковые остат-

стр. 110 Покупка фруктов.

кн от деления на 12. Иными словами, если а не де-
лится на 12, то у равен остатку от деления числа 7а
на 12; если же а делится на 12, то y=12. Этим число
у (номер месяца) вполне определяется. Ну, a зная у,
уже ничего не стоит узнать х.
Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от
деления числа 7а на 12, замените само число а его
остатком от деления на 12 — считать будет проще.
Например, если а=170, то вы должны произвести в
уме следующие вычисления:

стр. 111 Покупка фруктов.

Теперь вы можете сообщить товарищу дату его ро-
ждения: 9 февраля.
Докажем, что фокус всегда удается без отказа,
т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение
в целых положительных числах. Обозначим число,
которое сообщил ваш товарищ, через а, так что на-
хождение даты его рождения сводится к решению
уравнения
12х+31у = а.

Станем рассуждать «от противного». Предполо-
жим, что это уравнение имеет два различных реше-
ния в целых положительных числах, а именно реше-
ние х1,  y1 и решение х2, у2, причем x1 и х2 не пре-
восходят 31, а у1 и у2 не превосходят 12. Мы имеем:

111 Покупка фруктов.

стр. 111 Покупка фруктов.

делиться на 31 только в том случае, когда X1=X2, т.е.
когда первое решение совпадает со вторым. Таким
образом, предположение о существовании двух раз-
личных решений приводит к противоречию.

стр. 112 Покупка фруктов.

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin