Как провести шоссе? Когда произведение наибольшее?

Как провести шоссе?

Сборник Математики ГЛАВА VII  НАИБОЛЬШИЕ  И НАИМЕНЬШИЕ  ЗНАЧЕНИЯ. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского    Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности капирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.

Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

ЗАДАЧА
Из приречного города А надо направлять грузы
в пункт В, расположенный на а километров ниже
по реке и в d километрах от берега (рис. 22). Как

провести шоссе от В к реке, чтобы провоз грузов из А
в В обходился возможно дешевле, если провозная
плата с тонно-километра по реке вдвое меньше, чем
по шоссе?
РЕШЕНИЕ
Обозначим расстояние AD через х и длину DB
шоссе — через* у: по предположению, длина АС рав-
на а и длина ВС равна d.
Так как провоз по шоссе вдвое дороже, чем по
реке, то сумма
х + 2у
должна быть согласно требованию задачи наимень»
шая. Обозначим это наименьшее значение через т.
Имеем уравнение
Ho x^a—DC, a
лучает вид
а
= Yy2 — d2; наше

153  Как провести шоссе? 

или по освобождении от радикала:
Зг/2—4 (га—о) у + (т—аJ + d2 = 0.
Решаем его:
2 . . , V(m — aJ — 3d2
у = т (т — а) ± —J 5^ •
sin / BDC = d:y, т. е.
sin / BDC — —
13
Но угол, синус которого равен -Q~t равен 60°.
Значит, шоссе надо провести под углом в 60° к реке,
каково бы ни было расстояние АС.
Здесь наталкиваемся снова на ту же особенность,
с которой мы встретились в предыдущей задаче. Ре-
шение имеет смысл только при определенном усло-
вии. Если пункт расположен так, что шоссе, прове-
денное под углом в 60° к реке, пройдет по ту сторону
города А, то решение неприложимо; в таком случае
надо непосредственно связать пункт В с городом А
шоссе, вовсе не пользуясь рекой для перевозки.

Когда произведение наибольшее?

минимум», т. е. на разыскание наибольшего и «наимень-
шего значений переменной величины, можно успешно
пользоваться одной алгебраической теоремой, с кото-
рой мы сейчас познакомимся. Рассмотрим следую-
щую задачу:
На какие две части надо разбить данное число,
чтобы произведение их было наибольшим?

154  Как провести шоссе? 

РЕШЕНИЕ
Пусть данное число а. Тогда части, на которые
разбито число а, можно обозначить через
а
и -д — х;
число х показывает, на какую величину эти част
отличаются от половины числа а. Произведение обеих
частей равно
(¦?+*)(!-*)-т-Л
Ясно, что произведение взятых частей будет увели-
чиваться при уменьшении х, т. е. при уменьшении
разности между этими частями. Наибольшим произ-
ведение будет при х=0, т. е. в случае, когда обе ча-
сти равны -н-
Итак, число надо разделить пополам: произ-
ведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет
наибольшим тогда, когда эти числа равны между
собой.
Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.
На какие три части надо разбить данное число,
чтобы произведение их было наибольшим?
РЕШЕНИЕ
При решении этой задачи будем опираться на пре-
дыдущую.
Пусть число а разбито на три части. Предположим
а _
сначала, что ни одна из частей не равна тр Тогда
среди них найдется часть, большая ^ (все три не
могут быть меньше-^); обозначим ее через
Точно так же среди них найдется часть, меньшая -к ‘>
обозначим ее через
тс-У-

155  Как провести шоссе? 

Числа х и у положительны. Третья часть будет, оче-
видно, равна
% + -х.
Числа -д- и —Г + -К — У имеют ту же сумму, что и пер-
вые две части числа а, а разность между ними, т. е.
х—у, меньше, чем разность между первыми двумя
частями, которая была равна х+у. Как мы знаем из
решения предыдущей задачи, отсюда следует, что
произведение
больше, чем произведение первых двух частей чи-
сла а.
Итак, если первые две части числа а заменить
числами
а а ¦
_ и -%+х — у,
а третью оставить без изменения, то произведение
увеличится.
Пусть теперь одна из частей уже равна у. Тогда
две другие имеют вид
¦?+* и ¦?-*•
Если мы эти две последние части сделаем равными
-д- (отчего сумма их не изменится), то произведение
снова увеличится и станет равным
а HL а д3
 «I» « ~Т’
Итак, если число а разбито на 3 части, не равные
между собой, то произведение этих частей меньше чем
а3
¦sy • т. е. чем произведение трех равных сомножи-
телей, в сумме составляющих а.
Подобным же образом можно доказать эту тео-
рему и для четырех множителей, для пяти
и т. д.
Рассмотрим теперь более общий случай.
Найти, при каких значениях хну выражение хруч

156 Когда произведение наибольшее?

РЕШЕНИЕ
Надо найти, при каком значении х выражение
хр(а—хI
достигает наибольшей величины.
Умножим это выражение на число ¦ р я . Получим
новое выражение
хр (а—х)»
рр чя ‘
которое, очевидно, достигает наибольшей величины
тогда же, когда и первоначальное.
Представим полученное сейчас выражение в виде
а — х а — х а — х
q раз
Сумма всех множителей этого выражения, равна
х . х , х . . а — х , а — х ,
zizizi»i ~— q— =
р раз Q раз
т. е. величине постоянной.
На основании ранее доказанного (стр. 154—156)
заключаем, что произведение
ххх а — х а — х а — х
Р ‘ Р ‘ Р ‘ ‘ ‘ ‘ # q q
достигает максимума при равенстве всех его отдель-
ных множителей, т. е. когда
х а — х
Р Ч
Зная, что о—х=у, получаем, переставив члены,
пропорцию
— = ?¦
у я’
Итак, произведение хруч при постоянстве суммы
х \-у достигает наибольшей величины тогда, когда
х:у = р:д.

157 Когда произведение наибольшее? 

Таким же образом можно доказать, что произве-
дения
, xPy<*zrtu и т. п.
при постоянстве сумм-x+y + z, x+y+z+t и т. д. до-
стигают наибольшей величины тогда, когда
х : у i z = p : q : г, х: у : z i t = p : q \ r : и н т, д.

158 Когда произведение наибольшее?

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

 

 

Как провести шоссе?, Когда произведение наибольшее?