дома » Алгебра в школе » КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 1 . Развитие понятия числа

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

§ 1. Развитие понятия числа

Понятие числа возникло из потребностей счета и измерения у людей
на самых ранних ступенях развития человеческого общества.
С тех пор число является постоянным и незаменимым орудием в нашей
практической деятельности. Числа мы применяем для изучения
окружающего нас материального мира, для изучения изменений, происходящих
в окружающей нас действительности.
Натуральные числа и положительные дробные числа были известны
уже древним грекам. В древней Греции были известны несоизмеримые
отрезки. Задачи, в которых встречались несоизмеримые отрезки
древние греки решали геометрически. Но понятие иррационального
числа у них еще не сложилось, и потому они не могли рассматривать
отношение длин несоизмеримых отрезков как -число.
Не знали греки и отрицательных чисел. Отрицательные числа
появились впервые у индусов (V век). Полное признание отрицательные
числа получили лишь в XVII веке. В средние века индусы пользовались
иррациональными выражениями, но строгой теории действительных
чисел ими разработано не было.
Построение теории действительных (или вещественных) чисел
относится ко второй^ половине XIX века.
В первой половине XVI века для решения уравнения третьей
степени вида
x * -\-p x — \-q — О
нашли формулу Кардана
* — V — i + V i + i + V — i — V s+s..
По этой формуле корни уравнения х 3 — блг -{- 4 = 0 находятся так:
* = V — 2 + У ^ Т + V — 3 — У = 4 .
Между тем видно, что левая часть уравнения разлагается на множители
(х — 2) (д;а — \-2 х — 2),
и уравнение имеет корни x t = 2; дг23 = — 1 ± j/з».

423 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

Таким образом, выходит, что для получения действительных
корней уравнения по формуле Кардана надо научиться извлекать
квадратный корень из отрицательного числа, т. е. надо научиться
производить операцию, невозможную в области действительных чисел.
Это и заставило еще в XVI веке рассматривать квадратные корни
из отрицательных чисел. Так как получающийся при этом результат
не может быть истолкован как результат непосредственного счета
или измерения, числа эти стали называть мнимыми («невозможными»,
«воображаемыми», «ложными»). Некоторое обоснование эти числа
получили во второй половине XVI века. Мнимые и действительные
числа представляют собой два частных вида комплексных чисел,
изучением которых мы и займемся в этой главе.
Для того чтобы представить себе содержание предстоящей’нам
работы в связи с новым расширением понятия числа, обратим внимание
на некоторые факты, которые связаны с введением дробных,
отрицательных и иррациональных чисел.
1; Введение дробных чисел вызвано потребностями измерения величин,
допускающих деление на равные части, которые могут быть
меньше единицы измерения. В математике возможность деления на
равные части отражается в выполнимости деления натуральных чисел,
или, что все равно, в решении уравнения тх = п, где т и п — натуральные
числа. В области натуральных чисел это действие возможно
не всегда, и лишь введение дробных чисел сделало деление натуральных
чисел всегда возможным. Это вооружило математику новыми
средствами для решения практических задач.
Если внимательно рассмотреть все утверждения о свойствах дробей
и о правилах действий с ними, то можно заметить, что утверждения
эти распадаются на две группы.
К первой группе относятся:
1) утверждение о равенстве дробей: j равно ~ тогда и только
тогда, когда ad — bc\
2) правило слоu жения: ^а -j, — jс = а—йЛ^-Ъ—с ;
3) правило умножения:
Эти три утверждения не доказываются и все вместе составляют содержание
определения положительного рационального числа. Все эти
утверждения подсказаны теми практическими задачами, для решения
которых и вводились дробные числа.
Ко второй группе относятся:
1) правило вычитания дробей;
2) правило деления дробей.
В отличие от утверждений первой группы, эти правила выводятся,
доказываются. Доказательства основаны, с одной стороны, на принятых
без доказательства утверждениях первой группы и, с другой

424 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

стороны, на определениях действий вычитания и деления как действий,,
обратных сложению и умножению.
Натуральные числа представляют собой частный вид положительных
рациональных чисел (знаменатель п равен 1). Сложение, вычитание, умножение
и деление натуральных чисел можно производить как по «старым»
правилам, установленным для натуральных чисел, так и по «новым»,
установленным для положительных рациональных чисел. Результаты
в обоих случаях получаются одинаковые.
Для положительных рациональных чисел сохраняются основные
законы арифметических действий над натуральными числами: переместительный
закон сложения, сочетательный закон сложения, переместительный
закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный
закон умножения относительно сложения.
2. Введение отрицательных чисел вызвано, кроме потребности измерения
величин, могущих изменяться в противоположных направлениях,
тем обстоятельством, что в области положительных рациональных
чисел не всегда возможно вычитание или, что все равно, не
всегда возможно решение уравнения х — \ — г ~ г ь где г и — положительные
рациональные числа. Введение отрицательных рациональных
чисел сделало вычитание рациональных чисел всегда возможным и
вооружило математику новыми средствами для решения практических
задач.
Как и в п. 1, в определение рациональных чисел включаются:
само собой разумеющееся правило равенства, правило сложения и
правило умножения. При этом правила эти и здесь подсказаны теми
практическими задачами, для решения которых вводились отрицательные
числа.
Правила вычитания и деления выводятся из принятых трех правил
и определений действий вычитания и деления.
Положительные числа представляют собой частный вид рациональных
чисел. Действия над положительными числами можно производить
как по общим правилам, установленным для рациональных
чисел, так и по правилам, установленным ранее для положительных
рациональных чисел. Результаты в обоих случаях получаются одинаковые.
Для рациональных чисел сохраняются основные законы арифметических
действий.
3. Введение иррациональных чисел вызвано тем обстоятельством,
что посредством рациональных чисел невозможно выразить отношение
двух любых отрезков. Существуют несоизмеримые отрезки, и их
отношение не может быть выражено рациональным числом.
Как на одну из простейших задач алгебры, которая не может быть
полностью решена в области рациональных чисел, укажем на решение
уравнения х* = а, где а — положительное число. Решение этого
уравнения или, что все равно, извлечение квадратного корня из положительного
числа не всегда возможно в области рациональных

425 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

чисел. Введение иррациональных чисел вооружило математику новыми
средствами решения практических задач.
В результате введения иррациональных чисел оказалось возможным
дать точное числовое выражение для отношения любых отрезков
и решить ряд других важных задач: задачу об измерении длины
окружности, задачу о существовании логарифма, задачу об извлече-
рии корня любой степени из положительного числа и другие задачи.
Как в пп. 1 и 2, в определение действительного (вещественного)
числа входят как составные части его: правило равенства, правило
сложения и правило умножения. Правила эти и здесь подсказаны
теми практическими задачами, для решения которых вводились иррациональные
числа. Правила вычитания и деления выводятся из правил
сложения и умножения и определений действий вычитания и деления.
Рациональные числа представляют собой частный вид действительных
чисел. Действия над рациональными числами можно производить
как по общим правилам, установленным для действительных
чисел, так и по правилам, установленным ранее для рациональных
чисел. Результаты в обоих случаях получаются одинаковые.
Для действительных чисел сохраняются основные законы арифметических
действий.
4. Дальнейшее расширение понятия числа состоит в том, что
к действительным числам присоединяются новые числа — мнимые.
При Этом вновь будут иметь место * обстоятельства, подобные тем,
которые отмечены выше.
Введение мнимых чисел вызвано тем обстоятельством, что в области
действительных чисел невозможно извлечение квадратного
корня из отрицательного числа или, что все равно, невозможно решение
квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.
Введем следующее определение:
У — а* — ± ai;
будем числа ai, где а — любое действительное число, называть мнимыми
(точнее, чисто мнимыми), «Множитель» i поставлен для того,
чтобы подчеркнуть отличие «числа» ai от действительного числа а.
Буква i — первая буква латинского — слова Imaginarius, что в переводе
на русский язык означает «мнимый». Таким образом, ai здесь
по смыслу означает «а — мнимое». Например,
У~— 4 = ± 21; V — ^ = ± i ’> V — Z = ± V Z l ‘ ,
и т. д. Этого достаточно, чтобы стало возможным решить любое квадратное
уравнение с действительными коэффициентами.
Пример. Решить уравнение
x * + 2 x — j — 10 = 0.

426 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

Решение . х — — 1 i t ] A — 10 = — 1 ± У — 9 = — 1 ± 3i;
х х — — 1+Зг , х% — — 1 — 3L
Ответ. лг1>2 = — 1 i t 31
На первый взгляд такое «решение» уравнения кажется игрой,
лишенной всякого смысла. В самом деле, что означает «число»
— Число — не имеет того смысла, какой имеют действительные
(вещественные) числа. Таким числом нельзя измерить
ни одной величины: ни времени, ни длины, ни площади, ни скорости,
ни работы и т. п. Этим и объясняется название «мнимые числа»,
а также тот факт, что эти числа долго не признавались математиками.
Их стали признавать только тогда, когда убедились в том, что
они полезны при решении практических задач.
Теперь известно, что введение мнимых чисел оказывается полезным
при решении многих вопросов естествознания й техники. Сюда
относятся задачи, связанные с распространением звука, света, задачи
электротехники, радиотехники и др. Теперь требуется дать определение
совокупности чисел, состоящей из действительных и мнимых
чисел. Такая совокупность чисел называется совокупностью ком-
плексных чисел.
Так же, как и при ранее произведенных расширениях понятия
числа, надо ввести три правила: правило равенства комплексных
чисел, правило сложения комплексных чисел, правило умножения
комплексных чисел. Так же, как и раньше, эти правила должны быть
подсказаны теми задачами, для разрешения которых вводятся мнимые
числа.
Будем исходить из задачи решения квадратного уравнения с отрицательным
дискриминантом.
У равнение х 2 + 2х~г\ — 10 = 0 имеет корни х{ = — 1 Ы и
Хъ = — 1 — 3и Известно, что в случае, когда корни квадратного
уравнения действительны, они удовлетворяют теореме Виета
хх -\-Хъ = — р; х гх<ь = д.
Потребуем, чтобы и мнимые корни тоже удовлетворяли теореме
Виета, т. е. применительно к рассматриваемому примеру потребуем,
чтобы
( _ 1 + 30 + (_ 1 _ 3 0 = — 2 ,
(— 1+ з о (— 1 — з о = ю .
Можно заметить, что если сложение и умножение здесь производить
по правилам сложения и умножения многочленов с тем условием,
что I2 будет заменено числом — 1, мы получим требуемый
результат:
(— 1 + 3 0 -Н — 1 — 30 = — 1 + 31— 1— 3* = — 2,
( _ 1 + з* )(_ 1 _ з о = 1 + 3* — Ы — 9i2 = 1 — 9 • (— 1) = 10.
Этим подсказываются правила сложения и умножения.

427 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

Проведенные рассуждения отнюдь не являются доказательством
правил сложения и умножения комплексных чисел. Как уже говорилось,
эти правила не могут быть доказаны и принимаются без доказательства.
Эти рассуждения имели цель показать, какие соображения
подсказывают целесообразность введения именно этих, а не
других правил сложения и умножения.
Что касается правила равенства, то оно настолько просто и естественно,
что не требует никаких рассуждений, показывающих его
целесообразность.

428 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКабинет Математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии