Конечные поля

30. Конечные поля.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

Для каждого простого числа р и натурального n существует (с точностью до изоморфизма только одно) конечное
поле Fq из д = рп элементов. Это поле в честь Э. Галуа часто обозначается через GF(д). Для конечных полей
коммутативность умножения следует из других аксиом поля. А именно доказано (теорема Веддерберна), что всякое
конечное тело является полем.
Теорема 30.1. Пусть д = рп. Справедливы следующие утверждения.
1) F = Fq — поле разложения многочлена xq — х в алгебраическом замыкании Fp, и его элементы — корни этого
многочлена, т.е. xq — х = П (х — t).
t€F
2) Мультипликативная группа F* поля F является циклической порядка д — 1.
3) Группа автоморфизмов Aut F поля F является циклической порядка n, причем Aut F = (Ф | Ф(Ь) = tp, t Е F).
4) Если Fpd — подполе поля F, то d^. Обратно: каждому делителю d числа n отвечает ровно одно подполе
{t Е F | Ф^) = t} = Fpd. А втоморфизмы, оставляющие это подполе поэлементно неподвижным, образуют
группу Aut (F/Fpd) = (Ф^. Таким образом, имеется биективное соответствие между подполями конечного
поля F и подгруппами его группы автоморфизмов.
5) Если F* = (9), то 9 — примитивный элемент поля с минимальным многочленом h (х) степени n и F — поле
разложения над Fp многочлена h(x).
6) Для любого натурального числа m существует хотя бы один неприводимый многочлен степени m над Fp.
Пусть F = Fq — конечное поле, где д — нечетное число. Элемент а Е F* называется квадратичным вычетом в F,
если уравнение х2 — а = 0 имеет корень в F (в противном случае элемент а называется квадратичным невычетом).
Полагают (a/F) = 1, если а — квадратичный вычет в F, и —1 в противном случае. Если д = р, где р — нечетное
простое число, то (a/F) обозначается через (а/р) и называется символом Лежандра.
Теорема 30.2 (квадратичный закон взаимности). Пусть р и д — нечетные простые числа. Тогда (р/д) (д/р) =
(—1)((p-1)/2) • ((q-1)/2).
Теорема 30.3. Неприводимый над полем Fp многочлен степени n тогда и только тогда делит многочлен хр —х,
когда n делит m.
Теорема 30.4. Число фт(д) неприводимых унитарных степени m многочленов над полем Fq, д = рп, равно
«д) = m Е *(7).
d\m
Например, ^2(2) = ^(22 — 2) = 1, ^з(2) = ^(23 — 2) = 2.
Пусть f (х) — унитарный многочлен над полем Fp, f (0) = 0. Наименьшее натуральное число 5 такое, что f (х) | xs—1,
называется порядком многочлена f (х) и обозначается через o(f).
Теорема 30.5. Если f (х) — унитарный многочлен степени n над полем Fp, f (0) = 0, то 1 ^ o(f) ^ рп — 1.
Теорема 30.6. Пусть f (х) — неприводимый унитарный многочлен над полем Fp, f (0) = 0. Тогда:
1) если 9 Е Fpn — его корень (Fp С Fpn), то o(f) совпадает с порядком элемента 9 в F*;
2) если n = deg f (х), то o(f) | рп — 1.
Неприводимый над полем Fp многочлен называют примитивным над полем Fp, если o(f) = рdegf — 1.
ф ( рп — 1)
Теорема 30.7. Число bp(n) примитивных над полем Fp многочленов степени n равно bp(n) = ————————————————— , где
ф (m) — функция Эйлера.
Задачи
30.1. Для каких чисел n = 2, . . . , 10 существует поле из n элементов?
30.2. Пусть д = рп. Покажите, что:
а) в Fq [х] существует лишь конечное число многочленов заданной степени;
б) для каждого натурального числа m в Fq[x] существует неприводимый многочлен степени m.
30.3. 1) xq — х = П (х — а).
a^Fq
2) Если Fq С K, где K — некоторое поле, то а Е K принадлежит Fq тогда и только тогда, когда а = а.
3) Если многочлен f (х) Е Fq[x] делит xq — х, то он имеет d = deg f (х) различных корней.
30.4. Если д = рп, то произведение всех ненулевых элементов поля Fq равно —1. В частности, при n = 1 справедлива158 Конечные поля.

теорема Вильсона (р — 1)! = —1 (modр).
30.5. Всякий многочлен вида (xq — х) f(x), f(х) Е Fq[x], принимает для всех a Е Fq значение 0. Обратно, любой
многочлен g(x) такой, что g(a) = 0 для всех a Е Fq, имеет вид (xq — х) f (х) для подходящего f (х) Е Fq[x].
30.6. Для а Е Fq, q = pn, пусть
f (х) = (х — а)(х — ар)(х — ар2)… (х — ар n 1).
Покажите, что f (х) Е Fp[x]. В частности, а + ар + … + ар и аар … ар Е Fp. Обозначим tr(a) = а + ар + … +
ар . Проверьте, что:
а) tr(a) +tr(e) = tr (а + в);
б) П(иа) = иП(а) для всех и Е Fp;
в) существует такой а Е Fq, что П(а) = 0.
Пусть хр — х — а Е Fq[х], где а Е Fq. Покажите, что этот многочлен либо неприводим, либо является произведением
линейных множителей; причем последнее имеет место тогда и только тогда, когда П(а) = 0.
30.7. Всякое конечное расширение конечного поля является:
а) простым; б) нормальным.
30.8. Выпишите все унитарные многочлены первой, второй и третьей степени над полем F2. Выделите среди них
неприводимые.
30.9. Проверьте, что многочлены х4 + х3 + 1, х4 + х + 1 и х4 + х3 + х2 + х+1 неприводимы над полем F2. И разложите
х16 — х в произведение неприводимых множителей в F2[x].
30.10. Разложите на неприводимые множители:
а) х4 + х3 + х +2 в F3[x];
б) х3 + х2 + 4х + 2 в F5[x];
в) х5 + 5х4 + 5х3 + 2х2 + 4х + 3 в F^[x].
30.11. 1) F2[х]/ (f (х)) = F4, где f (х) = х2 + х + 1.
2) F3[x]/ (f (х)) = Fg, где f (х) = х2 + х + 2.
30.12. Проверьте, что ф3(р) = 3 (р3 — р). Найдите ф4 (2), ф5 (2), ф6 (2).
30.13. Поле F4096 имеет четыре собственных непростых подполя: F2 С Fs С F64 С F4096 и F2 С F4 С Fi6 С F4096.
30.14. Определите порядки многочленов:
а) х2 + х + 1, х3 + х + 1 и х4 + х3 + х2 + х + 1 над полем F2;
б) х + 1, х +4, х + 5 над полем F7.
30.15. Порядок многочлена над полем Fp равен порядку этого многочлена над любым расширением поля Fp.
30.16. Если т Е N и f — многочлен над полем Fp, то f | хт — 1, если и только если o (f) | т.
30.17. Если f и g — взаимно простые многочлены над полем Fp, то o (f • g) = [o (f), o(g)].
30.18. Пусть n Е N, f — многочлен над полем Fp, g = fn, t — наименьшее неотрицательное целое с условием
рг ^ п. Тогда:
а) o(g) = o (fn) = ро (f);
б) если к тому же t > 0, то o(g) < pdeg g — 1.
30.19. Докажите теорему 30.6.
30.20. Если f — многочлен над полем Fp и o (f) = р^ед f — 1, то f неприводим.
30.21. Пусть F = Fq — конечное поле, где q — нечетное число, и a Е F*. Тогда:
а) a(q-1)/2 = ±1;
б) a является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда a(q-1)/2 = 1;
в) a(q-1)/2 = (a/F);
гг)) ччииссллоо ккввааддррааттииччнныхх ввыччееттоовв ((ттаакк жее,, ккаакк ии ннееввыччееттоовв)) ррааввнноо q— —2 1— ; ;
д) EaeF*(a/F) =0;
е) отображение a — (a/F) является гомоморфизмом групп F* —— {—1,1};
ж) (a/F) = sgn aa, где а
а: х — ax — перестановка на множестве элементов поля F.
30.22. Пусть F = Fq — конечное поле, где q — нечетное число, —1 Е F является квадратичным вычетом тогда и
только тогда, когда q имеет вид 4k +1. Существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1.

159 Конечные поля.

30.23. Пусть а и b — взаимно простые числа и а : х а х — перестановка на множестве классов вычетов по модулю
b . Докажите, что:
а) если b четно, то
( 1 при b = 2 (mod 4),
sgnа = \ (—1)(a-1)/2 при b = 0 (mod4);
б) если b нечетно, b = Пs=1 рi (р1 ,… ,рs — простые числа), то sgn а = П (a/рi) (в этом случае sgn а обозначается i=1 i=1
через (a / b ) и называется символом Якоби);
в) (a/b1b2) = (a/b1) (a/b2) и (a1a2/b) = (a1/b) (a2/b).
Пусть р — нечетное простое число. Напомним, что множество { — (р — 1) / 2, . . . , — 1, 0, 1, 2, . . . , (р — 1) /2} называется
множеством наименьших вычетов по модулю p.
30.24. (Лемма Гаусса). Пусть а Е Z, р \ а и л обозначает число тех наименьших вычетов чисел а , . . . , ((р — 1) /2) а ,
которые отрицательны. Тогда (а / р ) = (—1)м.
30.25. Пусть р — нечетное простое число. Докажите, что (2/р) = (—1)(p -1)/8, т.е. 2 будет квадратичным вычетом
по модулю простых чисел вида 8k + 1, 8k + 7 и квадратичным невычетом по модулю простых чисел вида 8k + 3,
8k + 5.
30.26. Если b — нечетное целое число, то:
а) (—1/b) = (—1)(b-1)/2;
б) (2/b) = (— 1)(b2-1)/8.
30.27. (_) = (—1)((a 1)/2) ((b 1)/2) для любых взаимно простых нечетных чисел а и b.
30.28. Пусть F — конечное расширение поля F q степени n . В F как векторном пространстве над F q существует
базис вида х , x q, … , x q для некоторого х Е F .
30.29. Элементы х 1, . . . , х п Е F qn образуют базис над F q тогда и только тогда, когда
х 1 х 2 . . . х п
x q x q x q
det = 0.
х11
30.30. Пусть а Е Fqn. Элементы a,aq,… ,aq образуют базис Fqn как векторного пространства над Fq тогда и
только тогда, когда в Fqn [х] многочлены хп — 1 и
ах
п-1 +nq
х
п~2- 2 + … + а4 х + а4
взаимно просты.
30.31. Если Fq — конечное поле нечетной характеристики, то уравнение х + у = 2 в Fq имеет (д — 1) (д — 2)
решений.
30.32. Пусть F = Fq — конечное поле, а Е F*, 5 = (n^ — 1). Уравнение хп = а разрешимо в F тогда и только
тогда, когда а^-1^5 = 1. Если решения имеются, то их будет ровно 5.
30.33. Пусть (n, д — 1) = 1. Покажите, что все элементы из Fq являются n-й степенью. Если n — делитель числа
д — 1, то n-ми степенями в Fq являются те и только те элементы а, для которых а(|?-1)/п = 1.
30.34. Пусть F = Fq — конечное поле, а Е F*, 5 = (n^ — 1). Тогда:
а) в Fq уравнение хп = а или не имеет решений, или имеет 5 решений;
б) множество тех а Е F*, для которых уравнение хп = а разрешимо, является подгруппой, состоящей из (д — 1) /5
элементов.
30.35. Пусть F = Fq — конечное поле, причем д = 1 (modn). Тогда если K — поле, содержащее F, и [K : F] = n,
то для любого а Е F* уравнение хп = а имеет n решений в K.
30.36. Исходя из цепочки естественных включений
GF(р) с GF (р2!) с GF (р3!) с … ,
рассмотрите так называемое предельное поле Qp = GF (рто!), полагая а Е Qp если а Е GF (рп!) при достаточно
большом n. Опираясь на основные свойства конечных полей, докажите, что Qp — алгебраически замкнутое поле.
Таким образом, получаются, с учетом поля комплексных чисел, примеры алгебраически замкнутых полей любой
характеристики.
30.37. Если д = рп, то при р =2 все элементы поля Fq являются квадратами, а при р > 2 квадраты группы Fq
образуют в ней подгруппу F* 2 индекса 2, причем Fq 2 = Ker(t ^ t(q-1)/2).

160  Конечные поля.

30.38. Поле F2» будем рассматривать как векторное пространство V размерности n над F2. Наряду с операцией
сложения, наследуемой из F2», введем на V операцию умножения (x,y) w xoy = -Jxy. Здесь x w yfx — автоморфизм
на F2 n, обратный к x w x2, так что у/x + у = y/x + y/у. Покажите, что (V, +, о) — коммутативная (неассоциативная)
алгебра над F2, обладающая свойствами:
а) в V нет делителей нуля и нет единицы;
б) при a = 0 уравнение a о x = b однозначно разрешимо;
в) группа автоморфизмов Aut V действует на V\{0} транзитивно.

161 Конечные поля.

Околоadmin