Конгруэнтные фигуры.
Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):
Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова
(стр. 227-246)
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
§ 4. Конгруэнтные фигуры. А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.
П е р в о е о п р е д е л е н и е . Фигура Фх конгруэнтна фигуре
Ф, если существует сохраняющее расстояния отображение
фигуры Ф на Фх.
Так как перемещения сохраняют расстояния, часто употребляется
такой метод доказательства конгруэнтности фигур Ф и Фх:
находится перемещение, при котором образом фигуры Ф является
Фх.
В т о р о е о п р е д е л е н и е . Если существует перемещение,
отображающее фигуру Ф на Фх, то говорят, что фигура Фх конгруэнтна
Ф.
Замечание, сделанное перед этим определением, показывает,
что если фигура Фх конгруэнтна фигуре Ф в смысле второго определения,
то Фх конгруэнтна Фив смысле первого определения.
257 Конгруэнтные фигуры.
Для доказательства эквивалентности этих двух определений
остается показать, что если существует сохраняющее расстояния
отображение G, область определения которого — фигура Ф, а
множество значений — Фх, то существует и перемещение F (изометрическое
отображение всей плоскости, а не ее подмножества Ф),
при котором образ фигуры Ф — фигура Фх.
Т е о р е м а 4.1. Для любого сохраняющего расстояния отображения
G произвольной фигуры Ф в плоскость существует перемещение
F, являющееся продолжением G на всю плоскость (для любой
точки X фигуры Ф имеем: F (X) — G (X)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если Ф состоит из одной или двух
точек, то утверждение теоремы — очевидное следствие A.IV.1.
Рассмотрим другие возможности.
Первый случай: Ф — подмножество прямой.
Пусть А и В — различные точки Ф. Обозначим через Лх и Вг
образы точек А а В при отображении G. Так как G сохраняет расстояния,
|Лх5х1 = |Л5|. Вследствие А.IV.1. существует перемещение
F, переводящее А в Аъ В в Вх.
Отображения G и F сохраняют расстояния. Значит, G (Ф),
F (Ф) — подмножества прямой Л^. Возьмем отличную от Л и Б
точку Xфигуры Ф. НапрямойЛхбх имеется ровно одна точка Х1г
для которой |ЛХ| = |ЛхХх|, |fiX| =|SxXx|. Поэтому и F, и G
переводят X в X’, т. е. F — продолжение G на всю плоскость.
Второй случай: Ф содержит точки А, В, С, не принадлежащие
одной прямой.
Так как G сохраняет расстояния, точки Ах — G (Л), Вх — G (В),
Сх = G (С) также не принадлежат одной прямой, причем | Лх-SxN
= | АВ\, |ВхСх1 = |ВС|, |ЛхСх1 =|ЛС|. Как показано при доказательстве
теоремы 2.1 существует перемещение F, которое, как и
С, переводит Л в Аг, В в Въ С в Сх. Если Ф не содержит других
точек, кроме Л, б и С, теорема доказана. Пусть X — произвольная
точка Ф, отличная от Л, Б, С.
В этом случае мы докажем, что F (X) = G (X), показав, что существует
не более одной точки плоскости, удаленной от Л’ на расстояние
| ЛХ|, от В’ — на |fiX| и от С’— на |СХ|.
В самом деле, имеется не более двух точек Y1 и Y» плоскости,
для каждой из которых расстояние от Ах равно |ЛХ|, а от Вх —
|£Х| (теорема 1.З.), причем эти точки симметричны относительно
прямой АВ. Но \C’Y’\^ | C’Y»\: если эти расстояния равны, а
Y* ф Y», то С’ — точка меди-
атрисы к отрезку Y’Y», т. е.
С’ € (ЛхВх). Это противоречит
предположению С £ (АВ).
Надо добавить, что хотя приведенные
определения и эквивалентны,
числа, показывающие,
сколько имеется отображений,
устанавливающих конгруэнт
258 Конгруэнтные фигуры.
ность фигуры Ф фигуре Фх в смысле первого и второго определений,
могут оказаться различными. Так, с сохранением расстояний
отрезок на отрезок равной длины отображается двумя способами,
а перемещений, переводящих первый отрезок во второй, существует
четыре.
Так как перемещения плоскости образуют группу, сразу получаем:
У.4.1. Отношение конгруэнтности на множестве фигур является
отношением эквивалентности.
Отношение конгруэнтности фигур обозначается знаком е^.
Т е о р е м а 4.2. Для любого луча р’ в заданной полуплоскости
а’ с границей р существует единственный луч q’, имеющий общее
начало с р’, такой, что угол p’q’ конгруэнтен данному углу h’k’.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если в полуплоскости а’ существует
такой луч q’, что Z. p’q’ ^ A.h’k’, то перемещение, отображающее
угол h’k’ на угол p’q’, переводит Ох в О (рис. 8), а луч h’ ,(или k’)
отображается на луч р’\ при этом полуплоскость ah, содержащая k’
(соответственно полуплоскость а*, содержащая Н’), отображается
на а’р. как уже говорилось выше, при перемещениях крайние (граничные)
точки множества отображаются на крайние (граничные)
точки его образа. Таких перемещений в силу A.IV.2 имеется два.
Обозначим их через Ft и F%. Тогда
FAh’)=p’\ f!«)=«;,
F2 (kr) = p’, F2 (a’) = a’.
Fi (k1) и F
g (p’) — искомые лучи. Теорема существования доказана.
Для доказательства единственности остается показать, что
Fy (k’) = F2 (h’). Обозначим через q’ луч Ft (k’). Возьмем на лучах
р’ и q’ точки А и В: \ОА \ = \0В\.
Симметрия относительно медиатрисы ОМ отрезка АВ переводит
р’ в q’, q’ в р’у а полуплоскость а’р, содержащую^ q\ — в полуплоскость
a’q, содержащую р’.
Рассмотрим перемещение Som ° Ft. Имеем:
Som о Fi (&’) = S0M (qr) = p’.
s om o F ,K) = sM(«;) = a;.
Итак, образы флага 0$a’k при перемещениях F2 и Som ° FL
совпадают. В силу единственности перемещения, отображающего
один из данных флагов на другой, Som ° Fx = F2. Так как F2 (h’) =
= (So.m 0 Fj) (h’) = Som (p ) = q’, теорема доказана.
Т е о р е м а 4.3. Если треугольники АуВ^Су и А2В.,С2 таковы,
что BiAjCi ^ Z. В2А2С2, \AiBi\ = \А2В2\, \AiCi\== 1Л2С2!, то
АА2В2С2 ^ ААхВхСх.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Z-B^Cx ^ Z.B.2A2C2, существует
перемещение F, отображающее Ах на А2, луч АгВх на луч
259 Конгруэнтные фигуры.
А2Въ а луч Afix на луч Л2С2. Воспользовавшись условиями
\AxBx| = | Л2В2|, \AxCx| = 1Л2С21 и единственностью точки луча,
удаленной от его начала на данное расстояние, получаем, что
Аналогично доказываются другие признаки конгруэнтности
треугольников: по трем сторонам, по стороне и двум прилежащим
к ней углам.
О п р е д е л е н и е . Угол, конгруэнтный своему смежному, называется
прямым углом.
Для выпуклого угла имеются два угла, смежные с ним (рис. 9).
Поэтому вначале необходимо доказать корректность этого определения:
если Z.lg^Z.2, то Z . l ^ Z . 3 (рис. 9).
Угол 2 при симметрии Sa отображается на конгруэнтный ему
угол. Но луч ОА при симметрии Sa отображается на себя и по условию
Z. 1 Z. 2. Так как по теореме 4.2 от луча О А можно отложить
в данной полуплоскости лишь один угол, конгруэнтный данному,
$а _____
то [ОБ) ==> [ОС). Следовательно, и прямая р при симметрии Sa
отображается на’себя.
Из теоремы 3.4 вытекает, что Sp (а) — а. Поэтому угол 1 при
симметрии Sp отображается на угол 3, т. е. Z. 1 Ш АЗ.
Если две прямые пересекаются, то, как известно, они задают
четыре выпуклых угла. Из доказанной корректности определения
прямого угла следует, что если один из этих четырех углов прямой,
то и все четыре угла прямые.
О п р е д е л е н и е . Дее прямые, образующие при пересечении
прямые углы, называются взаимно перпендикулярными.
Т е о р е м а 4.4. Для любой точки О плоскости и любой прямой
р существует одна и только одна прямая, проходящая через О
и перпендикулярная р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим два случая.
Первый случай’. О $ р.
а) С у щ е с т в о в а н и е . Пусть О* = Sp (О) и М — точка
пересечения прямых 00′ и р (рис. 10, а). При еимметрии Sp лучи
МО и МО’ отображаются друг на друга, луч MN — на себя. Поэтому
углы OMN и O’MN — смежные и конгруэнтные углы. Это
означает, что прямые 00′ и р перпендикулярны.
б) Е д и н с т в е н н о с т ь . Допустим, что через точку О
260 Конгруэнтные фигуры.
проходят два перпендикуляра к прямой
р (рис. 11,6). Тогда, как это следует из
теоремы 4.2, прямые О А и О В при симметрии
Sp отображаются на себя. Так как эти
прямые пересекаются в точке О, отсюда получаем,
что эти прямые имеют вторую общую
точку O’— Sp (О). Но через две точки
проходит единственная прямая, поэтому
(ОА) = (ОВ). Это противоречит сделанному
допущению.
Второй случай1. О £ р.
а) С у щ е с т в о в а н и е . Возьмем
произвольную точку A tp. Как мы только
что показали, существует прямая AM (М £
<: р), проходящая через А и перпендикулярная
р (рис. 11, а). Вследствие A.IV.1 существует
перемещение, отображающее точки
М и О друг на друга. При этом перемещении
прямая р отображается на себя,
а прямая AM — на такую прямую ОА’, что
Z. 1 ^ Z. Г, Z.2^ Z.2′. Так как Z. l^Z.2,
в силу транзитивности отношения конгруэнтности
фигур Z. Г Z. 2′, т. е. (ОА’) J. р.
б) Е д и н с т в е н н о с т ь . Допустим, что через точку О € р
проходят два перпендикуляра р и р’ к прямой а (рис. 11, б). Тогда
луч ОР’ содержится в одном из углов АОР и РОВ. Пусть для определенности
[OP’) а Z-РОВ. При симметрии с осью ОР угол РОВ
отображается на угол РОА (эти углы прямые), луч ОР’ — на некоторый
луч ОР», содержащийся в угле РОА и отличный от луча
ОР. При этом Z-P»OA /-Р’ОВ. Это противоречит теореме 4.2:
от луча ОА в полуплоскости с границей ОА отложены два угла
(Z-P’OA и Z.POA), конгруэнтные углу Р’ОВ.
С доказательством этой теоремы нетрудно сделать вывод, что
медиатриса любого отрезка является серединным перпендикуляром
этого отрезка.
О п р е д е л е н и е . Луч ОМ угла АО В называется биссектрисой
этого угла, если углы АОМ и ВОМ, являющиеся подмножествами
данного угла, конгруэнтны.
Т е о р е м а . 4 . 5 . Для любого угла плоскости, отличного от развернутого,
существует биссектриса этого угла и притом только
одна.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Существование. Если прямая АВ —
граница развернутого угла, то любой луч с началом О € (А В),
перпендикулярный к прямой АВ и содержащийся в данном развернутом
угле (рис. 12, а), является его биссектрисой. Отметим, что
неединственность биссектрисы развернутого угла вытекает из того
обстоятельства, что в отличие от других углов вершина (край->;
няя точка) развернутого угла не единственна.
261 Конгруэнтные фигуры.
Если угол АО В — выпуклый (рис. 12, б), его биссектриса —
луч с началом О, содержащий середину М отрезка CD (С (: [ОА),
D (; [ОВ), |ОС|= |OD|). Действительно, \ОМ\ — ось симметрии
угла АОВ, а точка М — внутренняя точка этого угла, так как
Z-AOB — выпуклая фигура.
Луч ON, противоположный лучу ОМ, — биссектриса невыпуклого
угла АОВ.
2. Единственность. Если ОК и ОМ — различные биссектрисы
угла АОВ (рис. 13), то симметрии Sok и Som отображают угол на
себя. Кроме того, Е (/L.AOB) = Z.AOB. Но существует не более
двух перемещений, отображающих один из данных конгруэнтных
углов на другой (см. доказательство теоремы 4.2.) Противоречие.
Допустив, что существует более одной биссектрисы у невыпуклого
угла, приходим к противоречию с только что доказанной единственностью
биссектрисы выпуклого угла.
262 Конгруэнтные фигуры.
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика. Математика в школе.