Координаты точки на плоскости
Глава 1.
§ 2. Координаты точки на плоскости
4. Координатная плоскость
Главная страница Метод координат 9-ый класс.
Смотреть оригинал онлайн.
Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.
Чтобы определить координаты точки
на плоскости, проведем в этой плоскости
две взаимно перпендикулярные числовые
оси. Одну из осей называют осью абсцисс
или осью х (или Ох), другую — осью
ординат или осью у (или Оу).
Направление осей обычно выбирают
так, чтобы положительная полуось Ох
совмещалась с положительной полуосью
Оу поворотом на 90° против часовой стрелки
(рис. 5). Точку пересечения осей называют
началом координат и обозначают
буквой О. Она является началом отсчета
для каждой из двух числовых осей
Ох и Оу. Единицы масштаба на этих
осях выбираются, как правило, одинаковыми.
Возьмем на плоскости некоторую точку
М и опустим из нее перпендикуляры
на ось Ох и ось Оу (рис. 6). Точки пересечения
М , и М 2 этих перпендикуляров
с осями называются проекциями точки М
на оси координат.
Точка лежит на числовой оси Ох,
поэтому ей соответствует определенное
число л: — ее координата на этой оси.
Точно так же точке М 2 соответствует определенное
число у — ее координата на
оси Оу.
Таким образом, каждой точке М, лежащей
на плоскости, ставятся в соответствие
два числа х и у, которые называются
прямоугольными декартовыми
координатами точки М. Число х называется
абсциссой точки М, число у — ее ординатой.
Обратно, каждым двум числам х и у
можно сопоставить некоторую точку плоскости,
для которой х является абсциссой,
а у — ординатой.
15
Теперь установлено взаимно однозначное соответствие
*) между точками плоскости и парами чисел
х и у, следующих в определенном порядке
(сначала х, затем у).
Итак, прямоугольными декартовыми координатами
точки на плоскости называются
координаты проекций этой точки на
оси координат на этих осях.
Координаты точки М записываются
обычно так: М (х , у). На первом месте
записывается абсцисса, на втором — ордината.
Иногда, для краткости, вместо «точка
с координатами (3, — 8)» говорят «точка
(3, — 8)».
Оси координат делят плоскость на четыре
четверти (квадранта). Первой чет-
IУ вертью считается четверть между положи-
тельной полуосью Ох и положительной
, полуосью Оу. Далее четверти нумеруются
по порядку против часовой стрелки (рис. 7).
о ~ х Чтобы освоиться с координатами на пло-
/V скости, сделайте несколько упражнений.
Упражнения
Сначала мы предлагаем Вам совсем
простые задачи.
1. Какое слово здесь зашифровано:
(6, 2), (9, 2), (12, 1), (12, 0), (11, — 2 ) ,
(9, — 2 ) , (4, — 2 ) , (2, — 1 ) , (1, 1), ( — 1 , 1),
( — 2 , 0 ) , ( — 2 , — 2 ) , (2, 1), (5, 2), (12,2),
(9, 1), (10, — 2 ) , (10, 0), (4, 1), (2, 2), ( — 2 , 2),
( — 2, 1), ( — 2, — 1), (0, 0), (2, 0), (2, — 2),
(4, — 1 ) , (12, — 1 ) , (12, — 2 ) , (11, 0),
(7, 2), (4, 0), (9, 0), (4, 2).
2. Не рисуя точки А ( 1 , — 3 ) , скажите,
в какой четверти она расположена.
3. В каких четвертях может находиться
точка, если ее абсцисса положительна?
*) Взаимно однозначное соответствие между точками
плоскости и парами чисел — это такое соответствие,
при котором каждой точке соответствует
одна определенная пара чисел и каждая
пара чисел соответствует одной определенной
точке (ср. со стр. 9).
16
4. Какие знаки будут у координат точек,
расположенных во второй четверти?
В третьей четверти? В четвертой?
5. На оси Ох взята точка с координатой
— 5, Каковы ее координаты на плоскости?
(Ответ. Абсцисса точки равна — 5,
ордината равна нулю.)
А вот задачи немного посложнее:
6. Нарисуйте точки А (4, 1), В (3, б),
С (— 1, 4) и D (0, 0). Если Вы правильно
нарисовали, то у Вас получились вершины
квадрата. Какова длина стороны
этого квадрата? Какова его площадь ’)?
Найдите координаты середин сторон квадрата.
Не можете ли Вы доказать, что
ABCD — квадрат? Придумайте еще четыре
точки (укажите их координаты) так, чтобы
они служили вершинами квадрата.
7. Нарисуйте правильный шестиугольник
A BC D EF. Возьмите точку А за начало
координат, ось абсцисс направьте от А
к В, за единицу масштаба возьмите отрезок
АВ. Найдите координаты всех вершин
этого шестиугольника Сколько решений
имеет задача?
8. На плоскости даны точки А (0, 0),
В (*,, ух) и D (хг, уг). Какие координаты
должна иметь точка С, чтобы четырехугольник
ABCD был параллелограммом?
б. Соотношения, связывающие координаты
Если известны обе координаты точки,
то положение ее на плоскости вполне
определяется. Что можно сказать о положении
точки, если известна только одна из
ее координат? Например: где лежат все
точки, у которых абсцисса равна 3? Где
расположены все точки, у которых одна
координата (но неизвестно, какая) равна 3?
*) За единицу измерения площади мы выбираем
площадь квадрата, сторона которого равна единице
масштаба на осях.
17
Задание одной из двух координат определяет,
вообще говоря, некоторую л и-
н и ю. Этот факт даже лег в основу сюжета
романа Жюля Верна «Дети капитана Гранта
». Герои книги знали только одну из
координат места кораблекрушения (широту),
поэтому, чтобы осмотреть все возможные
точки, они были вынуждены обойти
Землю по целой параллели— линии, для
каждой из точек которой широта равна
37° 1Г .
Соотношения между координатами
тоже чаще всего определяют не одну точку,
а некоторое м н о ж е с т в о (совокупность)
точек. Например, если отметить
все точки, у которых абсцисса равна ординате,
т. е. точки, координаты которых
удовлетворяют уравнению
х = у,
то получится прямая линия — биссектриса
первого и третьего координатных углов
(рис. 8).
Иногда вместо «множество точек» говорят
«геометрическое место точек». Например,
геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют соотношению
х = У ,
— это, как мы только что говорили, биссектриса
первого и третьего координатных
углов.
Не следует думать, что всякое соотношение
между координатами задает обязательно
линию на плоскости. Например,
Вы легко можете убедиться, что соотношение
х г + у г = 0 определяет одну-един-
ственную точку — начало координат. Соотношению
хг + у * = — 1 не удовлетворяют
координаты ни одной точки на плоскости
(оно определяет так называемое
«пустое» множество).
Соотношение
х г — у 2 = О
18
задает на плоскости пару взаимно перпендикулярных
прямых (рис. 9). Соотношение
х ‘ — у2> 0 задает целую область
(рис. 10).
Упражнения
1. Попробуйте выяснить самостоятельно,
какие множества точек определяются
соотношениями:
а) М = \у[,
б) J L ^ J L —
> 1*1 I у\’
в) \х\+х=—\у\ + у,
Г) [х] = \у]’У,
д) Х— [ х ] = у — [у]\
е) х — [ х ] > у — [у]. (Отегт к упр. 1е
дан в виде рисунка на стр. 71.)
2. Прямолинейная дорога отделяет луг
от пашни. Пешеход передвигается по дороге
со скоростью 5 км/час, по л у гу—со
скоростью 4 км/час, по пашне — со скоростью
3 км/час. В начальный момент пешеход
стоит на дороге. Нарисуйте область,
состоящую из тех точек, в которые пешеход
может попасть за 1 час.
3. Плоскость делится осями координат
на четыре четверти. По I и III четвертям
(включая оси координат) можно передвигаться
со скоростью а, по II и IV (исключая
координатные оси)— со скоростью Ь.
Нарисуйте множество точек, в которые
можно попасть из начала координат за
некоторое заданное время, если при этом:
а) скорость а вдвое больше, чем Ь\
б) скорости связаны соотношением
a = b — V 2 .
’ ) Символом [х] обозначают целую часть числа х,
т . е. наибольшее целое число, не превосходящее
х. Например, [3, 5] = 3, [51 = 5, [ — 2,
5 ] = — 3.
Рис. 10.
19
Мы с Вами умеем теперь говорить о
точках на языке чисел. Например, нам
уже нет необходимости объяснять: возьмите
точку, находящуюся на три единицы
правее оси у и на пять единиц ниже оси х.
Достаточно сказать просто: возьмите точку
( 3 , — 5 ) .
Мы говорили уже, что это создает
определенные преимущества. Так, мы можем
рисунок, составленный из точек,
передать по телеграфу, сообщить его вычислительной
машине, которая совсем не
понимает чертежей, а числа понимает
хорошо.
В предыдущем пункте мы задали при
помощи соотношений между числами некоторые
множества точек на плоскости.
Теперь попробуем последовательно переводить
на язык чисел другие геометрические
понятия и факты.
Мы начнем с простой и обычной задачи:
найти расстояние между двумя точками
плоскости.
Как всегда, мы считаем, что точки заданы
своими координатами, и тогда наша
задача состоит в том, чтобы придумать
правило, по которому можно вычислить
расстояние между точками, зная их координаты.
При выводе этого правила, конечно,
разрешается прибегать к чертежу,
но само правило не должно содержать
никаких ссылок на чертеж, а должно
только показывать, какие действия и в каком
порядке надо совершать над данными
числами— координатами точек, чтобы получить
искомое число — расстояние между
точками.
Быть может, некоторым из читателей
этот подход к решению задачи покажется
странным и надуманным. Чего проще,
скажут они, точки заданы, пусть даже
координатами. Нарисуйте эти точки,
20
возьмите линейку и смерьте расстояние
между ними.
Этот способ иногда не так уж плох.
Однако представьте себе опять, что Вы
имеете дело с вычислительной машиной.
В ней нет линейки, и она не рисует, но
зато считать она умеет настолько быстро
*), что это для нее вообще не составляет
никакой проблемы. Заметьте, что наша
задача поставлена так, чтобы правило
вычисления расстояния между двумя точками
состояло из команд, которые может
выполнить машина.
Поставленную задачу лучше сначала
решить для частного случая, когда одна
из данных точек лежит в начале координат.
Начните с нескольких числовых примеров:
найдите расстояние от начала координат
точек (12, 5); ( —3, 15) и (—4, — 7).
Указание. Воспользуйтесь теоремой
Пифагора.
Теперь напишите общую формулу для
вычисления расстояния точки от начала
координат.
Ответ. Расстояние точки М (х, у)
от начала координат определяется по
формуле
р ( О , М ) = / ; ? + г Л
Очевидно, правило, выражаемое этой
формулой, удовлетворяет поставленным
выше условиям. В частности, им можно
пользоваться при вычислении на машинах,
которые способны умножать числа,
складывать их и извлекать квадратные
корни.
Теперь решим общую задачу.
З а д а ч а . Даны две точки плоскости
А (х,, ух) и В (х2, г/2); найти расстояние
р (А, В) между ними.
’ ) Современная вычислительная машина делает
десятки тысяч операций сложения и умножения
в секунду.
21
Р е ш е н и е . Обозначим через Л,, В „
19 А2, В 2 (рис. 11) проекции точек А ч В
L~в2 на оси координат.
Точку пересечения прямых Л Л , и В В 2
о к обозначим буквой С. Из прямоугольного
в, х треугольника ABC по теореме Пифагора
получаем *)
рг (А, В) — р*(А , С) — рр2 (В, С). (*)
Но длина отрезка АС равна длине отрезка
А гВ г. Точки Аг и В 2 лежат на
оси Оу и имеют соответственно координаты
у , и у2. Согласно формуле, полученной
в п. 3, расстояние между ними равно
\ У г~ У , I-
Аналогично рассуждая, получим, что
длина отрезка ВС равна |х,— х г |. Подставляя
найденные значения АС и ВС
в формулу (*), получаем
р2 (Л, В ) = { х , — хг)г + {У ,— У д г-
Таким образом, р ( Л , В ) — расстояние
между точками А (х,, у,) и В (х2, у 2)—
вычисляется по формуле
р (Л, В) = У ( х — х 2У + ( у — у 2У.
Заметим, что все наши рассуждения
обслуживают не только такое расположение
точек, как на рис. 11, но и любое
Другое.
Сделайте другой чертеж (например,
возьмите точку Л в 1 четверти, а точку
В — во II) и убедитесь, что все рассуждения
можно будет дословно повторить,
не меняя даже обозначений точек.
Заметим еще, что формулу из п. 3
для расстояния между точками на прямой
Р
*) Через р3 (А, В ) мы обозначаем квадрат расстояния
р (Л , В ).
22
(см стр. 12) можно переписать в аналогии
ном виде ‘):
Р (Л, В ) = У {х ,— хг)г.
Упражнения
1. На плоскости даны три точки
А ( 3 , — 6 ) , В (— 2, 4) и С (1, — 2). Доказать,
что эти три точки лежат на одной прямой.
(Указание. Покажите, что одна из сторон
«треугольника» ABC равна сумме двух
других его сторон.)
2. Примените формулу расстояния между
точками для доказательства известной
Вам теоремы: в параллелограмме сумма
квадратов сторон равна сумме квадратов
диагоналей. (У казан ие. Возьмите одну из
вершин параллелограмма за начало координат
и воспользуйтесь результатами задачи
3 из п. 4. Вы увидите, что доказательство
теоремы сведется к проверке простого
алгебраического тождества. Какого?)
3. Докажите с помощью метода координат
следующую теорему: если ABCD —
прямоугольник, то для любой точки М
справедливо равенство ЛЛ12 + СМ 2 =
= В М г DM 2. Как удобнее расположить
оси координат?
1) Мы пользуемся тем, что А
У У = \х\ I
(имеется в виду арифметическое значение кор-
ня). Н еаккуратное использование этого правила
(иногда ошибочно считают, что У х‘ = х) может
привести к неправильным выводам. Д ля примера
мы приводим цепь заклю чений, содержащую
такого рода неточность, и предлагаем Вам
обнаружить ее:
1— 3 = 4—6 = > I— 3 — f — | — = 4 —6 -f~ |= >
Г-
= Y ( 2 ~ ! ) = И — | = 2 — | = ф 1 = 2.
23
7 Задание фигур
Р
В п. 5 мы привели несколько примеров
соотношений между координатами, которые
определяют некоторые фигуры на
плоскости. Поучимся еще немного задавать
геометрические фигуры при помощи
соотношений между числами.
Всякую фигуру мы рассматриваем как
совокупность точек, из которых она состоит,
и задать фигуру — это значит задать
способ, по которому можно было бы
узнавать, принадлежит ли та или иная
точка рассматриваемой фигуре или нет.
Чтобы найти такой способ, например,
для окружности, воспользуемся определением
окружности как множества точек,
расстояние которых от некоторой точки С
(центра окружности) равно числу R (радиусу).
Значит, чтобы точка М (х , у)
(рис. 12) лежала на окружности с центром
С (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
р (М, С) было равно R.
Вспомним, что расстояние между точками
определяется по формуле
р (А, В) = V ( x l— xiy -\ -(y l — yi)i .
Следовательно, условие того, что точка
М (х , у) лежит на окружности с центром
С (а, Ь) и радиусом R, выражается соотношением
V ( x — а)1 + (у— b y = R, которое
можно переписать в виде:
( x — ay + ( y — b y = R\ (А)
Таким образом, чтобы проверить лежит
ли какая-нибудь точка на окружности,
нужно проверить, удовлетворяется ли соотношение
(А) для этой точки. Для этого
нужно подставить в (А) вместо л: и у координаты
рассматриваемой точки. Если
мы получим тождество, то точка лежит
на окружности, в противном случае точка
24
не лежит на окружности. Итак, зная уравнение
( А) , мы можем про любую точку
плоскости сказать, лежит она на окружности
или нет. Поэтому уравнение (А)
называют уравнением окружности с центром
С (а, Ь) и радиусом R.
Упражнения
1 Напишите уравнение окружности с
центром С ( — 2, 3) и радиусом 5. Проходит
ли эта окружность через точку (2, — 1)?
2. Покажите, что уравнение
х г+ 2 х + у * = 0
задает на плоскости некоторую окружность.
Найдите ее центр и радиус. (У к азание.
Представьте уравнение в виде
(х2 + 2х + 1 ) + у 2 = 1 или ( х + 1 ) * + У * = 1.)
3. Какое множество точек задает соотношение
х 2-\- у 2 4х + 4у?
(Решение. Перепишем это неравенство:
х 2— 4х + 4 + у 1 — 4г/ + 4 < 8
или
( х — 2 ) * + ( г / — 2 ) 2^ 8 .
Как теперь ясно, это соотношение выражает,
что расстояние точки искомого
множества от точки (2, 2) меньше или
равно |/8. Очевидно, что точки, удовлетворяющие
этому условию, заполняют круг
радиуса У 8 с центром в (2, 2). Так как
в соотношении допускается равенство, то
граница круга тоже принадлежит искомому
множеству.)
Мы убедились в том, что окружность
на плоскости можно задать с помощью
некоторого уравнения. Таким же образом
можно задавать и другие линии, только
уравнения,конечно,будут выглядеть иначе.
Мы уже говорили, что уравнение
х г — у2 — 0 задает пару прямых (см.
25
Так что если бы вычислительная машина
могла чувствовать к кому-нибудь симпатию,
то, вероятно, она бы передала ему
в виде уравнения рисунок сердца, а может
быть преподнесла бы математический
«букет» — уравнения кривых, изображенных
на рис. 14; как видите, эти кривые,
действительно, похожи на цветы. Уравнения
этих математических цветов мы
напишем позже, когда Вы познакомитесь
с другими координатами, так называемыми
полярными.
8. Начинаем решать задачи
Переводя геометрические понятия на
язык координат, мы получаем возможность
вместо геометрических задач рассматривать
алгебраические. Оказывается,
что после такого перевода большинство
задач, связанных с прямыми и окружностями,
приводит к уравнениям первой
и второй степени, а для решения таких
уравнений есть простые общие формулы.
(Надо заметить, что к XVII веку, когда
был изобретен метод координат, искусство
решения алгебраических уравнений
достигло высокого уровня. К этому времени,
например, математики научились
решать любые уравнения третьей и четвертой
степени. Поэтому французский ученый
Р. Декарт, открыв метод координат,
сказал: «я решил все задачи», имея в виду
геометрические задачи своего времени.)
Проиллюстрируем простым примером
сведение геометрических задач к алгебраическим.
З а д а ч а . Дан треугольник ЛВС; найти
центр окружности, описанной около
этого треугольника.
Р е ш е н и е . Примем точку А за начало
координат, ось абсцисс направим от
А к В. Тогда точка В будет иметь координаты
(с, 0), где с — длина отрезка А В.
f
Ом 0 / У ^
У
Рис. 14.
27
Пусть точка С имеет координаты (q , К),
а центр искомой окружности — координаты
(а, Ь). Радиус этой окружности обозначим
через R . Запишем в координатах,
что точки А (0, 0), В (с, 0) и С (q, h) лежат
на искомой окружности:
a* + b* = R*,
(C- a y + b* = R\
( q — a ) * + ( h — b ) l = R\
Каждое из этих условий выражает
тот факт, что расстояние точек А (0, 0),
В (с, 0) и С (q, h) от центра окружности
(а, b) равно радиусу. Эти условия легко
получить также, если записать уравнение
искомой окружности (окружности с центром
в (а, Ь) и радиусом R), т. е.
(x— a)z + (y— b)’- = R\
а затем в это уравнение вместо х и у под*
ставить координаты точек Л, В и С, лежащих
на этой окружности.
Эта система трех уравнений с тремя
неизвестными легко решается, и мы
получаем:
Р _ V(q* + h*)[(q-cY +h>)
2 h
Задача решена, так как мы нашли
координаты центра ‘).
Отметим, что заодно мы получили формулу
для вычисления радиуса окружности,
описанной около треугольника. Эту
формулу можно упростить, заметив, что
У ¥ П ? = Р ( А , С), V ( q — c Y + h> =
= р (В, С), а число h равно высоте треугольника
ABC, опущенной из вершины С.
Если обозначить длины сторон ВС и АС
‘) Заметьте, что при решении этой задачи мы не
прибегали к чертежу.
28
треугольника соответственно через а и Ь,
то формула для радиуса примет красивый
и удобный вид:
Можно еще заметить, что h c— 2S,
где S — площадь треугольника ABC,
и тогда переписать нашу формулу в виде:
Сейчас мы хотим показать Вам задачу,
которая интересна тем, что геометрическое
решение ее довольно сложно; если же
перевести ее на язык координат, решение
становится совсем простым.
З а д а ч а . На плоскости даны точки
А и В; найти геометрическое место точек М,
удаленных от А вдвое больше, чем от В.
Р е ш е н и е . Выберем систему координат
на плоскости так, чтобы начало координат
попало в точку А, а положительная
полуось абсцисс пошла по А В . За единицу
масштаба возьмем отрезок АВ. Тогда точка
А будет иметь координаты (0, 0), точка
В — координаты (1, 0). Координаты точки
М обозначим через (х , у). Условие
р(Л, Af) = 2p(B, М) записывается в координатах
так:
J/P T 7- 2 V ( x — l У + у1.
Мы получили уравнение искомого геометрического
места точек. Чтобы понять,
какое множество описывается этим уравнением,
мы преобразуем его так, чтобы
оно приняло знакомый Вам вид. Возведя
обе части в квадрат, раскрывая скобки
и приводя подобные члены, получаем равенство
3xs — 8х + 4 + % * = ( ) .
Это равенство можно переписать так:
2 8 . 16 . 2 4
* ~ Ь Х + 9′ + У
29
Вы уже знаете, что это уравнение
является уравнением окружности с центром
в точке , 0^ и радиусом, равным |—
Это значит, что наше геометрическое место
точек является окружностью.
Для нашего решения несущественно,
что р (А, М ) именно в 2 раза больше
р (В, М), поэтому на самом деле решена
более общая задача. Именно, доказано, что
геометрическое место точек М, отношение
расстояний которых до данных точек А
и В , постоянно:
Е У а М — ц (*)
Р ( В , М ) ’
(k — заданное положительное число, не
равное 1), является окружност ью’).
Чтобы убедиться в силе метода координат,
попробуйте решить эту же задачу
геометрически. (У казан ие. Проведите из
точки М биссектрисы внутреннего и внешнего
углов треугольника А М В. Пусть
К. и L — точки пересечения этих биссектрис
с прямой А В. Докажите, что положение
этих точек не зависит от выбора точки
М на искомом геометрическом месте
точек. Докажите, что угол K M L равен
90°.)
Надо заметить, что с такими задачами
умели справляться еще древние греки.
Геометрическое решение этой задачи
помещено в трактате «О кругах» древнегреческого
математика Аполлония (II век
до н. э.).
’) Мы исключили случай k = 1; Вы , конечно, знаете,
что в этом случае геометрическое место (*)
является прямой (точка М равноудалена от А
и В). Докаж ите это аналитически.
30
Решите самостоятельно такую задачу:
Найти геометрическое место точек М,
разность квадратов расстояний которых
до двух данных точек А и В равна данной
величине с. При каких с задача имеет
решение?
9. Другие системы координат
Н аряду с декартовой прямоугольной системой
координат употребляю тся и другие системы коор
динат на плоскости. На рис. 15 изображена декартова
косоугольная система координат. Как определяются
координаты точки в такой системе, ясно
из чертежа. В некоторых случаях оказы вается необходимым
брать по осям координат разные еди
ницы масштаба.
Е сть координаты, более существенным образом
отличающиеся от декартовых. Примером таких
координат являю тся полярные координаты, о ко торых
мы уже упоминали.
Полярные координаты точки на плоскости
определяются следующим образом.
На плоскости берется числовая ось (рис. 16).
Начало координат этой оси (точка О) называется Рис. 16.
полюсом, а сама о сь— полярной осью. Д ля определения
положения точки Л1 достаточно указать
два числа: р — полярный радиус (расстояние этой
точки от полюса) и ср— полярный у го л 1) (угол
поворота от полярной оси до луча ОМ). На нашем
рисунке полярный радиус р = 3,5, а полярный
угол <р равен 225°, или 2) ^ .
*) ф — это греческая буква, читается «фи».
2) Д ля измерения углов ф в полярной системе координат
мы наряду с градусной мерой будем
применять так называемую радианную. В этой
последней за единицу измерения углов принимается
1 радиан — центральный угол, опирающийся
на д угу окружности, длина которой равна
1 (радиус окружности предполагается равным
1). Полный угол 360°, опирающийся на всю
окружность (радиуса 1), получает радианную
меру 2л , угол в 180°— меру л , прямой угол —
меРУ у , угол в 45°— меру и т. д. Радиан
180° 180° Л
равен т. =5= 57° 17 45*. О казы вается, что
л 3, 14
во многих вопросах (о некоторых из них»пойдет
речь в дальнейших наших вы пусках) радианная
мера значительно удобнее градусной.
31
И так, в полярной системе координат положение
точки на плоскости задается двумя числами,
указывающими направление, в котором находится
точка, и расстояние до этой точки. Такой способ
указания места очень прост и часто употребляется.
Например, чтобы объяснить дорогу заблудившемуся
в лесу человеку, ему говорят: «от горелой сосны
(полюс) сверните на восток (направление), пройдете
километра два (расстояние) и будет сторожка
(точка)».
Кто занимался в туристических секциях, легко
поймет, что хождение по азимуту основано на том
же принципе, что и полярные координаты.
С помощью полярных координат можно тоже
задавать на плоскости различные множества точек.
Очень простым, например, будетуравнениеокруж ности
с центром в полюсе. Если радиус окружности
равен R , то и полярный радиус любой точки окружности
(и только точек на рассматриваемой
окружности) тоже равен R, значит, уравнение этой
окружности имеет вид
P = R .
где R — некоторая постоянная величина.
Какое множество получится, если рассмотреть
уравнение ф = а , где а — некоторое постоянное
число (например, ^ или ■—)? Ответ ясен: точки,
для которых ф постоянно и равно а , заполняют
луч, выходящий из полюса под углом а к полярной
оси. Например, е с л и а р а в н о , то этот луч проходит
под углом, равным примерно 28° к оси ‘) , а
Зя
если а = — , то луч направлен вертикально вниз,
т. е. угол между положительным направлением оси
и лучом равен 270°.
Разберем еще два примера. Уравнение
р = Ф
изображает некоторую спираль (рис. 17а). В самом
деле, при ф = 0 имеем р = 0 (полюс), а с ростом ф
величина р тоже растет, так что точка, поворачиваясь
вокруг полюса (против часовой стрелки),
в то же время удаляется от него.
‘) Напоминаем, что число, служащее координатой
ф, нужно истолковывать к а к радианную
меру угла (см. сноску 2) на стр. 31). Угол в —
радиана равен примерно 2ОО8О , угол в З—я радианз
равен точно 270°.
32
Другую спираль изображает уравнение
Р Ф
(рис. 176). Здесь при ф, близком к 0, величина р
велика, а при возрастании ф величина р убывает
и мала при больших ф. Поэтому спираль при
неограниченном возрастании ф «навертывается»
на точку О.
Уравнения кривых в полярной системе Вам
пока труднее понять, главным образом потому,
что Вы не изучали тригонометрии. Если же Вы с р ис
ней немного знакомы, попробуйте понять, какие
множества задают такие соотношения:
р = 8 Ш ф , р (cos ф + sin ф) 1 = 0 .
Полярная система координат в некоторых сл учаях
удобнее декартовой. Вот как, например, выглядит
для полярных координат уравнение кардиоиды
(см. п. 7):
р = 1 — sin ф.
Если Вы знаете немноготригонометриюдопоэтому
уравнению Вы гораздо легче представите себе кривую,
чем по ее уравнению в декартовых координатах.
И те красивые цветы, которые изображены
на рис. 14, задаются простыми уравнениями:
р = зш5ф (рис. 14, а),
(р — 2 )(р — 2 — | cos Зф |) = 0 (рис. 1 4 ,6 ).
Мы ничего не говорили о взаимной однозначности
соответствия между точками плоскости и полярными
координатами. Это объясняется тем, что
такой взаимной однозначности просто нет. В самом
деле, если Вы прибавите к углу ф любое целое
кратное 2я (т. е. целое кратное 360°), то направление
луча, очевидно, не изменится. Иными словами,
точки с полярными координатами р, ф и р,
Ф + 2 £ л , где р > 0 и k — любое целое число, со впадают.
Мы хотим привести еще один пример,
где тоже нет однозначности соответствия.
Во вступлении мы говорили о том, что можно
определять координаты н а л и н и я х и в § 1 рассмотрели
координаты на самой простой линии— прямой.
Сейчас мы покажем, как можно придумать
координаты еще для одной линии — окружности.
Д ля этого, как и в § 1, выберем на окружности
некоторую точку — начало координат (точка О на
рис. 18). Положительным направлением движения
по окружности будем считать, как обычно, вращение
против часовой стрелки. Единицу масштаба на
окружности тоже можно выбрать естественным образом:
выберем за единицу радиус этой окружности,
2 И. М. Гельфаид и др. 3
33
Тогда координатой точки М на окружности
будет длина дуги ОМ, взятая со знаком плюс, если
вращение от О к М идет в положительном направлении,
и со знаком минус в противном случае.
Сразу же бросается в глаза важное отличие
этих координат от координат точек на прямой:
здесь нет взаимной однозначности соответствия
между числами (координатами) и точками. Ясно,
что каждому числу соответствует одна определенная
точка окружности. Однако пусть задано число
а; чтобы найти соответствующую ему точку на окружности
(т. е. точку с координатой о),нуж но отложить
по окружности дугу длиной в а радиусов в положительном
направлении, если число а положительное,
и в отрицательном направлении, если а
отрицательное. При этом, например, точка с координатой
2л совпадет с началом координат. В нашем
примере точка О получилась, когда координата
была равна нулю и когда координата была равна
2л . Таким образом, в другую сторону соответствие
не является однозначным, т. е. одной и той же
точке соответствует несколько разных чисел. Л егко
видеть, что каждой точке окружности соответствует
бесконечное множество чи сел 1).
34
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Околоadmin
