Координатные оси и плоскости

Глава 1.

§ 3. Координаты точки в пространстве

Главная страница Метод координат 9-ый класс.

Смотреть оригинал онлайн.

Метод координат from Garik Yenokyan

Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.

10. Координатные оси и плоскости

Для определения положения точки в
пространстве нужно взять уже не две числовые
оси (как в случае плоскости), а три:
ось х — ось абсцисс, ось у — ось ординат,
ось z — ось аппликат. Эти оси проводят
через одну и ту же точку — начало координат
О — так, чтобы каждые две из них
были взаимно перпендикулярны. Направления
осей выбирают обычно так, чтобы
положительная полуось х совмещалась
с положительной полуосью у вращением
на 90° против часовой стрелки, если смотреть
с положительной полуоси г (рис. 19).
1) Вы можете заметить, что введенные координаты
точки на окружности совпадают с углами ф полярной
системы координат, если последние мерить
в радианах. Поэтому здесь еще раз иллюстрируется
неоднозначность полярных координат.

В пространстве, кроме координатных
осей, удобно рассматривать еще координатные
плоскости, т. е. плоскости, проходящие
через две какие-либо координатные
оси. Таких плоскостей три (рис. 20):
плоскость ху (проходящая через оси
х и у) — множество точек вида (х, у, 0),
где х и у — любые числа;
плоскость xz (проходящая через оси
х и z) — множество точек вида (х, 0, г),
где х и 2 — любые числа;
плоскость yz (проходящая через оси
у и г) — множество точек вида (0, у, г),
где у и z — любые числа.
Теперь для каждой точки М пространства
можно найти три числа х, у и 2,
которые будут служить ее координатами.
Чтобы найти первое число х, проведем
через точку М плоскость, параллельную
координатной плоскости yz (проведенная
плоскость будет одновременно перпендикулярна
к оси х). Точка пересечения этой
плоскости с осью х (точка М , на рис. 21, а)
имеет на этой оси координату х. Это число
х — координата точки УИ, на оси х — называется
абсциссой точки М.
Чтобы найти вторую координату, через
точку М проводят плоскость, параллельную
плоскости хг (перпендикулярную
к оси у), находят на оси у точку М 2
(рис. 21,6). Число у — координата точки
М г на оси у — называется ординатой
точки М.
Аналогично, проведя через точку М
плоскость, параллельную плоскости ху
(перпендикулярную к оси г), находят число
2 — координату точки М , (рис. 21, в)
на оси 2. Это число г называется аппликатой
точки М.
Таким образом, мы каждой точке пространства
поставили в соответствие определенную
тройку чисел — ее координаты:
абсциссу, ординату и аппликату.

Обратно, каждой тройке чисел (ж, у , г),
заданных в определенном порядке (сначала
ж, затем у, потом z), можно поставить
в соответствие определенную точку М
пространства. Для этого надо воспользоваться
описанным построением, проделав
его с конца: отметить на осях точки М ,,
Мг и УИа, имеющие на этих осях соответственно
координаты х, у и г, а затем
провести через эти точки плоскости, параллельные
координатным плоскостям. Точка
пересечения этих трех плоскостей и будет
искомой точкой М. Очевидно, что числа
(ж, у, г) будут служить ее координатами.
И так, нами установлено взаимно однозначное
соответствие*) между точками пространства и
упорядоченными тройками чисел (координат
этих точек).
Освоиться с координатами в пространстве
Вам будет труднее, чем с координатами
на плоскости: для изучения координат
в пространстве нужно немного
знать геометрию в пространстве — стереометрию.
Необходимые для понимания координат
в пространстве сведения, которые
Вы легко поймете в силу их простоты и
наглядности, получат в курсе стереометрии
несколько более строгое обоснование.
В этом курсе можно будет доказать, что
точки M v Мг и М 3, построенные как точки
пересечения осей координат с плоскостями,
проведенными через точку М параллельно
плоскостям координат, являются проекциями
точки М на оси координат, т. е.
служат основаниями перпендикуляров,
опущенных из точки М на оси координат.
Так что для координат в пространстве
можно дать определение, аналогичное определению
координат точки на плоскости,
а именно:
*) Определение взаимно однозначного соответствия
см. на стр. 9,

Координатами точки М в пространства
называются координаты проекций этой
точки на координатные оси на этих осях.
Можно показать, что многие формулы,
выведенные для плоскости, нужно только
немного видоизменить для случая пространства.
Так, например, расстояние
между двумя точками А (х,, г/,, г,) и
В (х г,у 2, г г) вычисляется по формуле
р(Л ,В) = V { х —хг)г + (г/, — уг)г + (г, — г г)г.
(Вывод этой формулы очень похож на вывод
аналогичной формулы для плоскости.
Попробуйте сделать его самостоятельно.)
В частности, расстояние точки А (х, у, г)
от начала координат выражается формулой
Р (0, Л) = ]Лс2 + г/2 ф г 2.
Упражнения
1. Возьмем восемь точек: (1, 1, 1),
(1,1, — 1 ) , (1, —1, 1), (1, — 1, — 1 ) ,
( — 1, 1, 1), ( — 1, 1, — 1), ( — 1, — 1, 1),
(— 1, — 1, — 1). Какая из точек наиболее
удалена от точки (1, 1, 1)? Найдите расстояние
от этой точки до(1, 1, 1). Какие
точки лежат ближе всего к точке (1, 1, 1)?
Каково расстояние от этих точек до
( 1, 1, 1) ?
2. Нарисуйте куб Оси координат направьте
по трем ребрам, выходящим из
одной какой-либо вершины. За единицу
масштаба возьмите ребро куба. Обозначьте
вершины куба буквами A , B , C , D ,
Av В ,, C , , D t, как на рис. 22.
а) Найдите координаты всех вершин
куба.
б) Найдите координаты середины ребра
СС,.
в) Найдите координаты точки пересечения
диагоналей грани A A ^ f i .

3. Чему равно расстояние от вершины
(О, 0, 0) куба задачи 1 до точки пересечения
диагоналей грани
4. Как Вы думаете, какие из перечисленных
точек
лежат внутри куба задачи 1, а какие
вне его?
5. Запишите соотношения, которым
удовлетворяют координаты точек, лежащих
внутри куба задачи 1 и на его границе.
(Ответ. Координаты х, у, г точек, лежащих
внутри рассматриваемого куба и
на его границе, могут принимать числовые
значения от нуля до единицы включительно,
т. е. удовлетворяют соотношениям

11. Задание фигур в пространстве

Так же как на плоскости, координаты
в пространстве дают нам возможность
задавать с помощью чисел и числовых
соотношений не только точки, но и линии,
поверхности и другие множества точек.
Посмотрим, например, какое множество
точек получится, если задать только
две координаты, а третью считать произвольной.
Условия х — а, у — Ь, где а
и b — заданные числа (например, а = 5,
Ь = 4), задают в пространстве прямую,
параллельную оси z (рис. 23). Все точки
такой прямой имеют одну и ту же абсциссу
и одну и ту же ординату. Координата z
может принимать любые значения.
Точно так же условия

определяют прямую, параллельную оси х;
условия
г — с, х = а
— прямую, параллельную оси у.
Интересно, какое множество точек получится,
если задать только одну координату,
например
2 = 1?
Ответ ясен из рис. 24: это плоскость, параллельная
координатной плоскости ху
(т. е. плоскости, проходящей через ось х и
ось у) и отстоящая от нее на расстоянии 1
в направлении положительной полуоси 2.
Разберем еще несколько примеров, показывающих,
как можно задавать в пространстве
различные множества с помощью
уравнений и других соотношений между
координатами.
1. Рассмотрим уравнение
x ‘ + y ‘ + z ^ — R*. (*)
Поскольку расстояние точки (лг, у, z) от
начала координат задается выражением
Y x * + у* -\-z*, то ясно, что в переводе
на геометрический язык соотношение (*)
означает, что точка с координатами
(х, у, г), удовлетворяющими этому соотношению,
находится на расстоянии R от
начала координат. Значит, множество всех
точек, для которых выполняется соотношение
(*), это поверхность шара — сфера с
центром в начале координат и радиусом R.
2. Где расположены точки, координаты
которых удовлетворяют соотношению
x* + y ‘ + z2< 1?
Ответ. Так как это соотношение означает,
что расстояние точки (х, у, г) от начала
координат меньше единицы, то искомое
множество— это множество точек,
лежащих внутри шара с центром в начале
координат и радиусом, равным единице

3. Какое множество точек задается
уравнением х * + у *= 1 7 (**)
Рассмотрим сначала только точки плоскости
ху, удовлетворяющие этому соотношению,
т. е. точки, для которых 2= 0.
Тогда это уравнение, как мы видели
раньше (стр. 23), задает окружность с
центром в начале координат и радиусом,
равным 1. У каждой из этих точек координата
г равна нулю, а координаты х н у
удовлетворяют соотношению (**). Напри-
/ 3 4 4 мер, точка . g-, 0 J удовлетворяет этому
уравнению (рис. 25). Однако, зная эту
одну точку, мы можем найти сразу
много других точек, удовлетворяющих
тому же уравнению. Действительно, так
как в уравнение (**) г не входит, то и точка
( у , 4 — , ^удо вл етво р я ет у равнению, и точ-
g3 -, -4g-, z j, где значение координаты г совершенно
произвольно. Все эти точки лежат
на прямой, проходящей через точку
0^ параллельно оси г.
Таким же образом из каждой точки
(х *,у *, 0) нашей окружности, лежащей на
плоскости ху, мы можем получить много
точек, удовлетворяющих уравнению (**).
Для этого проведем через каждую точку
окружности прямую, параллельную оси г.
Все точки этой прямой будут иметь х и у
такие же, как и у точки окружности, а г
может быть любым числом, т. е. это будут
точки вида (х*, у*, г). Но поскольку г
в уравнение (**) не входит, а числа
(х*, у * , 0) уравнению удовлетворяют, то
и числа (х *, у*, г) тоже удовлетворяют
уравнению (**). Ясно, что таким образом
можно получить всякую точку, удовлетворяющую
уравнению (**).

Итак, множество точек, определяемое
уравнением (**), получается следующим
образом: берем на плоскости ху окружность
с центром в начале координат и с радиусом,
равным 1, и через каждую точку
этой окружности проводим прямую, параллельную
оси z. Мы получаем так называемую
цилиндрическую поверхность (рис. 25).
4. Мы видели, что одно уравнение задает
в пространстве, вообще говоря, некоторую
поверхность. Но это не всегда
так. Например, уравнению х 2-\-у2— О
удовлетворяют только точки линии — оси
г, так как из уравнения следует, что
х н у равны нулю, а все точки, для
которых эти координаты равны нулю,
лежат на оси г. Уравнение х 2 + г/2 + г 2==0
изображает точку (начало координат),
а уравнению х г -\-у2-\-г2 — — 1 соответствует
пустое множество.
5. Что будет, если рассмотреть точки,
координаты которых удовлетворяют не
одному уравнению, а системе уравнений?
Рассмотрим такую систему:
/ х 2 + у 2 + г 2= 4,
\ 2 = 1.
( * * * )
Точки, удовлетворяющие первому уравнению,
заполняют поверхность сферы радиуса
2 с центром в начале координат.
Точки, удовлетворяющие второму уравнению,
заполняют плоскость, параллельную
плоскости ху и расположенную от
нее на расстоянии в единицу в положительную
сторону оси г. Точки, удовлетворяющие
и первому, и второму уравнению,
должны лежать и на сфере х 2 + у 2 z2— 4,
и на плоскости z = 1, т. е. лежать на их линии
пересечения. Таким образом, эта система
задает окружность, являющуюся линией
пересечения сферы и плоскости (рис. 26).
Мы видим, что каждое из уравнений
системы задает поверхность, а оба уравнения
вместе задают линию.

Вопрос. Какие из указанных ниже точек
лежат на первой поверхности, какие
на второй, а какие на линии их пересечения:
A (VX УХ 0), в (УХ УХ 1),
с ( У Х У Х V 2 ), D ( 1 , У з , 0),
Е (0, V 3 , 1), F ( — 1 , — V X l ) ?
6. Как задать в пространстве окружность,
расположенную в плоскости х г с
центром в начале координат и радиусом
1?
Уравнение x 2- f z 2= 1 определяет в пространстве,
как Вы уже видели, цилиндрическую
поверхность. Чтобы получить только
точки нужной нам окружности, к этому
уравнению надо добавить условие г / = 0 ,
выделив тем самым из всех точек цилиндра
точки, лежащие на плоскости х г (рис. 27).
Получим систему
J * 2 + z 2= l ,
\ У = 0.
Упражнения
1. Какие множества точек задают в пространстве
соотношения: a) z2— 1; б) г/2-+-
-j-z2= l ; в) х г + у г -{-z2= l ?
2. Имеются три системы уравнений:
К + К Ч г 2= 1 ,
У > + г ‘ = 1;
б) 1 * + У ‘ + * = 1- в) / ^ г + 2’ = 1 ‘
\ х = 0 ; ( х = 0 .
Какие из них определяют одну и ту же
линию, а какие разные?
3. Как задать в пространстве биссектрису
угла хОу? Какое множество будет
задавать в пространстве одно уравнение
х = у }

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Координатные оси и плоскости