КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

106 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§ 55. Примеры на решение квадратных уравнений

Р р и м е р 1, «
а , f t (а -}-ft)2
х -\-а ‘ к 4- ft eft ‘
Освобождаемся от дробей, считая, что х ф — а и х ф — Ь
(а Ф 0. ЬфЩ\ \
a2b (x-f-ft)-f- аЪ2 (х -{-а) = (a — f — ft)2 (х -{- а) (х -f- ft).
После упрощений уравнение приводится к виду
(a ft)2 к 2+ (а 4 — ft) (a2 ft2 -4- aft) д: 4 — aft (а2 4 — ft2) = О,
откуда находим
(а 4^ ft) (Л* 4″ ft2 4″ ®ft) *
±У(а + ft)2 (a2 4- ft2 4- a*)2 — 4aft (a 4- ft)2 (a2 4 — ft2) T
A:~ 2 (a 4 — ft)2 *
иди, если вынести, изгпод знака радикала множитель (a 4 — ft)
и сократить на него числитель и знаменатель,
—(а2 + ft2 4- aft) ± V (ла + ** 4- а* )2 — 4aft (а2 4 — ft2)
2 (а 4- ft) ^ *
Дискриминант можно упростить;
(а2 4 — ft2 4 — aft)2 — 4aft (а2 4 — ft2) = (а2 4 — ft2)2 — f 2 (a2 + ft2) aft4-
4 — a2ft2 — 4aft (a2 4 — ft2) = (a2 4 — ft2)2 — 2aft (a24-ft2) 4 —
4 — a 2fi2 = (4>24 — ft2 u h f, … .
откуда
— (a2 4 — ft2 4~ flft) * (а2 + fts—aft)
2 (a 4- ft)
a2 4 — ft2 aft
— a 4 — ft ’ *2^ ~ 7 + f t *
Приме р 2„ Вычислить корни квадратного уравнения
2, 14k2 — 3,75к — 4,18 = 0, предполагая все значащие цифры
коэффициентов точными;.
„ _ 3,75 ± У3,752 4 — 4 -4,18 • 2,14 ‘
’2 4,28
Подкоренное выражение вычисляем с четырьмя значащими
цифрами, в квадратном корне сохраняем только три цифры’
й с таким же количеством значащих цифр находим корни

107 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

уравнения, пользуясь при этом таблицей квадратов и квадратных
корней:
3,752 + 4 • 4,18 • 2,14 як 14,06 + 8,56 ■ 4 ,1 8 » 49,84;
‘ У’49~8Т»
3,75 — 7,06 3,31
4,28 — 4,28
3,75 + 7,06 _ 10,81
— 0,773;
Л2 ~ 4,28 “ 4,28 2,52.
Пример 3.
х + а , x-j~b а2 + b2 . . ab
х-\-Ь ‘ х — \-a ab 1 а2 + 62 ’
Легко заметить, что обе части этого уравнения являются
суммами взаимно обратных величин. Поэтому уравйение равносильно
совокупности двух линейных уравнений

§ 56. Зависимость между коэффициентами и корнями
квадратного уравнения (формулы Виета)

По общей формуле корней квадратного уравнения имеем
— Ь — У Ь2 — 4ас у. — b + Уй2 — 4ас
*1 = ——— 2Г——— ’ 2 ~ ———25———-•
Складывая, а потом перемножая эти два равенства, получим
+ + Х2 — — , • Х2 — — .
В частном случае, когда уравнение является приведенным,
т. е. имеет вид х 2-\- p x — \ — q = О,
. х 1 + х 2 = — р, x tx 2 = q.
v ’ —
Сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна коэффициенту при неизвестном в первой степени
с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену,

108 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Этими свойствами; пользуются при составлении квадратных
уравнений по заданным корням. Например,
1) х г = 5 — У~2 , x 2 — 5-j~y~2~;
JCl—f-JC2= 10, Xi ;JC2 = 2 3 .
Искомое уравнение х 2— 10x-f-23 = 0.
2) х 1== —т , x 2 — -п£ -‘l X i-i, -x ^ — —т2 ^4;- —п2 , ^ 2 = 1 ,.
Уравнение х 2 —- ffi.-т~hп.fL к -{-1 = 0.

§ 67. Исследование корней квадратного уравнения

При решении квадратных уравнений с числовыми коэффициентами
в, некоторых случаях получаются два действи-
‘ тельных и различных между собой корня, в других — два
равных действительных корня, а в иных —два мнимых корня.
Естественно возникают такие вопросы: 1) от чего зависит
характер корней квадратного уравнения? 2) нельзя ли заранее
сказать, не решая самого уравнения, будет ли оно иметь
действительные корни, и если да, то положительны они или
отрицательны?
Ответы на поставленные вопросы и составляют то, что
принято называть ис с л е д о в а ни е м корней квадратного
уравнения.
В этом исследовании важную роль играет выражение
D — b2— 4ас, называемое дискриминантом квадратного
уравнения.
Возможны следующие три случая.
Случай 1. а > 0, D > 0.
Если дискриминант — положительное число, то квадратное
уравнение имеет два действительных и различных корня,
так как выражение ± У ь2— 4ас представляет два противоположных
числа, причем ни одно из них не равно нулю,
следовательно, дроби
— Ь — У Р ^ ь + У р —
2 а 2 а
имеют разные числители при одинаковых знаменателях.
Относительно знаков у коэффициентов b и с можно сделать
следующие четыре предположения:
1) Ъ < 0, с > 0.

109 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Если свободный член положителен, то оба корня одинаковы
по знаку, так как х 1х 2~ — ~ > 0. Сумма корней
— x t -}- х 2 — — > 0 и потону оба корня положительны.
2) Ь > 0, с > 0.
Оба корня одинаковы по знаку и оба отрицательны, так
как знак- суммы корней противоположен знаку коэффициента
■а* > 0 .
3) Ь < 0, с < 0.
Корни противоположны по знаку, так как их произведение
отрицательно: х 1х 2 — — < 0. Больший по абсолютной
величине корень положителен, ибо
+ *»?=* — Ъ > ° —
4) я # Ь > 0 , с < 0.
Корни противоположны по знаку. Больший по абсолютной
величине корень отрицателен.
Случай 2. а > 0, D — 0.
Оба корня действительны и одинаковы: = х 2 = — ^ ,
как это следует иа формулы корней квадратного уравнения.
При 6 > 0 оба корня отрицательны,- при & < 0 оба корня
положительны.
Случай 3. й > 0, D < 0.
Квадратное уравнение действительных корней не имеет,
так как квадратный корень из отрицательного числа У7Т
есть мнимое число. Такие случаи нами пока рассматриваться
не будут (см. главу «Комплексные числа»).
Примечание . Если а < 0, то, помножив обе части
уравнения на — 1, получим уравнение е положительным коэффициентом
при х 2.

110 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§ 68. Графическая иллюстрация исследования корней
квадратного уравнения

Обозначим левую часть квадратного уравнения а х 2 -f-
Л» -J- е = 0 через у:
у = а х2 -\-Ь х -{-с .’
Говорят, что у есть функция второй степени и ее принято

111

называть квадратным трехчленом. График этой функции
есть парабола, ось симметрии ее параллельна оси Оу (см.рис; 19).
Решить данное уравнение — это значит найти те значения
аргумента х , которые обращают трехчлен в нуль. В геометрическом
истолковании это будут абсциссы точек пересечения
параболы с осью Ох. На
рис. 32 изображен случай, когда ^
а > О, В > 0. Парабола пересекает
ось Ох в точках д?! и
х 2- Оба корня действительны
и различны.
На рис. 33 изображен случай,
когда дискриминант квадратного
уравнения равен нулю.
Тогда уравнение имееу дка.. ранных
между собой де#стйШль-
ных корня, что означает касание
параболы с осью Ох.
Рис. 34 иллюстрирует случай
квадратного уравнения с отрицательным
дискриминантом
(в < 0, В < 0). Парабола не пересекает оси Ох, а потопу
квадратное уравнение действительных корней не имеет.

112

§ 59. Решение уравнений степени выше второй
разложением левой части на множители

Если поеле переноса всех членов уравнения в левую часть
получается многочлен относительно неизвестного х , разложимый
на множители, каждый из которых не выше второй

113

степени. то решение такого уравнения не представляет трудности.
Пример 1. Решить уравнение х 3— Зх2— лг- f -3 = 0.
Это — уравнение третьей степени, левая часть его способом
группировки разлагается на множители:
х 3 — З*2 — л; 4 — 3 = х 2(х — 3) — (х — 3) — {х — 3)(jc2 — 1).
Уравнение принимает вид
(х — Ъ)(х2— 1) = 0.
Произведение обращается в нуль, если хотя бы один
из множителей равен нулю, следовательно, либо
х — 3 = 0. л: =
либо
х%— 1 = 0 , j c = ± l .
Всего имеем три корня: x v= — 1, х 2— 1, х 3 = 3.
Пример 2, Найти все корни уравнения
лс4 —}— 4jc — 4 = л:3
Данное уравнение есть уравнение четвертой степени. После
переноса всех членов в левую часть получим
х 4 — Xs — 5х 2-±- 4 х -\- 4 = О,
Член (— бх2) разложим на два слагаемых: —: 5х2 =
— — х 2 — 4х2; тогда имеем
х 4 — х 3 — я 2 — 4*2-}-4л:+ 4 = 0..
Образуем две группы членов по три члена в каждой:
х 4 — х 3 — х 2 — (4лг2 — 4х — 4) = О,
дг2(лс2 — х — 1) — 4 (jc2 — X — 1)=sG,
(лс2 — 4) (лг2 — Jf — 1)==0.
Приравнивая каждый из двух множителей нулю и располагая
корни в порядке их возрастания; получим
1) jc2 — 4 = 0, х Ф ± 2 ; 2) х 2—х — 1 = 0 , х =
jfj — — 2, Ху — 1 -2/ 5- » Л„ з—- 1 +2/ 5 „ _ о
»
Примечание . Разумеется, левую часть не всякого
уравнения четвертой степени удается так легко разложить
на множители; однако когда такое разложение выполняется
без особого труда, его удобно применять.

114

§ 60. Биквадратное уравнение

Определение . Уравнение четвертой степени, содержащее
только четные степени неизвестного, называется биквадратным.
Общий вид такого уравнения
а х 4-\-Ьх2-{-с = 0 (а Ф 0).
Решение такого уравнения . сводится к решению двух
квадратных уравнений, о чем говорит само название (биквадратное
означает «двойное квадратное»).
Отметим, что если биквадратное уравнение имеет корень дг0,
то оно имеет также и корень (— х 0), т. е. корни биквадратного
уравнения попарно противоположны. ;
В самом деле, если х0 есть корень, то подстановка
в уравнение на место х числа дг0 дает справедливое равенство
а х 4-\-Ьх2-\-с = о, (1)
но тогда справедливо и другое равенство:
0 (— О, (2)
так как левые части у равенств (1) и (2) одинаковы.
Чтобы решить биквадратное уравнение, введем вспомогательное
неизвестное, г, полагая z — x 2, z 2 = x 4. Тогда уравнение
примет вид
a z2- \-b z -\-c = 0.
Это — квадратное уравнение относительно вспомогательного
неизвестного z, и его корни
— Ь — Y Ь2 — 4дс ~ Ь + УЬ2 — 4ас’
Z’ — Та ‘ *2 — 2а ‘
Но z t = х 2 и z 2 = х 2, откуда
„ л . 1 f —Ь— l^S2—4вс ‘
х и 2— — Y , 2 а ’
, л /~ — b + Vb2— Аас
■*3,4— х У 2а
Таким образом, биквадратное^уравнение имеет четыре корня,
причем корни ДС] и х 2, х 3 и дг4 попарно противоположны,
т. е. сумма каждой пары корней равна нулю, а потому и
сумма всех четырех корней равна нулю.

115

§ 61. Исследование корней биквадратного уравнения

Характер корней биквадратного уравнения
а ^ 44 ‘^ * 24-<: = 0, — (О 4 • . • .у * 1 … • •
зависит от того, каковы корни вспомогательного квадратного
уравнения
az2- \-b z — \- c = 0. (2)
1. Предположим, что о > 0 и дискриминант уравнения
(2) положителен: D — b2— 4вс > 0. Тогда при с > 0
и Ь < О оба корки положительны: z x.> О.и д2 > 0, и биквадратное
уравнение (1) имеет четыре действительных корня*
так как
. *1.2— ±V* i — *з. 4 = ± / * 2 *
2. Если а > 0, D > 0. с > 0 и b > 0. то *, < 0, *2 < 0-
Все четыре корня биквадратного уравнения мнимы…
3. При e > 0 , D > 0. с < 0 квадратное, уравнение (2)
имеет один корень положительный, „другой— отрицательный,
Zi < 0 и *2 > 0. поэтому одна пара корней х 3 и ^ — действительная,
другая Xi и х 2 — мнимая.

§ 62. Неравенства второй степени

Неравенства’ вида ах2 4 — Ьх 4 — с > 0 или. а х2 -\-Ьх -\-
4 — с < 0 называются неравенствами второй степени.
Решение таких неравенств, 4 е. нахождение значений х ,
при которых это неравенство справедливо, тесно связано
с исследованием знака квадратного трехчлена, т. е. выражения
а х 2-\-Ьх + с.

116

имеет два действительных и различных корня. Представим
. его в следующем виде: ■ .
ах24 — fix-+• с = а (х2-}- ^ х 4 — Д) =s=
= а {х2 — (jktj—(— х -I- Ххх 2] = « (х — х х) (х — х 2),
где х х и х 2— корни трехчлена.
Предположим, что х х < х 2, тогда:
а) при х < х х каждая из разностей х — х х и х — х 2 отрицательна:
х — х х < 0 и х — х 2 < 0, а потому их произведение
положительно: (х — х х)(х — х2) > 0 и знак трехчлена
совпадает со знаком коэффициента а;
б) пусть х принимает значения, ббльшие, чем х 2: х > х 2;
тогда разности х — х х и х — г х г положительны:, х х } > О,
х — х 2 > 0, произведение (х ~^ х{) (х — х2) > 0, знак трехчлена
снова совпадает со знаком старшего коэффициента;
в) если х принимает значения из промежутка корней
•*1 < х < х 2. то разность х — х х > 0; другая разность
х ~ х 2< 0 , потому ,:их произведение отрицательно:
(х — х ,)(х — х2) < 0 , и знак трехчлена а ( х — Xj)(x — х 2)
противоположен знаку старшего коэффициента я.
Итак, если квадратный трехчлен лх2 4 — f i x е имеет дей
ствительные и различные корни, то при всех значениях аргумента
х, лежащих вне промежутка между корнями, знак
трехчлена совпадает со знаком коэффициента а; для значений
аргумента х , взятых из промежутка между корнями,
знак трехчлена противоположен знаку старшего коэффициента
п.
2. D — b2— 4ас < 0. Трехчлен не имеет действительных *
корней. Представим его в форме
a x 2+& x + c = a [ x 2- f А х + — 0 =
При любом значении аргумента х знак трехчлена совпадает
со знаком коэффициента а, так как в квадратных скобках
стоит сумма, положительного и неотрицательного чисел.
3. D — 0. Трехчлен представляет точнйй квадрат:
у = ^х 4~ j ] , и знак его совпадает со знаком коэффициента
а, если Х ^ —ISF* ‘

117

Пример 1. Решить неравенство
2х2-}-5х — 3 > 0.
Найдем корни трехчлена, представляющего левую часть неравенства:
2х24 — 5х — 3 = 0; Xj = —3, х 2= ~ .
Корни трехчлена действительны и различны, коэффициент
при старшем члене а = 2 > 0, а потому при любом значении
х , лежащем вне промежутка (x v х 2) корней, трехчлен
принимает положительные значения, т. е. при
х < —3 или Х > у .
Пример 2. Решить неравенство
х 2 — 2х — 3 < 0.
Находим корни трехчлена:
х 2 — 2х — 3 — 0; X i ~ —1; х 2 = 3.
Так как корни трехчлена действительны и различны, коэффициент
при старшем члене а = 1 > 0, то согласно исследованию
трехчлен будет по знаку отрицателен, если аргумент
х принимает значения из промежутка корней
* —-1 < х < 3.
Пример. 3. Решить неравенство
2х2 — 5х -{- 8 < 0.
Дискриминант D = 52— 4 — 2 — 8 = —39 < 0, а потому трехчлен
при любом значении аргумента х имеет тот же знак,
что и старший коэффициент а = 2, т. е. положителен, следовательно,,
данное неравенство решений не имеет.

§ 63. Графическое истолкование решения
неравенств второй степени

Поясним на примерах, какой геометрический смысл имеет
решение неравенства второй степени.
Пример 1. Решить неравенство
х 2 — Зх — 4 < 0 . (1)
Построим график функции у = х 2 — Зх — 4, т. е. параболу,
пересекающую ось абсцисс в точках хх==—1 и х 2==4

118

(эти точки были найдены как корни’ квадратного трехчлена
или, что одно и то же, корни уравнения х 2 — Ъх — 4 = 0).
Тогда решение неравенства (1) можно истолковать как
отыс к ание а б с ц и с с в с е х т а ких точек параболы,
о р дина ты к о т ор ых о т р и ц а т е л ь ны (У < 0). Такие
точки принадлежат дуге параболы, лежащей под осью абсцисс,
и их абсциссы заключены между —1 и 4, т. е. —1 < х < 4,
что изображено на рис. 35.
Можно графически решить данное неравенство и по-другому:
представим неравенство в виде х 2 Злг-f- 4.
Левая часть неравенства есть квадратическая функция,
правая — линейная функция; Обозначим эти две функции:
у, = х 2; у2 = Зд:-}- 4, и построим их графики (рис. 36).
Тогда решить данное неравенство — это значит найти все
такие точки параболы, ординаты которых при одинаковых
абсциссах меньше соответствующих ординат прямой. По
рис. 36 устанавливаем, что таковыми будут точки, лежащие
на дуге АВ: их абсциссы заключены между числами —1 и 4,
т. е. —1 < х < 4.

§ 64. Потерянные и посторонние корни

второго
уравнения являются также корнями первого, например:
1) уравнения (х — З)2 = 16 и: х2 — 2х = 4х -f- 7 равносильны,
так как оба имеют одни и те же корни х х — —1;
х% = 7;
2) уравнения (х — З)2 = 16 и (х + 1)(х — 7) (х— 1) = 0
неравносильны, так как хотя все корня первого (—1 и 7)
удовлетворяют второму уравнению, но обратного сказать
нельзя: второе уравнение имеет еще третий корень х 3 = 1,
не удовлетворяющий первому уравнению.
Решение всякого уравнения заключается в том, что это
уравнение подвергается преобразованиям (раскрытие скобок
и освобождение от дробных членов, перенос членов, приведение
подобных членов и т. д.), приводящим его к тому
виду, какой дает возможность находить его корни. Квадратное
уравнение, например,’ чаще всего приводится к виду
ах2-f- £х с = Олили к виду* где левая часть разложена
на’произведение двух линейных множителей, а правая часть
равна нулю. <
Преобразованное уравнение может оказаться равносильным
иди неравносильным исходному; оно может иметь больше
корйей, чем исходное уравнение, т. е. _ иметь посторонние
корни, или иметь, меньше корней, чем исходное уравнение,
т. е. некоторые корни могут оказаться потерянными. Поэтому
важно выяснить, какие преобразования, производимые над
уравнением, нарушают его равносильность.
2. Потеря корней. Уравнение Зх {х — 1) = 5 (х— 1)
после раскрытия скобок и переноса всех членов в левую
часть может быть решено по формуле полного квадратного
уравнения или разложением левой части на Множители; корни
будут х х — Г; х 2 — ~ . Вели сократить обе части уравнения
на общий множитель (х — 1), то получится уравнение Зх = 5,
которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего
один корень х = -5jjr. •
Следовательно, сокращение обеих частей уравнения
на множитель, содержащий неизвестное, может привести
к потере корней,
3. Посторонние корни уравнения и их происхождение. .
Уравнение
2х — 3 = 5

119

имеет единственный корень х — 4. Возведем обе части этого
уравнения в квадрат; получим
(2* — 3)2 = 25; (2)
после переноса числа 25 в левую часть имеем (2х— З)2—.
— 25 = 0. Левая часть представляет собой разность двух
квадратов, которая разлагается на два множителя:
(2х — 3 — 5) (2х — 3 — 5) = 0.
Приравнивая нулю каждый сомножитель, получим
2х — 3 —{— 5 = 0; x t = —1;
2х — 3 — 5 = 0; х2 = 4;
замечаем, что возведение в квадрат данного уравнения (1)
привело к уравнению (2), неравносильному данному, так как
появился посторонний корень дг1 = ^-1. Этот корень при?
надлежит уравнению 2х — 3 = — 5, так как после возведения
его в квадрат гюлучится то же уравнение (2). Посторонние
корни могут появляться не только# от возведения в квадрат
обеих частей уравнения, но и от умножения обеих частей
на выражение, содержащее неизвестное. Например, умножая
обе части уравнения 3 = х — 1 на x -j-2 , получим
3 (х -{- 2) = (х — 1 )(х -J- 2). Корни этого уравнения х х — —2;
х 2 = 4. Корень ха = — 2 не удовлетворяет исходному уравнению
3 = х — 1.

§ 65. Постороняяекорря ирракионального уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала,
называется иррациональным’, например,
■У 2 * + 7 = 3; Ч^Зх— 1 = 4.
Покажем на простом примере возможность появления посторонних
корней при решении иррационального уравнения.
Пусть имеем иррациональное уравнение ~^2х — 1 = х—2.
Возведем обе части в квадрат, получим
2х — 1 = ( х — 2)2.
Решая это квадратное уравнение, получим корни
Xj = 1; х2 = 5.

120

Проверим корни: у 2 • 1 — 1 =£ 1— 2; корень x t — 1 уравнению
не удовлетворяет, следовательно, он является посторонним-
Второй корень * 2 = 5 удовлетворяет уравнению. Возникает
вопрос: каким образом появился лишний корень лс = 1?
Этот посторонний корень принадлежит другому иррациональному
уравнению, — ]/ 2х — I = х — 2, которое после возведения
в квадрат дает то же самое квадратное уравнение
2х — 1 — (х — 2)2. По отношению к уравнению—]Л2д:—1 =
—х — 2 корень х = 5 является посторонним.
Поэтому необходимо проверять корни, полученные при
решении иррационального уравнения, подстановкой в данное
уравнение.

§ 66. Решение иррациональных уравнений

Приемы решения иррациональных уравнений рассмотрим
на примерах.
Пример 1. Y х 2 —Ь 5л: + 1 -+• 1 = 2л:.
Уравнение содержит всего один радикал; оставляем его
в левой части, или, как говорят, уединяем радикал, перенося
единицу в правую часть: }Лх2 + 5дг-|- 1 = 2д: — 1; возводим
обе части в квадрат, получим
x2+ 5 x -4-?==(2jc— I)2
или \ ‘
Х2 + 5х -1 4×2 _ 4х 1;
после переноса всех членов в левую часть и приведения
подобных членов имеем
Зх2 — 9 х — 0; х 2 — 3х = 0;, х ( х — 3) = 0;
д;1 = 0; х 2 = 3.
Пр о в е р к а . ”|/0 2 + 5 • 0 -j- 1-f-l Ф 2 • 0. Следовательно,
первый корень х = 0 не удовлетворяет уравнению; отбрасываем
его (этот корень принадлежит иррациональному уравнению
; .
— y jc 2 + 5jc-j- 1 — f — 1 = 2х,
что легко проверить). Таким же путем убеждаемся, что второй
корень х г == 3 удовлетворяет заданному уравнению.

121

Пример 2. У х — 9 — / х — 18 — 1.
Уравнение содержит два радикала в одной части; перенесем
один из них в правую часть: j / x 9 = l- f -Y х — 18;
после возведения в квадрат имеем х — 9 = 1 -)- 2 ] /х — 18-)-
—j— л:— 18; оставляем радикал в правой части, остальные
члены переносим’ в левую часть:
8 = 2 У х — 18;’ 4 = У х — 18; 16 = х — 18; х = 34.
Проверка обнаруживает пригодность полученного корня.
Пример 3. 1 ^ 2 7 + 3 + уКхГ-р2 — |/ 2 х + 5 = УЪх.
Уравнение содержит четыре радикала; распределим их
по два по обеим частям уравнения:
. 1/2Х + 3 4 — / З х — f 2 = / 2 х — f 5 Ц- / З х ;
после возведения в квадрат имеем
2 x 4 — 3 4 — 2 / ( 2 x 4 — 3 ) ( 3 x 4 — 2) — f — 3 x — f 2 =
=== 2х 4— б -j— 2 Y (2х 4 — 5) Зх 4~ Зх;
2 У (2х 4 — 3 ) (Зх — f 2) = 2 У (2 x 4 -5 ) Зх;
сокращаем на 2 и снова возводим В квадрат:
(2х 4 — 3)(3х 4 -2 ) = (2х 4 -5 ) Зх.
6х24 -1 3 х — |-6 = 6х24-1 5 х ; 2х = 6; х = 3.
Про в е р к а . ‘’/ IT — f — Уг11 = / 1 1 4 — полученный
корень удовлетворяет данному уравнению- ,
г, П р и м е р 4. . У■— a— — f..x-., +-,-1 V.. . а .—… .х… — ; уЬравнение имеет
Уа-+-х — у а — х , а
вид пропорции. Составим производную пропорцию: сумма
членов первого отношения так относится к их разности, как
сумма членов второго отношения относится к их разности:
— —2 .Vу< * 4- х Ь-\-а ,L , ч — .1 г = — — — (о ф а)\ возводим в квадрат обе части: 2 у а — х Ь — а
а + х __ (Ь 4- а)2 . 4
а — х ~ (Ь — а)2 *’
снова составляем производную пропорцию:
2л (b + ay -Jf-(к— а)* .
2х (Ь + а)2 — (Ь — а)* *
а _ 2 (дз-fc. №) __ а» + Ь2 » . ______ 2аЧ
х 4ай 2ab ‘ х а24-62 *

122

Проверка обнаруживает, что полученный корень удовлетворяет
данному уравнению…..
Если Ь = а , то исходное уравнение принимает вид
У а -|- х 4- У а — х » j.
У а — \- х—У а — х ’
У а х -}- — х = . у а -\- х — У а — х;

§ 67. Системы уравнений второй степени

Если уравнение с несколькими неизвестными приведено
к виду, не содержащему дробных членов, и в нем произведены
все возможные упрощения (раскрытие скобок, оево-
бождение от радикалов, перенос всех членов в левую часть,
приведение подобных членов), то степенью этого уравнения
называется сумма показателей степеней неизвестных
в том члене уравнения, в котором эта сумма
наибольшая’, например:
а) уравнение 2ху2-)- 5х2-|- 6у — 20 = 0 есть уравнение
третьей степени, так как в первом члене сумма показателей
при х и у наибольшая и равна 1 2 = 3;
б) уравнение & после, освобождения от
дробных членов принимает вид ■
х 2 — f 2у2 (х2 4-‘ У2) = 3 (х2- f-у2),
или
2х2у2 -У 2у4 — 2х2 — Зу2 = 0. ,
Это — уравнение четвертой степени относительно неизвестных
X и у. — —
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется
системой второй степени, если по крайней мере одно из
уравнений есть уравнение второй степени, а другое — не
выше второй степени.
Примеры. _ v
w | X2+ y 2- f 2 y — 9==0. 2Л x 2- f Зу24 — х у = 5,
1 Зх — у — 1 = 0 ; \ 2х2 + у2 = 9.
Решить систему уравнений с двумя неизвестными — это
значит найти все пары значений х и у, удовлетворяю

123

одновременно обоим уравнениям. Эти пары значений х и у
называются решениями системы. Например, система
( л24 — у 2 = 5,
I х — у = 1
имеет два решения:
1) jfj = — 1, ух = — 2 и 2) лг3 = 2, у2 — 1,
так как каждая пара значений неизвестных л: и у после подстановки
в данные уравнения приводит их к числовым тождествам:
1) (—! )* + (—:2)2 = 5; 5 = 5; 2) 2 2+ 1 2 = 5; 5 = 5;
—1—(—2 ) = 1 ; 1^=1. 2 — 1 = 1; 1 = 1.

§ 68. Решение простевших систем уравнений
второй степени

Пример 1. Решить систему
( * * .+ У>+ 2 у — г 9 ~ 0 .
\ Зх — у.— 1 = 0 .
Из второго уравнения выражаем у через х \ у = Зх — 1.
Подставляем это значение у в первое уравнение; получим
* 2 _f_(3л. _ .i ) 2 _|_ 2 (3х _ 1) _ 9 = о.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов имеем
х ^ ^ Ь » 1:
■у1= — 4; у 2 = 2.
Приме р 2. Решить систему
Г х 2+ 3 х у = 18;
. I 3y*4-,xy = 6.
Разложим левые части’данныхуравнений на множители
I (х -f~ Зу) = 18,
I У (Зу -j- лс) = 6.
После деления первого уравнения на второе получим

124

Подстановка во второе уравнение дает —
3у2 + 3у2 = 6; у* ==-1;.
У1 = — 1. у2= 1 ;
х j — —■ — 3) х 2 — 3.

§ 6 9 . Искусственные приемы решения системы уравнений

В некоторых случаях системы уравнений решаются более
изящно, чем способом подстановки, еслу прибегнуть к особым
приемам. >
Пример 1. Решить систему
| х + у = 5;
\ лгу = 6.
Неизвестные л: и у можно принять за корни вспомогательного
квадратного уравнения z 2 — 5z — f -6 = 0, откуда
z x = 2; z 2 — 3; так как безразлично, какое неизвестное принято
за z v какое за z 2, то всего имеем два решения:
== 2, х 2 ==- 3;
уг= 3 , у2 = 2.
Пример 2. Решить систему
| х — У = 7;
1 лгу = — 10.
Представим данную систему следующим образом:
| •* + (—У) — 7,
I х (— у )— Ю.
Согласно предыдущему неизвестные х и (—у) суть корни
уравнения г2 -— 7гг —j— 10
Пример 3. Решить систему ‘
Г лг2-}-у2=:20,
Г х у — 8.
Первый способ. Умножим второе уравнение на 2 и
сложим с первым; получим (х + у)? ==36, откуда лг-J-.у =
= ± 6.

125

Таким образом, данная система: равносильна совокупности
двух систем:
+ У = | * — f — y = _ 6.
ч \ * У = 8 ; \ лгу— 8,
каждая из которых решается также, как и система в примере 1.
Всего получим четыре решения:
‘ л-j = —4; х 2 = —2; х 3 — 4; х 4 — 2;
У г ~—2; у2 = — 4; у3 = 2; у4 = 4.
Второй способ. Возведем второе уравнение системы
в квадрат; получим ‘
‘х 2-+-у2 — 20,
х2у2 = 64.
Если ввести обозначения х 2 = и; у2 — V, то имеем
( u — \ — v — 20;
1 нг» —64.
Решая эху систему, по образцу примера Т, находим:
м, = 16, откуда х = +4;
v 1 = 4, откуда у — ± 2
или
и2 —4, откуда х = + 2 ,
■у2 — 16, откуда у = ± 4 .
Так как знаки у неизвестных х и у должны быть одинаковы,
то всего получаем те же уже найденные четыре решения.
П р и м ер 4, Решить систему »
| 2лг2 -J- 5л: у — 18у2 = 0;
I -xy + y5— 12 = 0.
Первое уравнение системы — однородное уравнение второй
степени, так как левая часть уравнения есть однородный многочлен
относительно неизвестных лг и у *), а правая часть—нуль.
*) Это значит, что все члены его одинаковой степени. Как известно.
степенью одночлена называется сумма показателей при х и у,
например, каждый из одночленов 5х2; Зху; —0,5у2 — второй степени,
поэтому многочлен Ъх2 + Зху — 0,5у2 есть однородный многочлен;
Многочлен х 3 — 2,5лг2у 4у3 — тоже/однородный, так как все
члены его третьей степени.
Многочлен л2—5xy -j-3y — неоднородный, так как первые два
члена цторой степени, а третий член — первой степени.

126

Такое уравнение всегда имеет нулевое решение: х = 0;
у — 0, но так как второе уравнение неоднородно, то система
не имеет нулевого решения. Разделим почленно первое уравнение
на у2; получим
2—у3а— — {г- 5—у- • 18 = 0;
если обозначить
корни его
х
У
— t, то имеем квадратное уравнение
2*2 -j- St — 18 = 0,
*1 — — 2 ’ *о = 2.
Таким образом, данная система равносильна совокупности
двух систем:
* _ 9
1) | y ~ J ’ 2)
лгу- f у2— 12 = 0;
S — 2,
Л•*У
+
У2 —
12 =
0.
Первая из них действительных решений не имеет, вторая
имеет два решения:
*i = 4; ул?= 2 и х 2 = —4, у2 .= —2.
Пр име р 5. Решить систему
| jc2 — jcy’-f-y® = 3;
| 2jc2 — лгу — у2 = 5.
Левая часть каждого уравнения данной системы представляет
однородный многочлен второй степени относительно,
неизвестных jc и у (все члены второго измерения), поэтому
удобно ввести вспомогательн^жиа^^вое 4, полагая y — tx\
тогда каждое из уравнений данйой системы после подстановки
примет вид
jc2 (1 — * —f- *2) == 3; jc2 (2 — * — *2) = 5.
Так как jc Ф 0, то разделим первое уравнение н а второе;
получим
» 3 ‘
или
12
— t — 5″‘
• 5*+5*2 = 6 —3 * —
8*2 — 2*— 1= 0;

127

Следовательно, либо у = — -j х, либо у = ^ х .
у Далее решаем способом подстановки две более простые
^системы: ^
х 2 — x y — j -y2 — 3,
Всего получим четцре решения
х 4 ‘ » х — ‘ » ~4′
У ? у 7
Уг
1
V 7 У2 =
1
V 7
х2 — ху + у2 = 3,
JC3 = — 2; ^ 4 = 2;
Уз = — 1; у4= ! .
^ 70.’Графический способ решения системы уравнений
Пример 1. Пусть требуется решить систему
| * 2 _ y — 3 * — f — 5 = 0;
( 2х — у — 1 = 0.
Первое уравнение системы перепишем так:
у — х 2 — Злс + б.
Этому уравнению соответствует в прямоугольной системе
координат пар&болаг’ кбтфу» дёйкб достроить, если предварительно
привести правую часть уравнения к виду
/ 3\2 . 11
У = —т ) + Х —
Вершина параболы находится в точке ^-g-: ~i-j. Для
уточнения графика, вычислим координаты еще нескольких
точек; результаты вапдшш! в таблицу:

128

Второму уравнению 2х — у — 1 = 0 соответствует прямая,
которую легко построить, если придать уравнению вид у —
= 2х — 1. ■ .
Обе линии пересекаются в точках (рис. 37) Мх (2; 3) и
уИ2(3; 5). Координаты этих точек являются решениями данной
системы.
Пример 2. Решить систему
х у — 2; \
,.у = *• 24, — J7. X — -52 . . . ■
Графическое решение этой системы сводится к отысканию
точек пересечения гиперболы х у = 2 с параболой
у = х 2 7 5 —|— 2 — у ‘ Рис- 38 показано, что всего имеется
три точки пересечения:
Ж, ( — 4 ; — | ) ; Ж2(— —4); , Ж3(1; 2). ;
Решение данной системы способом подстановки привело бы
к уравнению
;

129

-или jc34 — -g-Я2 -g* лг 2 = 0; Это — полное кубическое
уравнение, не рассматриваемое в элементарной алгебре.
Таким образом, графический способ решения данной
системы оказался наиболее простым и доступным.

Упражнения

2. На плоскости дано несколько точек, расположенных так, что
никакие тр» из них не лежат на одной прямой. Определить число
точек, если через них можно провести всего 28 различных прямых.
3. Решить в общем виде предыдущую задачу, если всего можно
провести т различных прямых.
4. Участок земли площадью в 375 м.2 имеет форму прямоугольника,
одна из сторон которого составляет 60% другой. Найти
стороны.
, 5. Периметр прямоугольника равен 85 см, а диагональ его
равна 32,5 см. Найиг стороны прямоугольника.
6. Возможен ли такой выпуклый многоугольник, в котором
число всех диагоналей было бы равно 12?

130

7. В каком многоугольнике число сторон равно числу всех
диагоналей?
8. Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны
которого выражаются тремя последовательными целыми числами?
Тремя последовательными четными или нечетными числами?
9. Два туриста отправляются одновременно в город, находящийся
от них на расстоянии 30 км. Первый из них проходит в час
на 1 км больше, вследствие чего приходит в город на один чае
раньше. Сколько километров в час проходит каждый путешественник?
10. Бассейн наполняется двумя трубами в 1 7 часа; первая
труба в отдельности может наполнить бассейн двумя часами скорее
чем одна вторая. За сколько часов каждая из труб в отдельности
может наполнить бассейн? „ *
11. Расстояние между двумя городами на реке равно 80 км.
Пароход проходит это расстояние двжкды (вверх и . вниз)
за 8 час. 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей воде,
если скорость течения равна 4 км/час.
12. Расстояние между двумя станциями железной дороги
равно 96 км. Скорый поезд проходит этот путь на часа быстрее,
чем пассажирский. Найти скорость каждого поезда, если известно,
что разность между их скоростями равна 12 км/час.
13. При совместной работе двое рабочих могут выполнить
данное задание за 12 час. Первый из них в отдельности мджет
выполнить ту же работу на 10 час. скорее, чем второй; За сколько
пасов может каждый рабочий в; .отдельности, выполнить задание?
14. -Если артель продаст „товар за 2688 руб.. то лалучит столько
процентов прибыли, сколько соте» рублей содержится в половине
себестоимости товара. Какова себестоимость товара?
15. Два туриста Д и В выехали одновременно из разных мест
навстречу друг другу. При встрече оказалось, что А проехал на
210 км больше, чем. В. Если каждый из них будет продолжать
путь с прежней скоростью, то А приедет в место выезда В через
4 дня, а В прибудет к месту выезда А через 9 дней. Сколько
километров проехал каждый из них до встречи?
16. Турист выехал из A. a f i и делает в. ерсдаем 8 км/час.
Когда он- .проехал 27 кж,~ж Ш £ навстречу ежу’ Выехал другой-
турист, деторый праезжал в час двадцатую часть всего пути от В
к Л и встретил первого через столько часов, сколько километров
в час он сам делает. Определить расстояние от Л до В.
17. Агроном установил, что наличным семенным фондом
в 22,5 тонны можно засадить весь намеченный под картофель, участок.
При посадке выяснилось, что семена отборные н потому
можно уменьшить предполагавшуюся норму посадки на один гектар
примерно на 200 кг. Это привело к увеличению площади посева
на I га. Какова была запроектированная норма посадки картофеля
на 1 га и чему равна площадь первоначального участка?
18. Майтн корня следующих уравнений .с точностью до 0,01;
1) 0.05л2 —4л 4-7 = 0; 3) 2,17л2 — 1.8л —1,03=0;
2) 0,Ш5у24-2у-3,75 = 0; 4) 7л2 —8,06л 4-2,16 = 0.

131

— 19.. Состав»» квадратное уравнение, если его корни равны:
14 о е 4 еч л 1) 3 н 5; 4 Q f t a -Ьj ;. 110Лч) —Ш- 5+— П и —т —^— П;
2) —3 и 9; 7) 4 и 4; 11) 2 4 — у Т и 2 —] /з ;
3) 4 » v ^
4) 3 и —3; 9) а + 6 и а— Ь; 13) а-|-УТГи а —УЖ
5) 0 и 6;
20. Не решая следующих уравнений, указать: 1) какие из уравнений
с действительными корнями имеют равные корни; 2) какие
имеют оба корня положительных или оба отрицательных; 3) какие
имеют действительные корни, какие не имеют действительных
корней:
1) х2i — 4 x + 4 = <* 5) 7х2-*-х — J=.0i
2) х2 —9х— 22 = 0; 6) 14ys — f L1 у — 3 = 0;
3 )x 2 — 16×4-48 = 0; 7) л2 — 6г + 9 = 0;
4) 4*2 4 — х 4 -1 = 0 ; 8) у2 4 — у —6 = 0 .
21. При каких значениях коэффициента т следующие уравнения
имеют дваравных керн»; N
1) 4х24 -ж х 4-9 = 0; 2) mx24 -4 x 4 -1 = 0;
3) х2 —2 (14-3/и) х 4-7 (34-2т) = 0?
22. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, Ь
и с, чтобы уравнение ох* 4“ А•* + с = 0 имело
1) действительные положительные корни;
21 действительные отрицательные корни;
3) одвяг де^вщёльный корень положительный, другой отрицательный?
23. Какое значение имеет т, если уравнение
1) х2— 2ах-f-m = 0 имеет один корень, равный а— 6;
2) г2 4- т г—18 = 0 имеет один корень, равный —3;
8) тх2 — 15х — 7 = 0 имеет один корень, равный —7;
4) у24 — т у 4 -а 24-5в4-6 = 0 имеет один корень, равный а 4- 3?
24. Если корня уравнения х24-Зх-|-А = 0 обозначим через
х, и х2. то» какие значения нужно придать параметру А, чтобы
1) х , — х 2 = 6; 3) •£- = — § ?
2) Зх, — х -2 = 4; 4) x f-j-xl = 34?
25. При каком значении свободного члена — а корни уравнения
8х24-2х — а = 0 относятся между собой, как 2:3?
26. Составить квадратное уравнение, корни которого равны
(х,4 -х2)2 и (х,—х2)2. где х, и х*—корни уравнения а х2-$-Ьх~\-с=0.

132

32. Произведение двух чисел- равно 135. а их разность равна 6.
Найти эти числа. .
33. Разность двух чисел относится к их произведению, как
1:24. а сумма этих чисел относится к их разности, как 5:1.
Найти чисfcл а. \
34. Сумма двух взаимно обратных дробей равна 2 -g-, а разность
их равна Найти эти дроби.

134 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.