Логарифмы на животноводческой ферме.
Сборник МатематикиГЛАВА IX СЕДЬМОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ.ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности капирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. |
Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):
ЗАДАЧА
Количество так называемого «поддерживающего»
корма (т. е. то наименьшее количество его, которое
лишь пополняет траты организма на теплоотдачу,
работу внутренних органов, восстановление отмираю»
щих клеток и т. п.) ‘) пропорционально наружной
поверхности тела животного. Зная это, определите
калорийность поддерживающего корма для вола, веся-
щего 420 кг, если при тех же условиях вол 630 кг ве-
сом нуждается в 13 500 калориях,
РЕШЕНИЕ
Чтобы решить эту практическую задачу из обла-
сти животноводства, понадобится, кроме алгебры,
привлечь на помощь и геометрию. Согласно условий
‘) В отличие от «продуктивного» корма, т. е. части корма,
идущей на выработку продукции животного, ради которой оно
содержится.
187 Логарифмы
задачи искомая калорийность к пропорциональна по-
верхности (s) вола, т. е.
13 500 — s, ‘
где Si — поверхность тела вола, весящего 630 кг. Из
геометрии мы знаем, что поверхности (s) подобных
тел относятся, как квадраты их линейных разме-
ров (/), а объемы (и, следовательно, веса) —как кубы
линейных размеров. Поэтому
С помощью логарифмических таблиц находим:
х= 10 300.
Вол нуждается в 10 300 калориях.
Логарифмы в музыке
Музыканты редко увлекаются математикой; боль-
шинство их, питая к этой науке чувство уважения,
предпочитает держаться от нее подальше. Между тем
музыканты — даже те, которые не проверяют, подоб-
но Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию», — со-
прикасаются с математикой гораздо чаще, чем сами
подозревают, и притом с такими страшными вещами,
как логарифмы.
Позволю себе по этому поводу привести отрывок
из статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхен-
вальда ‘).
«Товарищ мой по гимназии любил играть на роя-
ле, но не любил математики. Он даже говорил с от-
‘) Она была напечатана в «Русском астрономическом кален-
даре на 1919 г.» и озаглавлена «О больших и малых расстоя-
ниях».
188 Логарифмы в музыке
тенком пренебрежения, что музыка и математика
друг с другом ничего не имеют общего. „Правда, Пн-
фагор нашел какие-то соотношения между звуковыми
колебаниями, — но ведь как раз пифагорова-то гам-
ма для нашей музыки и оказалась неприменимой».
Представьте же себе, как неприятно был поражен
мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по кла-
вишам современного рояля, он играет, собственно го-
воря, на логарифмах… И действительно, так назы-
ваемые „ступени» темперированной хроматической
гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по
отношению к числам колебаний, ни по отношению к
длинам волн соответствующих звуков, а представляют
собой логарифмы этих величин. Только основание
этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в дру-
гих случаях.
Положим, что нота do самой низкой октавы — бу-
дем ее называть нулевой октавой — определена п
колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы бу-
дет делать в секунду 2п колебаний, а m-й октавы
п • 2т колебаний и т. д. Обозначим все ноты хромати-
ческой гаммы рояля номерами р, принимая основ-
ной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, напри-
мер, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тон
будет опять do, только октавой выше. Так как в тем-
перированной хроматической гамме каждый после-
дующий тон имеет в |/ 2 большее число колебаний,
чем предыдущий, то число колебаний любого тона
можно выразить формулой
формулой
Логарифмируя эту формулу, получаем:
Ы Ырт = ig л + ,и ig 2 + /> ту-
или
а принимая число колебаний самого низкого do
за единицу (и=1) и переводя все логарифмы
189 Логарифмы в музыке
Ig2=l), имеем:
Отсюда видим, что номера клавишей рояля пред-
ставляют собой логарифмы чисел колебаний соотвег—
ствующих звуков1). Мы даже можем сказать, что но-
мер октавы представляет собой характеристику,
а номер звука в данной октаве 2) — мантиссу этого
логарифма».
Например, — поясним от себя,«— в тоне sot третьей
октавы, т. е. в числе 3-\-гг- (?^ 3,583), число 3 есть
характеристика логарифма числа колебаний этого
тона, а ~гк (~ 0,583) — мантисса того же логарифма
при основании 2; число колебаний, следовательно, в
23-583, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний то-
на do первой октавы.
Звезды, шум и логарифмы
Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы,
несоединимые вещи, не притязает быть пародией на
произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле
пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логариф-
мами.
Шум и звезды объединяются здесь потому, что и
громкость шума и яркость звезд оцениваются одина*
ковым образом — по логарифмической шкале.
Астрономы распределяют звезды по степеням ви-»
димой яркости на светила первой величины, второй
величины, третьей и т. д. Последовательные звездные
величины воспринимаются глазом как члены арифме-
тической прогрессии. Но физическая яркость их изме-
няется по иному закону: объективные яркости состав-
ляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5.
Легко понять, что «величина» звезды представляет
собой не что иное, как логарифм ее физической яр-
кости. Звезда, например, третьей величины ярче звез-
🙂 Умноженные на 12.
2) Деленный на 12.
190 Звезды, шум и логарифмы
ды первой величины в 2,53-‘, т. е. в 6,25 раза. Короче
говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном
оперирует с таблицей логарифмов, составленной при
основании 2,5. Не останавливаюсь здесь подробнее на
этих интересных соотношениях, так как им уделено
достаточно страниц в другой моей книге — «Занима-
тельная астрономия».
Сходным образом оценивается и громкость шума.
Вредное влияние промышленных шумов на здоровье
. рабочих и на производительность труда побудило вы-
работать приемы точной числовой оценки громкости
шума. Единицей громкости служит «бел», практиче-
ски — его десятая доля, «децибел». Последователь-
ные степени громкости — 1 бел, 2 бела и т. д. (прак-
тически— 10 децибел, 20 децибел и т. д.)-—составля-
ют для нашего слуха арифметическую прогрессию.
Физическая же «сила» этих шумов (точнее — энергия)
составляет прогрессию геометрическую со знаменате-
лем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отно-
шение силы шумов 10. Значит, громкость шума, вы-
раженная в белах, равна десятичному логарифму
его физической силы.
Дело станет яснее, если рассмотрим несколько при-
меров.
Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, гром-
кая разговорная речь — в 6,5 бела, рычанье льва — в
8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговор-
ная речь превышает шелест листьев в
1 о6-5-1 = 105-5 = 316 000 раз;
львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в
lO8,7-6,5=iO2,2=i58 раз.
Шум, громкость которого больше 8 бел, признается
вредным для человеческого организма. Указанная
норма на многих заводах превосходится: здесь бы-
вают шумы в 10 и более бел; удары молотка в сталь-
ную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100
и 1000 раз сильнее допустимой нормы ив 10—100раз
громче самого шумного места Ниагарского водопада
(9 бел).
Случайность ли то, что и при оценке видимой яр-
кости светил и при измерении громкости шума мы
191 Звезды, шум и логарифмы
имеем дело с логарифмической зависимостью меж^у
величиной ощущения и порождающего его раздраже-
ния? Нет, то и другое — следствие общего закона (на-
зываемого «психофизическим законом Фехнера»),
гласящего: величина ощущения пропорциональна ло-
гарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область
психологии.
Логарифмы в электроосвещении
ЗАДАЧА
Причина того, что наполненные газом (часто на<
зываемые неправильно «полуваттными») лампочки
дают более яркий свет, чем пустотные с металличе*
ской нитью из такого же материала, кроется в раз-
личной температуре нити накала. По правилу, уста-
новленному в физике, общее количество света, испу-
скаемое при белом калении, растет пропорционально
12-й степени абсолютной температуры. Зная это, про-
делаем такое вычисление: определим, во сколько раз
«полуваттная» лампа, температура нити накала ко-
торой 2500° абсолютной шкалы (т. е. при счете от
—273° Ц), испускает больше света, чем пустотная с
нитью, накаленной до 2200°.
РЕШЕНИЕ
Обозначив искомое отношение через х, имеем урав-
нение
_ / 2500 \ 12 _ / jtfV2
Х ~ \ 2200 J ~~ V 22 } ‘
откуда
lg х= 12(lg 25—lg 22); * = 4,6.
Наполненная газом лампа испускает света в 4,6 ра-
за больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная
дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех
же условиях даст 230 свечей.
Сделаем еще расчет: какое повышение абсолют»
ной температуры (в процентах) необходимо для уд-
воения яркости лампочки?
192 Логарифмы в электроосвещении
РЕШЕНИЕ
Составляем уравнение
откуда
feO+H и А’ =
Наконец, третье вычисление: насколько — в про-
центах — возрастет яркость лампочки, если темпера-
тура ее нити (абсолютная) поднимется на 1%?
РЕШЕНИЕ
Выполняя с помощью логарифмов вычисление
находим:
jc = 1,13.
Яркость возрастет на 1-3%.
Проделав вычисление для повышения температу-
ры на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при
повышении температуры на 3%—увеличение ярко-
сти на 43%.
Отсюда ясно, почему в технике изготовления элек-
тролампочек так заботятся о повышении температу-
ры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.
193 Логарифмы в электроосвещении
Околоadmin
Comments