Эволюция логарифмических таблиц

Эволюция логарифмических таблиц.

Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

В наших школах еще не столь давно употребля-
лись 5-Значные логарифмические таблицы. Теперь
перешли на 4-значные, так как они вполне достаточ-
ны для технических расчетов. Но для большинства
практических надобностей можно успешно обхо-
диться даже 3-значными мантиссами: ведь обиходные
измерения редко выполняются более чем с тремя
знаками.
Мысль о достаточности более коротких мантисс
осознана сравнительно недавно. Я помню еще время,
когда в наших школах были в употреблении увеси-
стые томы 7-значных логарифмов, уступившие свое
место 5-значным лишь после упорной борьбы. Но и
7-значные логарифмы при своем появлении A794)
казались непозволительным новшеством. Первые де-
сятичные логарифмы, созданные трудом лондонского
математика Генри Бригга A624), были 14-значные.
Их сменили спустя несколько лет 10-значные таблицы
голландского математика Андриана Влакка.
Как видим, эволюция ходовых логарифмических
таблиц шла от многозначных мантисс к более корот-
ким и не завершилась еще в наши дни, так как и те-
перь многими не осознана та простая мысль, что точ-
ность вычислений не может превосходить точности
измерений.
Укорочение мантисс влечет за собой два важных
практических следствия: 1) заметное уменьшение
объема таблиц и 2) связанное с этим упрощение поль^
зования ими, а значит, и ускорение выполняемых с
помощью их вычислений. Семизначные логарифмы
чисел занимают около 200 страниц большого фор-
мата, 5-значные — 30 страничек вдвое меньшего
формата, 4-значные занимают вдесятеро меньший
объем, умещаясь на двух страницах большого фор-
мата, 3-значные же могут поместиться на одной
странице.

183 Эволюция логарифмических таблиц 

Что же касается быстроты вычислений, то установ-
лено, что, например, расчет, выполняемый по 5-знач-
ным таблицам, требует втрое меньше времени, чем по
7-значным.

Логарифмические диковинки

Если вычислительные потребности практической
жизни и технического обихода вполне обеспечивают-
ся 3- и 4-значными таблицами, то, с другой стороны,
к услугам теоретического исследователя имеются таб-
лицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже
14-значные логарифмы Бригга. Вообще говоря, лога-
рифм в большинстве случаев есть число иррациональ-
ное и не может быть точно выражен никаким числом
цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы зна-
ков ни брать, выражаются лишь приближенно, — тем
точнее, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных
работ оказывается иногда недостаточной точность 14-
значиых логарифмов1); но среди 500 всевозможных об-
разцов логарифмических таблиц, вышедших в свет со
времени их изобретения, исследователь всегда найдет
такие, которые его удовлетворяют. Назовем, например,
20-значные логарифмы чисел от 2 до 1200, изданные
во Франции Калле A795). Для еще более ограничен-
ной группы чисел имеются таблицы логарифмов с ог-
ромным числом десятичных знаков — настоящие ло-
гарифмические диковинки, о существовании которых,
как я убедился, не подозревают и многие математики.
Вот эти логарифмы-исполины; все они — не деся-
тичные, а натуральные2):
48-значные таблицы Вольфрама для чисел до
10 000;
61-значные таблицы Шарпа;
102-значные таблицы Паркхерста
и, наконец, логарифмическая сверхдиковинка:
260-значные логарифмы Адамса.
‘) 14-значные логарифмы Бригга имеются, впрочем, только
для чисел от Г до 20 000 и от 90000 до 101 000.
•) Натуральными называются логарифмы, вычисленные не
при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у нас еще
будет речь впереди.

184 Эволюция логарифмических таблиц 

В последнем случае мы имеем, впрочем, не табли-
цу, а только так называемые натуральные логариф*
мы пяти чисел: 2, 3, 5, 7 и 10 и переводный B60-знач-
ный) множитель для перечисления их в десятичные.
Нетрудно, однако, понять, что, имея логарифмы этих
пяти чисел, можно простым сложением или умноже-
нием получить логарифмы множества составных чи-
сел; например, логарифм 12 равен сумме логарифмов
2, 2 и 3 и т. п.
К логарифмическим диковинкам можно было бы с
полным основанием отнести и счетную линейку — «де-
ревянные логарифмы», — если бы этот остроумный
прибор не сделался благодаря своему удобству столь
же обычным счетным орудием для техников, как де-
сятикосточковые счеты для конторских работников.
Привычка угашает чувство изумления перед прибо-
ром, работающим по принципу логарифмов и тем не
менее не требующим от пользующихся им даже зна-
ния того, что такое логарифм.

Логарифмы на эстраде

Самый поразительный из номеров, выполняемых
перед публикой профессиональными счетчиками, без
сомнения следующий. Предуведомленные афишей,
что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни вы-
соких степеней из многозначных чисел, вы заготовляе-
те дома путем терпеливых выкладок 31-ю степень ка-
кого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-
значным числовым линкором. В надлежащий момент
вы обращаетесь к счетчику со словами:
— А попробуйте извлечь корень 31-й степени из
следующего 35-значного числа! Запишите, я продик-
тую.
Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы
успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру,
у него уже написан результат: 13.
Не зная числа, он извлек из него корень, да еще
31-й степени, да еще в уме, да еще» с молниеносной
быстротой!…
Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем
этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто
в том, что существует только одно число, именно 13,

185 Логарифмы на эстраде

которое в 31-й степени дает 35-значный результат
Числа, меньшие 13, дают меньше 35-цифр,-б6лыиие —
больше.
Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал
он число 13? Ему помогли логарифмы, двузнач-
ные логарифмы, которые он помнит наизусть для
первых 15—20 чисел. Затвердить их вовсе не так труд-
но, как кажется, особенно если пользоваться тем, что
логарифм составного числа равен сумме логарифмов
его простых множителей. Зная твердо логарифмы 2,
3 и 71), вы уже знаете логарифмы чисел первого де-
сятка; для второго десятка требуется помнить лога-
рифмы еще четырех чисел.
Как бы то ни было, эстрадный вычислитель мыс^
ленно располагает следующей табличкой двузначных
логарифмов:

Изумивший вас математический трюк состоял в
следующем:

Искомый логарифм может заключаться между

В этом интервале имеется логарифм только од-
ного целого числа, именно 1,11—логарифм 13. Таким

186 Логарифмы на эстраде 

путем и найден ошеломивший вас результат. Конечно,
чтобы быстро проделать все это в уме, надо обладать
находчивостью и сноровкой профессионала, но по су-
ществу дело, как видите, достаточно просто. Вы и
сами можете теперь проделывать подобные фокусы,
если не в уме, то на бумаге.
Пусть вам предложена задача: извлечь корень 64-й
степени из 20-значного числа.
Не осведомившись о том, что это за число, вы мо-
жете объявить результат извлечения: корень равен 2.
64 19
В самом деле Ig j/ B0 цифр) = ——¦ j он должен
19 19 99
следовательно, заключаться между-gr и —щ- , т. а.
между 0,29 и 0,32. Такой логарифм для целого числа
только один: 0,30…, т, е. логарифм числа 2.
Вы даже можете окончательно поразить загадчи*
ка, сообщив ему, какое число он собирался вам про-
диктовать! знаменитое «шахматное» число
264= 18 446 744 073 709 551 616.

187  Логарифмы на эстраде

Школьная математика.

Околоadmin