Локальные модули, нетеровы и артиновы модули

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

тому, что каждое непустое множество его подмодулей содержит минимальный (по включению) элемент.
Модуль M называется нетеровым, если M не имеет бесконечных строго возрастающих цепей подмодулей, это
равносильно тому, что каждое непустое множество его подмодулей содержит максимальный элемент.
Ясно, что кольцо R нетерово справа, соответственно, артиново справа, если модуль Rr нетеров, соответственно,
артинов (см. § 13). Нетеровость (артиновость) справа кольца не влечет соответствующее левое свойство этого
кольца и наоборот.
Теорема 16.2 (Гильберта о базисе). Если кольцо R нетерово справа, то кольцо многочленов R[x] также нете-
рово справа.
Цепи подмодулей 0 = Ao С Ai С … С Ak = M и 0 = Bo С Bi С … С Bn = M модуля M называются
изоморфными, если k = п и существует перестановка д на I = {1,… ,k} такая, что A i/A i-i = B^^/B^^i, i € I.
Вторая цепь называется уплотнением первой, если первая получается из второй удалением некоторых Bj. Цепь
0 = Ao С Ai С … С Ak = M называется композиционным рядом, если каждый подмодуль A i-i максимален в A i.
Модуль M называется модулем конечной длины, если M = 0 или он обладает композиционным рядом.

96 Локальные модули. 

Теорема 16.3 (Жордана-Гельдера-Шрайера). Любые две конечные цепи данного модуля имеют изоморфные
уплотнения.
Модуль М называется конечно копорожденным, если в каждом множестве {Ai | i G I} его подмодулей, удовлетворяющем
условию Р| Ai =0, существует такое конечное подмножество J С I, что (~) Aj = 0.
iei jeJ
Теорема 16.4 (Веддерберна-Артина). Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — артиново справа полупервичное кольцо;
б) R — полупервичное кольцо с условием минимальности для главных правых идеалов;
в) R — полупервичное кольцо с условием максимальности для главных правых идеалов вида eR, e = e2, и Бос Rл —
существенный правый идеал;
г) R — полупримитивное артиново справа кольцо;
д) R — полупростое справа кольцо (т.е. R — классически полупростое кольцо, см. 15.63);
е) все правые R-модули являются полупростыми;
ж) каждый максимальный правый идеал кольца R является прямым слагаемым модуля Rл;
з) R — конечное прямое произведение простых артиновых колец;
и) R изоморфно конечному прямому произведению колец матриц над телами.

Задачи

16.1. Если кольцо S = En^ М локально, то модуль Мл неразложим.
16.2. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — локальное кольцо;
б) R/J (R) — тело;
в) лR — локальный модуль;
г) Rл — локальный модуль;
д) R = aR для любого a G R\J(R);
е) R = Ra для любого a G R\J(R);
ж) J (R) совпадает с множеством всех необратимых элементов кольца R;
з) для любых таких a,b G R, что a + b =1, хотя бы один из элементов a, b обратим в кольце R.
16.3. Пусть R — локальное кольцо. Тогда:
а) каждый циклический R-модуль является локальным;
б) все факторкольца кольца R являются локальными;
в) все простые правые R-модули изоморфны модулю (R/J(R)^.
16.4. Если М — артинов или полупростой модуль, то каждый его подмодуль обладает аддитивным дополнением.
16.5. Пусть М — модуль и A — его подмодуль. Следующие условия эквивалентны:
а) М артинов;
б) A и М/A — артиновы модули;
в) каждый фактормодуль модуля М конечно копорожден;
г) для каждого непустого множества {Ai | i G I} подмодулей модуля М существует конечное подмножество J С I
с условием Р| Ai = f] Aj.
iei jeJ
16.6. Пусть M — модуль и A — его подмодуль. Следующие условия эквивалентны:
а) М нетеров;
б) A и М/A — нетеровы модули;
в) каждый подмодуль модуля М конечно порожден;
г) для каждого непустого множества {Ai | i G I} подмодулей модуля М существует конечное подмножество J С I
с условием ^2 Ai = ^ Aj.
iei jeJ
16.7. Модуль М артинов и нетеров в точности тогда, когда М — модуль конечной длины.
Идемпотент e кольца R называется локальным, если eRe — локальное кольцо.

97 Локальные модули.

16.8. Пусть R — кольцо и ei = 1 = fj — два представления 1 в виде суммы ортогонального множества
i=i j=i
локальных идемпотентов. Тогда m = п и существует обратимый элемент v кольца R и перестановка s € Sn такая,
что vei = fs(i)v (i = 1,… , n).
16.9. Пусть M — ненулевой модуль. Тогда:
а) если M — цепной модуль, то M — модуль Безу;
б) если M — конечно порожденный цепной модуль, то M — циклический локальный модуль Безу;
в) M обладает простым подфактором;
г) если M не является цепным модулем, то M обладает подфактором S 0 T, где S и T — простые модули.
16.10. Пусть все подфакторы модуля M изоморфны. Тогда M — дистрибутивный модуль в точности тогда, когда
M — цепной модуль.
16.11. Для модуля Mr над локальным кольцом R равносильны следующие условия:
а) M — дистрибутивный модуль;
б) M — модуль Безу;
в) M — цепной модуль.
16.12. Для модуля M равносильны следующие условия:
а) каждый ненулевой фактормодуль модуля M содержит простой подмодуль;
б) каждый ненулевой подфактор модуля M является существенным расширением полупростого модуля.
Модуль M, удовлетворяющий равносильным условиям а), б) упр. 16.12 называется полуартиновым.
16.13. Для модуля M равносильны следующие условия:
а) M — артинов модуль;
б) все подфакторы модуля M являются артиновыми;
в) M — конечная прямая сумма артиновых модулей;
г) существует такая цепь 0 = Ao С Ai С … С Ak = M подмодулей модуля M, что все модули A i/A i_i являются
артиновыми;
д) M — полуартинов конечномерный модуль.
Покажите, что справедливы условия а) — г) с заменой условия артиновости на нетеровость.
Модуль M называется полунетеровым, если каждый ненулевой подфактор модуля M обладает максимальным
подмодулем.
16.14. 1) Каждый нетеров модуль является полунетеровым.
2) M — вполне циклический модуль в точности тогда, когда M — нетеров модуль Безу.
3) Каждый полунетеров артинов модуль является нетеровым модулем.
4) Условие для модуля M быть цепным нетеровым модулем равносильно как тому, что M — вполне циклический
модуль, так и тому, что M — цепной модуль с условием максимальности для циклических подмодулей.
5) M — цепной артинов модуль в точности тогда, когда M — цепной модуль с условием минимальности для
циклических подмодулей.
16.15. Конечное прямое произведение нетеровых (артиновых) справа колец является нетеровым (артиновым) справа
кольцом.
16.16. Если R содержит в качестве подкольца тело D и R как правое векторное D-пространство конечномерно, то
R — артиново справа кольцо.
16.17. Если кольцо R — нетерово (артиново) справа, то нетеров (артинов) любой конечно порожденный правый
R-модуль M.
16.18. Пусть f — эндоморфизм модуля M. Покажите, что:
а) если M артинов, то существует m € N такое, что M = Im fn + Ker fn для любого n ^ m, в частности, если f —
мономорфизм, то f является автоморфизмом;
6) если M нетеров, то существует m € N такое, что Im fn П Ker fn =0 для любого n ^ m, в частности, если f —
эпиморфизм, то f является автоморфизмом;
в) если M — модуль конечной длины, то существует m € N такое, что M = Im fn 0 Ker fn для любого n ^ m, в
частности, условие для f быть автоморфизмом равносильно как тому, что f — эпиморфизм, так и тому, что f —
мономорфизм.

98 Локальные модули.

16.19. Модуль удовлетворяет условию максимальности для прямых слагаемых тогда и только тогда, когда он
удовлетворяет условию минимальности для прямых слагаемых.
16.20. Если Мл — ненулевой неразложимый модуль конечной длины, то кольцо S = En^ М локально и его
необратимые элементы являются нильпотентными.
16.21. Пусть Мл = 0. Покажите, что:
а) если модуль М артинов или нетеров, то у него существуют такие неразложимые подмодули Mi,…, Мп, что
М = 0 Mi;
i=1
б) если М — модуль конечной длины, то М = 0 Mi, где каждое кольцо En^ Mi (i = 1,. .. , n) локально.
16.22. Приведите пример модуля М, не являющегося модулем конечной длины такого, что для каждого f G En^ М
существует m G N со свойством М = 1ш fn 0 Ker fn при n ^ m.
16.23. Ненулевой артинов модуль обладает неразложимым в сумму фактормодулем (модуль М называется неразложимым
в сумму, если сумма любых двух его собственных подмодулей — снова собственный подмодуль в
М).
16.24. Кольцо М (n, R) артиново (нетерово) справа в точности тогда, когда R артиново (нетерово) справа.
16.25. Если R — кольцо главных идеалов без делителей нуля и A — ненулевой правый идеал в R, то модуль ^/Л)л
артинов.
16.26. Для нетеровости модуля достаточно, чтобы он удовлетворял условию максимальности для конечно порожденных
подмодулей.
16.27. Приведите пример не нетерова модуля, удовлетворяющего условию максимальности для циклических подмодулей.
Подмодуль N модуля М называется неразложимым относительно пересечения, если для любых подмодулей A, B С
М из условия N = A П B следует, что либо A = N, либо B = N.
16.28. Каждый подмодуль нетерова модуля М является пересечением конечного числа неразложимых относительно
пересечения подмодулей модуля М.
16.29. Пусть R — нетерово справа кольцо. Докажите, что:
а) его первичный радикал является наибольшим нильпотентным правым идеалом и наибольшим левым ниль-
идеалом;
б) всякий его ниль-идеал (правый или левый) нильпотентен (см. 13.84).
16.30. 1) Если М — артинов модуль, то для любого его подфактора N модуль N/J (N) является конечной прямой
суммой простых модулей.
2) М — артинов полупримитивный модуль в точности тогда, когда М — конечная прямая сумма простых модулей.
16.31. 1) Если кольцо R артиново справа, то J(R) — наибольший нильпотентный правый (соответственно, левый)
идеал, в частности, J (R) = rad R и R/J (R) — классически полупростое кольцо.
2) Если кольцо R артиново справа, то для каждого правого модуля Мл (соответственно, левого модуля лМ) имеет
место равенство J(М) = MJ(R) (соответственно, J (М) = J(R)M), причем J(M) является малым подмодулем в
М.
16.32. Пусть кольцо R/J(R) классически полупросто и радикал J(R) нильпотентен. Для модуля Мл следующие
условия эквивалентны:
а) Мл артинов;
б) Мл нетеров;
в) Мл имеет конечную длину.
16.33. Пусть кольцо R артиново справа. Покажите, что:
а) если модуль Мл артинов (соответственно, нетеров), то он также нетеров (соответственно, артинов);
б) кольцо R нетерово справа;
в) если R нетерово слева, то оно артиново слева.
16.34. Модуль Мл конечно порожден тогда и только тогда, когда конечно порожден модуль М/J(М), причем
J (М) — малый подмодуль в М.
16.35. Модуль М нетеров тогда и только тогда, когда для любого подмодуля N в М подмодуль J(N) мал в N и
модуль N/J (N) конечно порожден.
16.36. Ненулевой модуль М конечно копорожден тогда и только тогда, когда Бос М — конечно копорожденный
существенный подмодуль в М.

99 Локальные модули.

16.37. Модуль M артинов тогда и только тогда, когда для любого фактормодуля M/U его цоколь Soc (M/U)
является конечно копорожденным существенным подмодулем в M/U.

100 Локальные модули.