дома » Библиотека учителя » Математические модели

Математические модели

§ 7. Математические модели.

Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя
математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно. 

Математизация знаний в наше время совершает своеобразный
победный марш. Многие области науки и практики, до самого последнего
времени находившиеся вдали от использования математических
методов исследования, теперь усиленно стремятся наверстать
упущенное.


Причина этого, конечно, заключается не в
быстро преходящей моде, а в том, что чисто качественное изучение
явлений природы, экономики, медицины, организации производства,
управления процессами, как правило, оказывается недостаточным.
Как можно автоматизировать процесс выработки серной
кислоты, выплавки стали или крекинга нефти без знания точных
количественных закономерностей этих процессов? Как можно заставить
рационально работать систему связи, если не зрать ни количественных
закономерностей поступления вызовов от абонентов,
ни длительности их разговоров? Как, наконец, можно произвести
запуск ракеты для фотографирования обратной стороны Луны,
если не знать ни законов обращения нашего спутника около Земли,
ни законов механики для предварительного проведения всех рас-
счетов в малейших деталях, которые обеспечили бы успешное выполнение
этого задания?
Математика превратилась в важнейшее орудие всего научно-
технического прогресса. Вот почему математику широко используют
при решении множества актуальных задач и можно с уверенностью
прогнозировать дальнейшее расширение и углубление ее влияния
на многие области теоретической и практической деятельности.
Хорошо известно, что наши знания не только расширяются,
но и становятся более точными и глубокими. Многое из того, что
ранее было уже исследовано и для своего времени казалось хорошо
познанным, в наше время требует новых усилий для приведения
наших представлений о предмете исследования в соответствие с
современными знаниями, требованиями практики и нашего постоянного
стремления к более полному и совершенному знанию. Недаром
В. И. Ленин писал:
1 Л е н и н В. И. Статистика и социология. — Поли. 4:06р. соч., т. 30,
с. 351.

65 Математические модели. 

«Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления
к объекту. Отражение природы в мысли человека надо
понимать не „мертво4*, не „абстрактно», не без д в и ж е н
и я , не без противоречий, а в вечном процессе движения,
возникновения противоречий и разрешения их»1.
Это означает, что по мере того, как общественные требования к
познанию определенных сторон окружающего нас мира возрастают,
приходится тщательнее изучать интересующие нас аспекты действительности
и тем самым раздвигать рамки того, что нам уже известно.
А для этого приходится привлекать новые средства исследования,
если они уже имеются, или же настойчиво заниматься их
поиском, созданием, или совершенствовать старые. Сейчас особенно
повысилась роль изучения количественных связей между явлениями
и количественно выраженных закономерностей. К этому
понуждает нас сама жизнь, повседневная практическая деятельность.
При этом нам следует постоянно помнить, что диалектический материализм
практику понимает очень широко, включая в нее и требования
науки. Полезно вспомнить высказывание В. И. Ленина:
«…в практику, служащую нам критерием в теории познания, надо
включить также практику астрономических наблюдений, открытий
и т. д.»2.
При современных скоростях протекания технологических процессов
человеческая психика уже не способна ни следить за ходом
процесса, ни своевременно принимать решение об изменении управления.
Достаточно сказать, что стальная лента при прокате движется
со скоростью, достигающей 150 км в час. При ручном управлении
управляющее воздействие запаздывает, в результате чего общество
терпит огромные убытки от потери качества, перерасхода исходных
материалов, уменьшения производительности оборудования. Со
всей остротой возникает необходимость передачи управления производственным
процессом быстродействующим автоматам. Но автоматическое
устройство само пр себе не обладает способностью принимать
решения, даже в том случае, когда оно обладает исчерпывающей
информацией о ходе технологического процесса и условиях его
протекания (температура, скорость, химический состав и пр.).
Автомат «не понимает» указаний качественного характера типа «делай
лучше», «измеряй точнее», «обрабатывай чище», для него необходима
программа, в которой были бы предусмотрены его действия
в любых возможных ситуациях. А для этого необходимо разработать
количественную теорию процесса, которым управляют, и на
ее базе создать программу действий автомата. Так, прогресс в развитии
техники приводит к необходимости привлечения математики
для решения сложных и весьма актуальных задач техники.
Роль математики в развитии других наук и в практических об1
Л е н . и н В. И. Конспект книги Гегеля «Наука логики». — Поли. собр.
соч., т. 29, с. 177.
2 J1 е н и н В. И. Материализм и эмпириокритицизм. — Поли. собр. соч.,
т. 18, с. 143.

66 Математические модели. 

ластях деятельности полностью показать практически невозможно.
Приступая к математическому решению практической задачи, мы
неизбежно ее упрощаем и изучаем лишь приближенную ее схему,
или, как сейчас принято говорить, ее математическую модель. По
мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее неучитывав-
шихся факторов удается сделать математическое описание изучаемого
процесса более полным. Процедуру уточнения нельзя ограничить,
как нельзя ограничить развитие самого знания. Естественно,
что при более полном описании интересующего нас явления нам
приходится привлекать новые средства математического описания,
новые понятия, использовать новые формулы.
Смысл математизации знаний состоит в том, чтобы из точно сформулированных
предпосылок выводить следствия, уже доступные
наблюдению, сделать обозримыми сложные и запутанные реальные
процессы, подмечать и формулировать присущие им количественные
закономерности, чтобы указать экспериментатору, что же следует
наблюдать.
Мне хотелось бы обратить внимание на последнее наше утверждение,
что математика не только позволяет давать количественное
описание изучаемых явлений и прогнозировать их дальнейшее
развитие, если только предложенная математическая модель удовлетворительна,
но и дает указания, предписывает экспериментаторам,
что следует наблюдать и какие эксперименты следует ставить.
Математизация знаний состоит совсем не в том, чтобы исключить
из процесса познания наблюдение и эксперимент, которые являются*
непременными составными частями полноценного и всестороннего
изучения явлений окружающего нас мира.
Эксперимент и наблюдение нужны не только для того, чтобы
построить математическую модель явления, но и для того, чтобы
проверить ее качество. Если математическая модель позволяет получить
такие следствия, которые ранее не наблюдались, дает возможность
предсказывать такие явления, о которых раньше не думали,
и эти предсказания оправдываются, то теория укрепляет свое
положение, и ее продолжают использовать для получения дальнейших
выводов.
Однако рано или поздно, поскольку математическая теория того
или иного реального явления всегда приближенна, обязательно
наступит момент, когда какое-то следствие теории не подтвердится
практикой или экспериментом или же какой-то факт останется
необъясненным теорией. В этом случае необходим пересмотр
исходных предпосылок математической теории, изменение положений,
которые раньше казались незыблемыми. Такой пересмотр
приводит к новой теории, способной шире и глубже проникнуть в
структуру изучаемых явлений.
Рассмотрим такой пример. Явление распространения света
давно привлекало к себе внимание исследователей. Для описания
и объяснения наблюдающихся при этом фактов в разные времена бу-

67 Математические модели

ли созданы различные математические модели, основанные на различных
предположениях о его природе. В результате сейчас имеются
такие модели: геометрическая (корпускулярная), волновая,
электромагнитная.
Геометрическая модель света была известна с глубокой древности.
Но в ту пору были открыты только два факта: прямолинейное
распространение (образование тени) и закон отражения в современной
форме. Закон преломления света экспериментально был най-
j ден и сформулирован так, как мы его формулируем и теперь, двумя
учеными — голландцем В. Снеллиусом (1580—1626) и французом
Р. Декартом. Позднее П. Ферма предположил, что свет между дву-
! мя точками распространяется за кратчайшее время, причем в разных
средах его скорости различны. Из этой гипотезы (математиче-
I ской модели) П. Ферма получил вывод как закона отражения, так
{ и закона преломления, и при этом удалось выяснить смысл коэф-
! фициента преломления.
Однако уже в ту пору геометрическая модель распространения
света удовлетворяла не всех ученых. Р. Гук (1635—1703), пожалуй,
| впервые предложил волновую модель распространения света. Эту
(идею значительно развил X. Гюйгенс (1629—1695), получив ряд
; важных следствий. В начале XIX в. работами А. Френеля (1788—
! 1827) и Т. Юнга (1773—1829) было установлено торжество волновой
теории света. Математическая модель волновой теории позволила
Юнгу объяснить явление интерференции света, а Френелю — явление
дифракции.
Позднее Д. К- Максвелл (1831—1879) предложил электромагнитную
теорию света и с ее помощью выяснил, что свет должен оказывать
давление на преграды. Экспериментальное установление •
этого эффекта, несмотря на многочисленные попытки ряда исследователей,
удалось лишь П. Н. Лебедеву (1866—1912).
Мы видим, что последовательное изменение представлений о
природе света приводило к изменению математических моделей, используемых
для изучения явлений, связанных с его распространением.
Каждая модель имела строго ограниченную область применения,
за пределами которой она уже не была способна объяснять
наблюдаемые явления. Но одновременно заметим, что волновая модель
открыла для наблюдений совершенно новые явления, которые
не могли быть не только объяснены, но и предсказаны корпускулярной
(геометрической) моделью.
В качестве второго примера рассмотрим задачи аэродинамики,
родившейся под влиянием начавшихся в конце прошлого века полетов
на аппаратах тяжелее воздуха — на самолетах и планерах. В
этой науке также одну модель сменяли другие по мере того, как
прежние модели переставали справляться со своей ролью. Первоначально
это была модель движения в несжимаемой жидкости. Выяснилось,
что при малых скоростях движения самолета сжимаемость
воздуха практически не играет роли. Однако по мере возрастания
скоростей, достигнутых авиацией, ошибки становились все ощу-

68 Математические модели

тимее и пришлось отказаться от несжимаемой жидкости (воздуха)
и перейти к следующей математической модели —движения в сжимаемой
жидкости. Совершенно естественно, что эта новая модель поставила
не только перед теоретиками, но и перед экспериментаторами
ряд новых задач, в том числе и наблюдение новых величин.
Модель явления не тождественна самому явлению, она дает
лишь некоторое приближение к его пониманию. Эта модель может
быть, на первый взгляд, и очень грубой и. тем не менее давать вполне
удовлетворительное приближение к действительности. Вспомним,
что небесная механика со времен Ньютона исходила из такой модели:
Солнце и планеты представляют собой материальные точки с
соответствующими массами, и между ними действуют силы тяготения
согласно закону Fh2 = где F1>2 — сила тяготения
между небесными телами с массами т1 и т2 и расстоянием между
ними, равным г, /—постоянная тяготения. Материальные точки,
моделирующие планеты, расположены в их центрах тяжести.
Как ни груба эта модель, она вполне удовлетворительно описывает
движение планет и дает возможность заранее просчитывать
их взаимное расположение на небосводе. Более того, за последнее
столетие она дважды дала возможность предсказать наличие в
солнечной системе неизвестных планет. В 1846 г. в результате вычислений,
выполненных независимо друг от друга У. Леверье и
Дж. Адамсом, была открыта планета Нептун, а в 1930 г. тем же путем
П. Лоуелл открыл девятую планету — Плутон.
Эта модель продолжает служить познанию и теперь, в эпоху космических
исследований. Однако отсюда совсем не вытекает, что она
будет достаточна всегда и во всех случаях, которые возникнут в
науке. Собственно, и теперь имеются задачи, в которых эта модель
оказалась недостаточной. Так, например, ньютоновская модель
солнечной системы не смогла объяснить возмущений в движении
планеты Меркурий. Это позволила сделать молодая тогда модель
теории относительности А. Эйнштейна (1879—1955).
Математическая модель является основой математически оформленной
теории того или иного явления. Математическая модель
перечисляет те свойства объекта, которые будут положены в основу
его математической теории. Это еще не теория, а только перечисление
тех предпосылок, на базе которых будет строиться теория.
В только что приведенном примере — модели солнечной системы,
которую используют в небесной механике, перечислены эти предпосылки:
1) планеты считаются материальными точками с массами,
равными массам планет, 2) Солнце также считается материальной
точкой с соответствующей массой, 3) между этими материальными
точками действуют силы притяжения, вычисляемые по закону
Ньютона.
Созданию математической модели явления неизбежно предшествует
длительное изучение его иными методами: наблюдение, специально
организованные эксперименты, формулировка гипотез о дей

69 Математические модели

ствующих силах и получение выводов из них и т. д. Только когда
качественная сторона явления достаточно хорошо изучена, можно
приступать к построению математической модели, получению из
нее выводов и сравнению их с реальным протеканием самого явления.
Если это сравнение приводит к удовлетворительным результатам,
то модель укрепляет свои позиции. Если же совпадение
следствий, полученных из модели с действительностью, неудовлетворительно,
то необходимо вносить в модель изменения, позволяющие
приблизиться к описанию действительности. При этом стремятся
не переусложнять модель, чтобы ее можно было подвергнуть
всестороннему математическому и логическому анализу. Для того
чтобы математическая модель работала, необходимо иметь точные
понятия, которые позволяют однозначное описание в математических
терминах всех состояний исследуемых процесса или явления.
Создание математической модели состоит в том, что мы рассматриваем
не само явление во всей его сложности, а упрощаем его,
выделяя из всего многообразия присущих ему свойств лишь некоторые,
по нашему представлению, наиболее существенные. Далее
мы делаем предположения о действующих связях с окружающими
предметами (если это необходимо) и четко перечисляем все исходные
предпосылки. Хорошо известно, что для одного и того же явления
можно предложить неограниченно много математических моделей.
История оставила нам многочисленные примеры такого рода. Из
множества возможных моделей мы выбираем лишь одну, которая
нам представляется либо более соответствующей природе изучаемого
явления, либо наиболее простой, либо по какому-то иному критерию.
Создание математической модели —важный этап познания, поскольку,
когда она уже создана, нам известно, из каких предпосылок
мы выводим следствия. В ходе опытной проверки у нас появляется
возможность исследовать соответствие каждой из предпосылок
реальности. Модель в значительной степени предопределяет
то, какими математическими средствами мы должны пользоваться
при изучении интересующих нас вопросов. Нередко при этом случается,
что в математике необходимых средств изучения еще нет
и их нужно создавать заново.
Обратим внимание на то, что математические модели соответствуют
понятию отражения в теории познания Ленина. Математическая
модель отражает в нашем сознании тот процесс, который мы
изучаем. Этому отражению мы придаем количественные характеристики
в соответствии с самим изучаемым процессом, с наблюдавшимися
фактами, ноне произвольно. В связи с этим уместно вспомнить
следующую простую и глубокую мысль В. И. Ленина:
«Действительно важный теоретико-познавательный вопрос, разделяющий
философские направления, состоит не в том, какой степени
точности достигли наши описания причинных связей и могут
ли эти описания быть выражены в точной математической формуле,—
а в том, является ли источником нашего познания этих связей объ

70 Математические модели

ективная закономерность природы, или свойства нашего ума, присущая
ему способность познавать известные априорные истины
и т. п.»1.
Когда советский ученый-материалист строит математическую
модель того или иного явления, он не сомневается, что это явление
существует вне его сознания; при этом он стремится эту модель
построить так, чтобы она возможно ближе и точнее отражала изучаемое
явление, позволяла бы делать на ее базе прогнозы относительно
характера развития этого явления и это знание использовать
для практики, для жизни.
Математическое моделирование в науке широко используется
и тогда, когда о физической структуре явления известно очень мало.
В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся
следствия, уже доступные наблюдению. Понятно, что такие
гипотетические модели зачастую не оправдываются опытом.
В этом случае они живут недолго и быстро отмирают, уступив место
другим моделям, позволяющим приблизиться к природе явления.
Ценность гипотетических моделей неоспорима: они активизируют
работу мысли, наводят экспериментаторов на постановку новых
экспериментов, позволяют продвигаться по пути познания реального
мира. История науки показывает, сколь большую роль сыграли
научные гипотезы и построенные на их базе математические
модели явлений. Вспомним хотя бы гипотезу строения Солнечной
системы Коперника. Вспомним далее модель строения атома, предложенную
Резерфордом. Эта модель исходила из мысли, что атом
построен примерно так же, как и Солнечная система: вокру] ядра
атома вращаются электроны. Сама модель оказалась неудовлетворительной,
и дальнейшее развитие науки ее отвергло. Но она вызвала
к жизни многие исследования, приведшие к современной атомной
физике и к первым шагам на пути покорения таящейся в недрах атома
энергии.
Успехи использования математических методов в различных
областях естествознания, техники, экономики, организации производства
неоспоримы. С ними связано исключительно многое в научно-
техническом прогрессе за последние триста лет, и особенно за
последние десятилетия. Сейчас уже назрела пора серьезно заняться
разработкой математических моделей обучения, воспитания, организации
классной работы. Несомненно, что педагогические процессы
сложны и требуют к себе исключительно тщательного и продуманного
подхода. То обстоятельство, что до сих пор в педагогике математические
методы еще не нашли широкого применения, в значительной
мере связано как раз со сложностью рассматриваемых
в ней проблем. Однако за эти вопросы пора приниматься всерьез,
даже если на первых порах результаты будут не очень значительными.
^ Л е н и н В. И. Материализм и эмпириокритицизм.,— Поли. собр. соч.,
т. 18, с. 164.

71 Математические модели

УРАВНЕНИЯ  ВТОРОЙ  СТЕПЕНИ.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика