§ 3. Об образовании математических понятий.
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Мы уже говорили о том, что бурное развитие физики и биологии, совершенствование техники и управления производством оказали решающее влияние на развитие математики; За последние пятьдесят лет в ней возникли новые дисциплины, новые области исследования, многие из которых тесно связаны с практикой во всем ее разнообразии. Появление современных вычислительных машин не только сделало возможным производить сложнейшие вы1 Л е н и н В. И. О значении воинствующего материализма. — Полн. собр. соч., т. 45, с. 29—30. 26 Математические понятия.
числения за фантастически короткие сроки, но а привело к появлению
качественно нового метода исследования — моделированию
сложных процессов на ЭВМ. В значительной степени с этим связана
коренная ломка представлений в умах многих специалистов
о месте и возможностях математики в их деле, в интересующих их
проблемах.
Естественно, что и школа не может оставаться равнодушной к
происшедшим переменам. Именно поэтому в ряде.стран были произведены
реформы математического образования. Иногда эти реформы
были скороспелыми и недоучитывали многих факторов — требований
жизни к математике, психологических особенностей школьников
разных возрастов, неподготовленности учителей к проведению
реформы, отсутствие хороших учебников и методических
пособий для преподавателей и пр. Но многие педагоги понимают,
что остановить реформу математического образования уже нельзя,
поскольку она необходима. Математика превратилась в производительную
силу общества. Математика стала более гибкой, полнокровной,
получила разнообразные вычислительные инструменты.
В частности, появление миникомПьютеров привело к тому, что
простейшие их конструкции используются в быту. В связи с этим
возникло множество вопросов: как учить элементам арифметики,
следует ли заучивать таблицу умножения и пр.? Пока же ясно одно:
принципы работы на ЭВМ и практика работы на миникомпьютерах
должны быть введены в программы математического образования
уже в первые годы обучения.
Расширение задач самой математики и возможностей ее применения
естественно привело,к такому положению, когда установившихся
понятий уже недостаточно. Требуется создавать новые понятия
и расширять содержание старых. Без этого прогресс математики
невозможен. Рассматривая философские вопросы физики
начала нашего века, В. И. Ленин неоднократно обращал внимание
на важность построения новых понятий для процесса познания
природы. В своих заметках, получивших название «Философские
тетради», он писал: «Познание есть отражение человеком природы.
Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а
процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий,
законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука-„ло-
гическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную
закономерность вечно движущейся и развивающейся
природы#. .
Любые понятия, в том числе и математические, возникают в
результате абстрагирования от свойств предметов, реально существующих
в природе, или же являются абстракциями от уже существующих
абстракций. Таким образом, понятия математики отражают
некоторые стороны реального мира и содействуют тем самым
* * Л е и и и В. И. Конспект книги Гегеля «Наука логики», Учениеопоня-
тии. — Поли. собр. соч., т. 29, с, 163—164.
27 Математические понятия.
его познанию. Собственно возможность применения математических
теорий к изучению реальных явлений объясняется именно
тем, что сами эти теории и имеющиеся в них понятия возникли из
явлений реального мира и наблюдающихся в нем соотношений.
Ценность и жизненность математических теорий определяются
не столько тем,. насколько изящно они построены (хотя это также
играет существенную роль), сколько тем, как глубоко и прочно
они связаны с проблемами общественной практики, понимаемой в
самом широком смысле этого слова. С этой точки зрения не любые
формальные правила действий могут служить предметом математической
теории и не любые понятия заслуживают-рассмотрения. Они
имеют только тогда научное содержание, когда позволяют получать
содержательные выводы о каких-либо реальных вещах и явлениях.
Некоторые математики и философы утверждают, что математические
понятия являются свободными творениями человеческого
духа, что математик сам для себя создает совершенно свободно
новый мир идей и понятий, Одкако этот тезис основан на недоразумении.
Действительно, научному творчеству, как теоретическому,
так и прикладному, предшествует длительный срок обучения
в школе, вузе, беседы с коллегами, чтение книг и статей, знакомство
с разрабатываемыми проблемами. Тем самым математик уже
не свободен в выборе не только понятий, но и самих направлений
исследований. Кроме того, любой математик узнает о вопросах,
волнующих общество, из газет, публичных лекций, встреч с представителями
разнообразных специальных интересов. Математика
и ее понятия едины для всех народов и математиков. А если бы
понятия творились свободно, то было бы столько же математик,
сколько существует математиков, и математическая наука потеря*
ла бы всякий смысл и не представляла общественной ценности.
Число математических понятий невелико. Если же говорить о
школьном курсе математики, то он сводится лишь к следующему:
число, пространство, линия, поверхность, точка, функция, производная,
вероятность, множество.
Несомненно, что для школьной математики число является тем
понятием, с которого начинается обучение и которое сопровождает
школьника до конца обучения.
Понятие целого числа возникло в незапамятные времена. Вначале
это было вызвано необходимостью считать конкретные предметы:
пять овец, восемь мужчин данной общины и пр. Только в
результате длительной практики счета предметов различной природы
возникло абстрактное понятие числа. Но это случилось уже
на очень высокой стадии развития, задолго до того, как человечество
оставило памятники письменности. Когда же появилась’письменность,
человечество уже владело довольно развитым искусством
счета.
Для того чтобы выяснить хотя бы в основных чертах историю
формирования понятия числа, приходится-пользоваться косвенными
данными, а именно данными этнографии; изучением живых
28 Математические понятия.
языков, которые сохранили в грамматических особенностях числительных
ценные сведения о прошлом. На этом пути также мы сталкиваемся
с трудностями, поскольку завоевания и ‘безжалостное’
вытеснение туземцев привело к почти полному уничтожению ряда
племен, а то и целых народов в Южной и Северной Америке, Африке,
Австралии, на островах Полинезии. К тому же христианские
миссионеры нередко были виновниками уничтожения ценнейших
памятников культуры прошлого народов, обращаемых в христианство.
В результате из памяти человечества вычеркивались пол- ’
ностью страницы истории. То немногое что удалось собрать путешественникам
на протяжении XVI—XIX вв., представляет
неоценимое значение для истории науки и дает базу для^восстанов-
ления процесса образования понятия чиста.
Прежде всего выяснилось* что многие племена не могли вести
счет и не имели наименований для чисел. Они заменяли счет описанием
свойств отдельных предметов. Так, по свидетельству известного
полярного исследователя Уильяма Парри (1790—1855),
эскимосы в то время не могли правильно сосчитать число своих
детей, если их было больше трех. Однако они сразу замечали отсутствие
кого-нибудь из них, так же, как могли перечислить каждого,
отмечая их отличительные особенности. Точно так же, имея
большое число ездовых собак, они не могли назвать их числа, но
эйто были в состоянии описать каждую,из них: собака, родившаяся
в голодный год; собака черная с белым пятном и т. д.
О вымершем теперь полностью (в результате политики испанских
колонизаторов) племени абипонов, жившем между реками
Рио-Бермехо и Рио-Саладо, сохранились рассказы путешественников
о том, что в их языке существовали специальные слова
только для чисел один, два и три. Но тем не менее-, когда абипон,
собравшись на охоту, замечал, что нет хотя бы одной из его многочисленных
охотничьих собак, он немедленно принимался ее разыскивать.
—
На этом этапе развития народов, относящемся по классификации
Ф. Энгельса к стадии дикости и варварства, число воспринимается
не само по себе, а наряду с другими свойствами, характеризующими
качественные особенности каждого из предметов, под»
лежащих перечислению.
. Счет предметов и сопоставление численностей нескольких групп
предметов представляли огромный труд. В сочинениях ряда исследователей
первобытной культуры разбросаны-лшедения, подтверждающие
мнение, что операция счета для первобытных племен
представляла тяжелую задачу, от которой они быстро уставали.
Весьма поучительный’ пример этого рода приводит известный
путешественник и этнограф К- Штейнен, исследовавший в восьмидесятых
годах прошлого столетия племя бакаири, жившее в глубинах
лесов Амазонки и находившееся на весьма низком уровне развития.
Он многократно заставлял туземцев перечислять последовательно
зерна из кучки, состоявшей всего-навсего из десяти зерен.
29 Математические понятия.
отсчете седьмого и восьмого бакаири становились напряженными,
. менее веселыми, начинали зевать и жаловаться на головную боль,
а затем увиливали от ответов или убегали совсем.
Уже в наши дни журналист О. Игнатьев в одной из статей под
общим названием «В гостях у индейцев Иоллапити» сообщил интересные
сведения о счете индейцев нейтральной Бразилии. По словам
автора, у них «до сих пор нет слов, обозначающих числа свыше
•двух, но пять называется словом «рука» — уирику. Для счета дней
они применяют также понятие «луна» — семь дней»1.
Интересные наблюдения за счетом туземцев Новой Гвинеи .имеются
в дневниках Миклухо-Маклая. На вопрос туземцев, когда
придет корвет за ним, Маклай не мог дать определенного ответа.
Однако он решил использовать этот случай для серьезных наблюдений.
Вот что он пишет по этому поводу: «Думая, что нашел случай
поглядеть, как мок соседи считают, я взял несколько полосок
бумаги’истал резать их поперек. Нарезал сам, не знаю сколько,
и Передал пригоршню одному из туземцев Мале, сказав, что каждая
бумага означает два дня. Вся толпа немедленно его обступила,
мой папуас стал считать по пальцам, но, должно быть, неладно,
по крайней мере, другие папуасы решили, что’он не умеет считать,
и обрезки были переданы другому. Этот важно сел, позвал другого
на помощь и стал считать. Первый, раскладывая кусочки бумаги
на колене, при каждом обрезке повторял «наре, наре» (один);
другой повторял слово «наре» и загибал при этом палец, прежде
на одной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы
обеих рук, опустил оба кулака на колени, проговорив: «две
руки», причем третий папуас загнул палец одной руки. Со вторым
десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй
палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся
бумажки не составляли четвертого десятка и были оставлены
в стороне. Все, кажется, остались довольны. Мне пришлось
смутить их: взяв один из обрезков, я. показал два пальца, прибавив:
«бум, бум (день, день)». Опять пошли толки, но порешили на
том, что завернули обрезки в лист хлебного дерева и тщательно
его обвязали, чтобы, должно быть, пересчитать их в деревне»2.
Это наблюдение Миклухо-Маклая интересно с различных позиций.
Во-первых, оно показывает, что туземцы уже понимали позиционную
систему фиксации чисел: пальцы первого туземца—единицы,
второго — десятки. Досадно, что полосок бумаги было мало.
Ведь, если бы их было больше сотни, то, по-видимому, папуасы догадались
посадить еще одного туземца, чтобы на пальцах его рук
1 И г н а т ь е в О. В гостях у индейцев Иоллапити. — Коме, правда,
1963, 6 янв.
30 Математические понятия.
отсчитывать сотни. • Во-вторых, у полинезийцев была десятичная
система счисления.
Как в связи со сказанным не вспомнить утверждения Ф. Энгельса:
«Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только
из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились
считать, т. е. производить первую арифметическую операцию,
представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного
творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы,
подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться
при рассматривании этих предметов от всех прочих их
свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого,
опирающегося на опыт, исторического развития»1.
Точка зрения Ф. Энгельса на происхождение счета и десятич-‘
ной системы счисления подтверждается многими наблюдателями.
Приведем с этой целью еще одну запись Миклухо-Маклая: «Излюбленный
способ счета состоит в том, что папуас загибает один
за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например
«бе, бе, бе,,..». Досчитав до ляти, он загибает пальцы другой
руки, снова повторяет, «бе, бег пока не дойдет до ибон-али
(две руки). Затем он идет дальше, пока не доходит до самба-бе н
самба-али (одна hofb, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас
пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого»2.
Из «приведенных примере© можно сделать заключение: умение
считать на первых стадиях формирования искусства счета не связано
жестко с наличием специальных наименований для числительных,
а тем более специальных обозначений для цифр. Образование
числительных и тем более цифровых знаков — это уже достаточно
высокая стадия развития. Специальные слова для обозначения
числительных были выработаны много позднее того, как появились
определенные наименования для обозначения численностей
групп определенных предметов. Филологи отмечают, что у некоторых
африканских’ народов существуют различные слова для
обозначения трех коров, трех воинов, трех хижин и т. д.- Также у
некоторых племен западной Канады было отмечено, что числительного
три у них не существовало, а для обозначения трех предметов
имелись различные наименования: «тхе» — три вещи, «тхане»—
три лица, «тхат» — три раза, «тхатоэн» — в трех местах и т. д.
У аборигенов Флориды были слова «на-куа» для обозначения десяти
я»ц, «на-банара» для обозначения десяти корзин с продовольствием,
но отдельного слова «на» для обозначения числительного
десять у них не была. • •
Разумеется, счет с помощью определенных предметов неизбежно
приводит к появлению наименований, тесно связанных с орудием
счета. Понятно, что в качестве таких орудий счета, помогавших
1 Э н г е л ь с Ф. Анти-Дюринг.—Маркс К-, Э н г е л ь с Ф. Соч., 2-е изд.,
т. 20, с, 37.
? М и к л у х о — М а к л а й Н. Н. Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1950,
т. 1, с. 280.
31 Математические понятия.
перечислению вещей и Запоминанию результата, выбирались предметы,
особенно близкие человеку. Как правило, это были органы
его тела. Мы видели это на примере счета, описанного Миклухо-
Маклаем. Там использовались пальцы рук и ног, сами руки и ноги.
Подобных наблюдений было сделано очень много. Так, у жителей
Торресова пролива исследователи заметили, что посредством
различных органов человеческого тела они могли выразить любые
числа до S3 включительно и, чтобы узнать, сколько было предметов,
достаточно вспомнить, до какого места на своем теле дошли
при счете. •
То, что при первобытном перечислении предметов зачастую использовали
пальцы, сыграло большую роль в развитии счета на
пальцах. До XVIII в. счет на пальцах имел широкое распространение
в странах Западной Европы и в России. В начале нашего
века этим методом в торговых операциях пользовались китайские
и монгольские торговцы. В 1529 г. в Базеле была переиздана книга
монаха Бэды Достопочтенного, в которой излагались методы
счета на пальцах до миллиона включительно. •
Использование пальцев рук и ног в счете должно привести нас
к мысли о том, что числа пять, десять и двадцать должны играть
особую роль и, следуя этой роли, должны где-то остаться — в языках,
записях* легендах. И действительно, внимательное изучение
наименований числительных подтверждает это,
Особая роль числительного двадцать сохранилась во французском,
голландском и английском языках. В скандинавских языках
отмечена особая роль пяти. Во французском языке сохранилась
традиция счета двадцатками: двадцать, (vingt), восемьдесят произносится
как четыре-двадцать (quatre-vingts), 90 — как четыре-
двадцать-десять (quatre-vingt-dix), 120 — как шесть-двадцать. -В
старофранцузеком языке 140 произносилось как семь-двадцать,
160 — как восемь-двадцать и 300 как пятнадцать-двадцать. Счет
двадцатками еще не означает, что двадцать было основанием системы
счисления, но могло быть «полуоснованием» системы. Было
удобно считать, «человек» это двадцать. Сколько человек, столько
раз нужно взять по двадцать. Мы знаем, что счет двадцатками был
у древних инков. . — _
История сохранила нам разные системы счисления, в которых
основаниями были числа 2, 20, 10, 12, 60. Так, у некоторых племен
Судана было отмечено стремление считать группами по двенадцать
предметов. Этот пережиток сохранился и сейчас во многих странах
Европы: дюжина — 12, гросс — 122 — 144, масса — 12® = 12-122.
Изучение особенностей живых языков еще может дать для изучения
формирования числового ряда на протяжении истории человечества
очень многое. Именно поэтому следует собирать сокровища
языка и внимательно их изучать с позиций математика, историка,
философа и филолога:
Приведенные нами лингвистические изыскания показывают,
что числовой ряд возник не сразу, не целиком. История его фор-
32 Математические понятия.
дарования весьма длительна, и запас употребительных чисел
Лцрряивался лишь постеперно. Людям долгое время даже не при-
-дрзднла в голову мысль о неограниченности числового ряда. Только
уже в сформировавшихся и далеко продвинувшихся на пути прогресса
цивилизациях стали, появляться идеи неограниченности
:шдоества цнпи чнеел.Эго можно найти в сказаниях о Гильгоме-
ащ—герое летам Двуречья; в рассказах о Будде и др. Позднее —
эта идея была развита Архимедом (287—212 г.
ШШ- а.1 идя» «манен и и «Псаммит» — исчисление песчинок. Он по-
мнению многих, ряд чисел может быть продол- .
далеко и что можно перечислить не только песчинки
но даже указать, сколько песчинок поместится в
зЯ||ЦВ;радиус которого, как говорил Архимед, равен расстоянию ^
Шгздянца до неподвижных звезд. Архимед сконструировал в этом
«фонзведении прием, который позволял строить и словесно обозначать
как угодно большие числа. Однако эта идея, хорошо раз-
работанная Архимедом, еще долгие годы не становилась всеобщим
достоянием. Потребовалось не столько время, сколько существен-
иое изменение общественных потребностей для паввяе^аянастоя-
тъяьвок необходимости оперирования со -сколь угодно большими
чисдами»зпс0бы -идея вдшраяияенности числового ряда стала до-
(З^ая^явврВЛ^щему большинству и вошла в начальную школу. .
; Сочинение Архимеда «Псаммит» имело прежде всего философское
значение. Математики того времени уже владели идеей неограниченности
числового ряда и получили относительно него
фундаментальные результаты. Евклид (около 365—300 гг. до н. э.)
доказал бесконечность множества простых чисел, Эратосфен
(276—194 гг. до н. э.) указал алгоритм выделения простых чисел
(решето Эратосфена),
В математических рукописях Древней Руси изобретение ариф-
метики приписывали или «остропаримого разума древним философам
», или едревнеэллинскому мудрецу Пифагору». В Древней Г реции
изобретение целого числа легенды относили Прометею. Об этом
замечательно сказано в трагедии Эсхила «Прометей прикованный».
Во второй эписодии, обращаясь к сочувствующей ему старшей
Океаниде, Прометей говорит:
«…О бедствиях послушайте людей.
Они как дети были глупые.
Я наделил их мыслью и сознанием… ‘
Для них-я выдумал науку чисел,
из наук важнейшую…»1.
Все легенды очень красивы. Мы знаем, какой долгий и трудный
путь прошло человечество, прежде чем овладело понятием числа
и превратило его в одно из основных орудий прогресса.
Мы показали лишь часть пути развития числа. Кроме целых
1 Эсх и л. Прометей прикованный. М.: Гослитиздат, 1956, с. 35,
2 Заказ 290
33 Математические понятия.
положительных чисел, практика заставила ввести также отрицательные
числа, нуль, затем дроби, мнимые и комплексные числа.
Далёе па базе полей действительных и комплексных чисел были
построены новые образования — группы, кольца. Этот процесс
никогда не завершится, так как для развития науки и практики
нужны новые математические образования, новые понятия.
Задачи, связанные с измерением, разделом имущества и ‘продуктов,
привели к необходимости рассмотрения, наряду с целыми
положительными числами, также дробных и отрицательных чисел.
Но их введение й освоение потребовало длительного времени, и
только после того, как оно пройдено, когда остались позади многочисленные
трудности в выработке правил деления чисел и действий
с дробями, появились возможности формального построения
соответствующей теории. В Древнем Египте, в, средние века или
даже в XVIII в. не могло появиться не только школьного,'»но и
университетского учебника, в котором дроби вводились следующим
путем: «Дробью называется пара целых чисел (т., п). Для дро-.
бей определены отношения равенства, подчиняющиеся законам симметричности,
транзитивности, а также правила Действий». Если
кроме такого, определения ничего не знать и не быть знакомым с
историей формирования понятия дроби, то, конечно, может появиться
мысль о свободном творчестве математических понятий, чего
быть не может, если перед математиком и философом развертывает-
ся весь исторический процесс формирования научных понятий,
если они знают, сколько трудностей встречалось на пути прогресса
математической науки.
В действительности человечеству потребовались тысячелетия,
прежде чем удалось сформулировать абстрактное определение дробного
числа, чтобы действиям с дробями обучались школьники.
Это великое завоеваний человечества. Ведь еще в XVIII в. в гимназиях
даже не добирались до действий с дробями. Люди разными
путями пытались выбраться из трудного положения, в которое они
попадали, когда приходилось оперировать с дробями. Недаром в
немецком языке сохранилось выражение «попасть в дроби» (in
die Bruche gezahten), употребляемое в тех случаях, когда хотят
подчеркнуть, что кто-то попал в безвыходное положение. В одной
арабской рукописи XII в, была следующим хитроумным способом
решена следующая простая арифметическая задача, лишь бы не
иметь дела с дробями: «Разделить поровну между одиннадцатью
лицами 100 фунтов (хлеба, зерна, муки — Б. Г.)». Автор решения
предлагает следующий способ: каждое лицо должно получить по
9 фунтов; оставшийся фунт следует поменять на яйца, которых при
такой мене будет получена 91 штука. Оставшиеся после деления
3 яйца автор предлагает или, поменять на соль, или же отдать за
труды тому, кто делил.
Сказанное убедительно показывает, что на всех этапах развития
математического понятия числа практика играла решающую роль.
Правда, под понятие практики входят при этом различные пред-
34 Математические понятия.
ставленая: практика перечисления, практика раздела имущества
и измерения длин. Введение иррациональных чисел связано на
первых порах с вычислением длины диагонали квадрата по его
стороне. Практика решения квадратных уравнений привела человечество
к мнимым и комплексным числам. •
Мы можем перейти к рассмотрению любого математического понятия
и всюду столкнемся с той же самой ситуацией: их .введение
связано всегда с решением той или иной проблемы, выдвинутой или
общественной практикой, или развитием науки.
Итак, когда перед глазами обучающегося или исследователя
находится не только сформировавшаяся и уже формализованная
математическая теория, но и весь ее исторический путь, тогда становится
ясным истинный путь становления и возникновения ее понятий
из интуитивных представлений, подсказанных практикой,
включающей, естественно, и нужды самой науки. Если же замкнуться
в абстрактной и окончательно формализованной математической
схеме и за пределами этой схемы не желать ничего видеть,
то связи математики, ее задач и введенных в ней понятий с практикой
становятся незаметными. При таком, и только таком подходе
к науке может возникнуть мысль о свободном творчестве математических
понятий ученым, его свободным и ничем не связанным разумом.
Вот почему так важно обращаться в педагогическом процессе
к истории науки, к ее поучительным примерам. Диалектика развития
математических понятий вскрывается в значительной мере
рассмотрением пути их становления и развития. А отсюда возникает
и естественное пожелание: ввести в учебные планы педагогических
институтов курс истории математики, притом не факультативный,
а обязательный.
35 Математические понятия.
Околоadmin
Comments